Crochet de Lie

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Le crochet de Lie est une loi de composition interne [∙, ∙] sur un espace vectoriel, qui lui confère une structure d'algèbre de Lie. Le commutateur [u, v] = uv – vu de deux endomorphismes en constitue l'un des exemples les plus simples.

Le nom de crochet de Lie, ou simplement crochet, est souvent employé pour le crochet de Lie de deux champs de vecteurs sur une variété différentielle.

Définition générale[modifier | modifier le code]

Article détaillé : algèbre de Lie.

Soit V un espace vectoriel sur un corps commutatif K. Un crochet de Lie est une loi de composition interne sur V (c'est-à-dire que le crochet de Lie de deux vecteurs est encore un vecteur : ), vérifiant les propriétés suivantes :

  1. bilinéarité :
    • ,
    •  ;
  2. l'application bilinéaire [∙, ∙] est alternée :  ;
  3. relation de Jacobi :
Remarques

Toute application multilinéaire alternée est antisymétrique (et la réciproque est vraie si la caractéristique du corps est différente de 2). Tout crochet de Lie est donc antisymétrique : .

Si l'on combine la bilinéarité avec l'antisymétrie on peut ne vérifier la linéarité que sur une seule composante :.

Muni d'un crochet de Lie, un espace vectoriel devient une algèbre de Lie.

Crochet de Lie de deux champs de vecteurs[modifier | modifier le code]

Article détaillé : dérivée de Lie.

Soit V une variété différentielle et X et Y deux champs de vecteurs sur V. On note X . f la dérivée de la fonction f dans la direction du champ X. Le crochet de Lie de X et Y est l'unique champ de vecteur, noté [X,Y], tel que, pour toute fonction f indéfiniment dérivable,

On montre en effet qu'un champ de vecteurs Z peut être caractérisé par la façon dont il dérive les applications. On vérifie en outre que l'application [∙, ∙] définit bien un crochet de Lie sur les champs de vecteurs.

Lorsque deux champs de vecteurs ont un crochet nul, on dit qu'ils commutent.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Groupe de Lie