Théorème de Green

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Page d'aide sur l'homonymie Ne doit pas être confondu avec Théorème de Green-Ostrogradski.

En mathématiques, le théorème de Green, ou théorème de Green-Riemann donne la relation entre une intégrale curviligne le long d'une courbe simple fermée orientée C1 par morceaux et l'intégrale double sur la région du plan délimitée par cette courbe.

Ce théorème, nommé d'après George Green et Bernhard Riemann, est un cas particulier du théorème de Stokes.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Domaine délimité par une courbe régulière par morceaux.

Soit C une courbe plane simple, positivement orientée et C1 par morceaux, D le compact du plan délimité par C et Pdx + Qdy une 1-forme différentielle sur \R^2. Si P et Q ont des dérivées partielles continues sur une région ouverte incluant D, alors :

\int_CP\,\mathrm dx + Q\,\mathrm dy = \iint_D\left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)  \mathrm dx\mathrm dy.

Notation alternative[modifier | modifier le code]

Vu comme cas particulier du théorème de Stokes, le théorème s'écrit sous la forme suivante, en notant D la courbe C et ω la forme différentielle. Alors, la dérivée extérieure de ω s'écrit :

 \mathrm d\omega = \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm dx \wedge \mathrm dy

et le théorème de Green se résume par :

\oint_{\partial D}\omega = \iint_{D} \mathrm d\omega.

Le cercle sur l'intégrale précise que le bord D est une courbe fermée (orientée). Changer l'orientation de la courbe change le signe de l'intégrale curviligne. L'orientation du bord ∂D se fait intuitivement de telle façon qu'un point le parcourant doit avoir le domaine D constamment sur sa gauche.

On peut aussi interpréter \oint_{\partial D} \omega comme la circulation du champ de vecteurs P\vec i + Q\vec j défini sur un ouvert du plan contenant D.

Démonstration dans un cas simplifié[modifier | modifier le code]

Théorème de Green-Riemann dans un cas simplifié.

Montrons que \iint_D - \frac{\partial P}{\partial y }(x,y) \,\mathrm{d} x\mathrm{d} y = \int_{\partial D} P\,\mathrm{d}x en supposant que le domaine D peut être décrit par :

 D = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \ ;\ a\leqslant x \leqslant b \ \text{ et }\  f(x) \leqslant y \leqslant g(x) \}

f et g sont des fonctions de classe C1 sur [a, b] qui coïncident en a et b.

Le théorème de Fubini donne :

\iint_D - \frac{\partial P}{\partial y }(x,y)\,\mathrm{d} x\mathrm{d} y = \int_a^b \left( \int_{f(x)}^{g(x)} - \frac{\partial P}{\partial y }(x,y) \,\mathrm{d} y\right)\mathrm{d} x

Or \int_{f(x)}^{g(x)}  -\frac{\partial P}{\partial y }(x,y) \,\mathrm{d} y = P(x,f(x))-P(x,g(x)), de sorte que :

\iint_D - \frac{\partial P}{\partial y }(x,y) \,\mathrm{d} x\mathrm{d} y = \int_a^b P(x,f(x))-P(x,g(x)) \,\mathrm{d}x.

Or l'arc orienté \partial D peut être décomposé en deux sous-arcs :

t \longmapsto  (t,f(t))t croît de a à b

et t \longmapsto  (t,g(t))t décroît de b à a.

L'intégrale curviligne  \int_{\partial D} P \,\mathrm{d}x est donc :

\int_a^b P(t,f(t)) \,\mathrm{d} t + \int_{b}^{a} P(t,g(t)) \,\mathrm{d} t = \int_a^b P(t,f(t)) - P(t,g(t)) \,\mathrm{d} t qui est bien l'expression obtenue ci-dessus.

On montre de même que \iint_D \frac{\partial Q}{\partial x }(x,y) \,\mathrm{d} x\mathrm{d} y = \int_{\partial D} Q \,\mathrm{d}y en supposant que le domaine D peut être décrit comme étant :

 D = \{(x,y)\in\R^2 \ ;\ c\leqslant y \leqslant d \ \text{ et }\  \phi(y) \leqslant x \leqslant \psi(y) \}

ϕ et ψ sont des fonctions de classe C1 sur [c, d] qui coïncident en c et d :

\iint_D \frac{\partial Q}{\partial x }(x,y) \,\mathrm{d} x\mathrm{d} y = \int_c^d \int_{\phi(y)}^{\psi(y)} \frac{\partial Q}{\partial x }(x,y) \,\mathrm{d} x\mathrm{d} y = \int_c^d Q(\psi(y),y) - Q(\phi(y),y) \,\mathrm{d} y = \int_{\partial D} Q \,\mathrm{d}y.

Utilisations[modifier | modifier le code]

Le théorème de Green permet notamment de démontrer l'inégalité de Poincaré, ainsi que le théorème intégral de Cauchy pour les fonctions holomorphes.

Calculs d'aires[modifier | modifier le code]

L'utilisation du théorème de Green permet de calculer l'aire délimitée par une courbe paramétrée fermée. Cette méthode est concrètement appliquée dans les planimètres.

Soit D un domaine du plan auquel le théorème de Green s'applique et soit C = ∂D sa frontière, orientée positivement par rapport à D. On a :

\mathcal{A}(D)=\iint_D\mathrm dx \mathrm dy = \int_C-y \mathrm dx = \int_Cx \mathrm dy=\frac12\int_C-y \mathrm dx + x \mathrm dy

en prenant respectivement \left(P(x,y),Q(x,y)\right) égal à (-y,0), ou bien (0,x), ou enfin (-y/2,x/2), chacun de ces trois cas vérifiant \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 .

Aire d'une astroïde[modifier | modifier le code]

On traite ici l'exemple d'une astroïde, dont le bord C est paramétré par :

 t \mapsto(\cos^3t,\sin^3t),

t variant de 0 à 2π. En prenant P(x,y)\, \mathrm dx=-\frac y2\, \mathrm dx=\frac32\sin^4t\cos^2t\, \mathrm dt et Q(x,y)\, \mathrm  dy=\frac x2\, \mathrm dy=\frac32\cos^4t\sin^2t\, \mathrm dt, on obtient :

\mathcal{A}(D)=\frac12\int_\mathcal{C} -y \mathrm dx + x \mathrm dy =\frac32\int_0^{2\pi}\cos^2t\sin^2t\,\mathrm dt.

Après linéarisation, on en déduit que l'aire de l'astroïde est égale à /8.

Aire d'un polygone[modifier | modifier le code]

Pour un polygone simple à n sommets P0, P1, … , Pn = P0 numérotés dans le sens trigonométrique positif, avec Pi = (xi , yi), on obtient

\mathcal{A}=\frac12\sum_{ i = 1 }^n (x_i+x_{i-1}) \, (y_i-y_{i-1})=-\frac12\sum_{ i = 1 }^n (x_i-x_{i-1}) \, (y_i+y_{i-1})

ou encore

\mathcal{A}=\frac12\sum_{ i = 1 }^n x_{i-1} \, y_i - x_i \, y_{i-1},

expression qui peut s'interpréter comme la somme des aires des triangles OPi–1Pi.

Note : dans la première relation, on observe qu'une translation ne modifie pas l'aire.