Théorème d'Ampère

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En magnétostatique, le théorème d'Ampère permet de déterminer la valeur du champ magnétique grâce à la donnée des courants électriques. Ce théorème est une forme intégrale de l'équation de Maxwell-Ampère. Il a été découvert par André-Marie Ampère, et constitue l'équivalent magnétostatique du théorème de Gauss. Pour être appliqué analytiquement de manière simple, le théorème d'Ampère nécessite que le problème envisagé soit de symétrie élevée.

Théorème d'Ampère en statique[modifier | modifier le code]

Ces relations s’appliquent uniquement dans le cas où le champ électrique est constant dans le temps (les courants sont stables et indépendants du temps), sinon le champ magnétique varierait dans le temps.

Dans le vide[modifier | modifier le code]

Énoncé littéral[modifier | modifier le code]

La circulation du champ magnétique le long d’une courbe quelconque, orientée et fermée, que l’on appelle contour d’Ampère, est égale au produit de par la somme algébrique des courants qui traversent la surface délimitée par .

Avec la perméabilité du vide ().

Forme intégrale[modifier | modifier le code]

où :

  • représente l'intégrale curviligne sur le contour fermé ,
  • est le champ d'induction magnétique,
  • est l'élément infinitésimal de déplacement le long du contour ,
  • est la somme algébrique des intensités des courants enlacés (entourés) par le contour .


Remarque : On peut distinguer plusieurs cas concernant l'intensité enlacée par le circuit.

  • si le circuit enlace un courant volumique , alors l'intensité enlacée aura la forme suivante :
,

en (A.m-2)

  • si le circuit enlace un courant surfacique , alors l'intensité enlacée aura la forme suivante :
,

en (A.m-1)

  • si le circuit enlace plusieurs circuits filiformes alors on peut dire que l'intensité enlacée s'écrira :

avec l'intensité d'un fil du circuit filiforme.

Attention, il s'agit d'une somme algébrique : il faut orienter le contour d'Ampère, et donc donner une normale à la surface, d'où une convention de signe concernant les courants enlacés, comptés positivement ou négativement selon leur sens.

I enlacées.png

Pour le contour d'Ampère représenté sur cette image :

Forme différentielle[modifier | modifier le code]

Par le théorème de Stokes, on obtient l'expression de la loi d'Ampère sous forme locale (en faisant apparaître l'opérateur rotationnel) qui établit une relation entre le champ en un point de l'espace et la densité de courant en ce même point :

Dans la matière[modifier | modifier le code]

Dans la matière, notamment aimantée, on se retrouve en présence de plusieurs types de courants (les courants libres qui sont les courants usuels que nous connaissons, et les courants liés qui eux vont dépendre des champs présents dans la matière). En conséquence, le théorème d’Ampère conventionnel n’est plus valable. En revanche, le théorème d’Ampère pour l’excitation magnétique existe et va pouvoir être utilisé pour calculer si l’on connaît la distribution en courant.

Notions sur les densités de courant dans la matière en statique[modifier | modifier le code]

Dans la matière on ne connaît jamais les sources () de courants intégralement. On va donc séparer les sources connues de celles inconnues :

  • On ne connaît pas en général les charges et les courants liés au milieu (on note leurs densités volumiques respectives)
  • On connaît en général les charges et les courants libres du milieu (on note leurs densités volumiques respectives)


On a ainsi :


Il faut prendre en compte le champ macroscopique aimantation, noté est définie comme la densité volumique de moment dipolaire magnétique totale. Ce champ va induire un courant lié qui va être à l'origine de l'aimantation qui s'exprime :

est le vecteur aimantation.

On pose ainsi :

Les milieux conducteurs contiennent des charges électriques qui peuvent se mouvoir (charges libres), celles-ci vont induire une densité de courant libre (ou de conduction) qui s'exprime :

on reconnaît la loi d'Ohm locale avec la conductivité.

Forme littérale[modifier | modifier le code]

Dans la matière aimantée le théorème d’Ampère peut se réécrire pour l’excitation en ne considérant que les courants libres :


La circulation de l'excitation magnétique le long d'une courbe fermée est égale à l'intensité totale en courant libre qui traverse n'importe quelle surface s'appuyant sur .


Cela suppose que l'on se trouve en régime permanent auquel cas le vecteur densité de courant () est à flux conservatif et l'intensité ne dépend que de et pas du choix de la surface s'appuyant sur .

Forme intégrale[modifier | modifier le code]

Forme différentielle[modifier | modifier le code]

Théorème d'Ampère en dynamique[modifier | modifier le code]

Dans le vide[modifier | modifier le code]

Forme différentielle[modifier | modifier le code]

En régime variable l'équation de Maxwell-Ampère donne :

On remarque la présence d'un autre terme par rapport au régime statique. Il s’agit d'une densité de courant que Maxwell a pris en compte en établissant ses équations, nommée la densité de courant de déplacement :

est la permittivité du vide.

Forme intégrale[modifier | modifier le code]

D'après le théorème de Green, l'équation différentielle de Maxwell-Ampère peut se réécrire sous forme intégrale :

Dans la matière[modifier | modifier le code]

Dans la matière on peut poser :

  • l’induction électrique (en C.m-2)

Dans la matière il faut prendre en compte la polarisation du milieu, notée et définie comme la densité volumique de moment dipolaire électrique totale. Cette dernière va induire en régime variable la présence d'une densité de courant de polarisation définie par :

est le vecteur polarisation.

En dérivant par rapport au temps on obtient :

on reconnaît la densité de courant de polarisation ainsi que la densité de courant de déplacement

  • l’excitation magnétique (en A.m-1)

Forme différentielle[modifier | modifier le code]

L'équation de Maxwell-Ampère se réécrit donc dans la matière :

Forme intégrale[modifier | modifier le code]

D'après le théorème de Green, l'équation différentielle de Maxwell-Ampère peut se réécrire sous forme intégrale :

Remarques[modifier | modifier le code]

  • Le théorème d’Ampère conduit à des résultats identiques à ceux que l'on peut obtenir via la loi de Biot et Savart.
  • Le sens de circulation sur le contour d’Ampère est totalement arbitraire. Dès que ce choix est fait, il faut appliquer la règle du bonhomme d’Ampère.
  • Il faut faire attention à la somme algébrique des sources. Deux intensités de valeur identique traversant une même surface conduiront à un courant total nul.

Résolution d'un problème avec le théorème d'Ampère[modifier | modifier le code]

Méthode générale pour calculer le champ magnétostatique en tout point M quelconque de l'espace[modifier | modifier le code]

  1. Définir un système de coordonnées approprié aux symétries présentes sur la distribution en courant (cartésiennes, cylindriques et sphériques)
  2. Repérer toutes les invariances de la distribution de courant, afin de déterminer la dépendance du champ par rapport à certaines coordonnées du point M.
  3. Repérer les plans de symétrie (ou d’antisymétrie) de la distribution de courant, afin de déterminer la direction du champ magnétique au point M.
  4. Définir un « contour d’Ampère », qui contient le point M, et sur lequel le champ est tangent. Suivant la distribution il faut généralement distinguer plusieurs cas, selon la région de l’espace où se situe le point (à l’intérieur / à l’extérieur de la distribution par ex.)
  5. Appliquer le Théorème d’Ampère afin de résoudre le problème

Exemples de calcul[modifier | modifier le code]

Des exemples de calculs se trouvent sur la page wikiversity

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • John David Jackson (trad. de l'anglais), Électrodynamique classique [« Classical Electrodynamics »] [détail de l’édition]
  • Gérard Fournet, « Électromagnétisme », Techniques de l'ingénieur, 10 mars 1993.
  • Michel Ney, « Bases de l’électromagnétisme », Techniques de l'ingénieur, 10 août 2004.
  • José-Philippe Pérez, Robert Carles et Robert Fleckinger, Électromagnétisme Vide et milieux matériels, Paris, Masson, 1990 (ISBN 2-225-82294-8).
  • Marie-Nöelle Sanz - Bernard Salamito, Physique Tout-En-Un Pc, Pc* - Le Cours De Référence, collection J'intègre, Paris, Dunod, 01/06/2009 (ISBN 978-2-10-053462-3)
  • Marie-Nöelle Sanz - Anne-Emmanuelle Badel - François Clausset, Physique Tout-En-Un 1ère Année MPSI-PCSI-PTSI - Cours Et Exercices Corrigés, collection J'intègre, Paris, Dunod, 20/06/2012 (ISBN 978-2-10-057871-9)

Liens externes[modifier | modifier le code]