Théorème de Gauss (électromagnétisme)

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En électromagnétisme, le théorème de Gauss permet de calculer le flux d'un champ électrique à travers une surface fermée contenant des charges électriques. Il est dû à Carl Friedrich Gauss.

Le théorème s'énonce de la façon suivante : le flux du champ électrique à travers une surface fermée est égal à la somme des charges électriques contenues dans le volume délimité par cette surface, divisée par la permittivité du vide.


Théorème de Gauss appliqué au champ électrique[modifier | modifier le code]

Forme intégrale[modifier | modifier le code]

La forme intégrale du théorème de Gauss s'écrit :

est le flux du champ électrique à travers une surface fermée contenant un volume , est la permittivité du vide, est la densité de charge électrique dans le volume, est un élément de volume infinitésimal et est la charge totale comprise à l'intérieur du volume.

Le flux se définit comme étant l'intégrale de surface du champ électrique :

est un élément de surface infinitésimal. Cette définition permet de réécrire le théorème de Gauss sous la forme suivante :

La forme intégrale du théorème de Gauss trouve son utilité lorsque vient le temps de calculer le champ électrique en un certain point, calcul qui serait plus complexe si la loi de Coulomb était utilisée. Il faut toutefois que la répartition des charges présente une symétrie et que la surface de Gauss choisie soit adéquate. C'est une propriété générale en physique provenant du principe de Curie : les effets ont, au moins, les mêmes symétries que les causes.

Forme différentielle[modifier | modifier le code]

À l'aide du théorème de flux-divergence, le théorème de Gauss peut s'écrire sous la forme différentielle :

Cette forme du théorème de Gauss, aussi appelée la forme locale de la loi de Gauss, est l'une des équations de Maxwell, qui constituent le fondement de l'électrodynamique classique.

Version gravitationnelle[modifier | modifier le code]

Il est également possible de définir un théorème de Gauss appliqué cette fois-ci au flux du champ de gravitation à travers une surface fermée contenant un volume  :

est la constante de gravitation universelle, est la densité de masse du milieu et est la masse totale comprise à l'intérieur du volume.

Voir aussi[modifier | modifier le code]