Crochet de Poisson

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En mécanique hamiltonienne, on définit le crochet de Poisson de deux observables et , c'est-à-dire de deux fonctions sur l'espace des phases d'un système physique, par :

où les variables canoniques sont les coordonnées généralisées et les moments conjugués .

C'est un cas particulier de crochet de Lie.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Le crochet de Poisson est antisymétrique :
  • Le crochet de Poisson apporte une structure d'algèbre à l'ensemble des observables, qui en mécanique classique sont des fonctions sur l'espace des phases :
  • Le crochet de Poisson satisfait à l'identité de Jacobi :

Les trois propriétés précédentes font du crochet de Poisson un cas particulier de crochet de Lie.

  • Le crochet de Poisson satisfait de plus à l'identité de Leibniz :
  • Les variables canoniques sont liées par les relations :
  • car les dérivées partielles commutent.

Équations canoniques[modifier | modifier le code]

Soit le hamiltonien du système considéré. Les équations canoniques de Hamilton se réécrivent à l'aide du crochet de Poisson sous la forme :

et :

ou encore, de manière unifiée :

est l'espace des phases associé à la formulation hamiltonienne.

Évolution d'une observable quelconque[modifier | modifier le code]

Cas général[modifier | modifier le code]

Soit une observable , c’est-à-dire une fonction sur l'espace des phases dépendant des moments et des coordonnées généralisées. Il résulte des relations précédentes que :

désigne la dérivée partielle de par rapport à une éventuelle dépendance explicite de par rapport au temps.

Cas de l'énergie totale[modifier | modifier le code]

On obtient pour l'énergie totale du système :

puisque par antisymétrie.

Théorème de Poisson[modifier | modifier le code]

Si et sont deux « intégrales premières » du système[1], c'est-à-dire si , alors en est une aussi.

Démonstration :
Dans le cas où et ne dépendent pas explicitement du temps : d'après l'identité de Jacobi, on a .
Or et , donc .
Comme ne dépend pas non plus explicitement du temps, on a .
D'où la conclusion pour ce cas.
Dans le cas général : on a
En utilisant l'identité de Jacobi et l'égalité utilisant les dérivées partielles, on obtient
La conclusion dans le cas général est alors évidente.

Quantification canonique[modifier | modifier le code]

L'intérêt du crochet de Poisson est qu'il permet de passer facilement à la quantification dans le formalisme algébrique de Heisenberg de la mécanique quantique. Il suffit en général de faire une substitution :

désigne le commutateur, pour obtenir les relations de commutation des opérateurs dans le formalisme de Heisenberg à partir des crochets de Poisson des observables classiques. La même stratégie est applicable à la quantification d'un champ classique.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. on dit aussi « constante du mouvement »

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]