Smash-produit

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En mathématiques et plus précisément en topologie algébrique, le smash-produit XY de deux espaces topologiques pointés (X, x0) et (Y, y0) est le quotient du produit X × Y par les identifications (x, y0) ∼ (x0, y), pour tout xX et tout yY. Cet espace dépend du pointage (sauf si X et Y sont homogènes).

Les espaces X et Y sont plongés dans X × Y par identification aux sous-espaces X × {y0} et {x0} × Y, qui s'intersectent en un seul point : (x0, y0), le point base de X × Y. La réunion de ces deux sous-espaces est donc homéomorphe au wedge XY, ce qui permet d'écrire le smash-produit comme le quotient suivant :

X\wedge Y=(X\times Y)/(X\vee Y).

Le smash-produit a d'importantes applications en théorie de l'homotopie, où l'on travaille souvent avec des sous-catégories de la catégorie des espaces topologiques, ce qui conduit à modifier légèrement la définition. Par exemple dans la sous-catégorie des CW-complexes on remplace, dans la définition, le produit d'espaces topologiques par le produit de CW-complexes.

Exemples[modifier | modifier le code]

Le smash-produit de tout espace pointé X avec une n-sphère est homéomorphe à la suspension réduite de X itérée n fois :

X\wedge S^n=\Sigma^nX.

Par exemple : XS0 =X, XS1 = ΣX et SmSn = ΣnSm = Sm + n, en particulier S1S1 = ΣS1 = S2 est un quotient du tore T2.

Interprétation comme produit monoïdal symétrique[modifier | modifier le code]

Pour tous espaces pointés X, Y et Z d'une sous-catégorie « appropriée », comme celle des espaces compactement engendrés, on a des homéomorphismes naturels (préservant le point base) :

X\wedge Y\simeq Y\wedge X\quad\text{et}\quad(X\wedge Y)\wedge Z\simeq X\wedge(Y\wedge Z),

qui font d'une telle sous-catégorie une catégorie monoïdale symétrique, avec le smash-produit comme produit monoïdal et la 0-sphère pointée (l'espace discret à deux éléments) comme objet unité.

La catégorie naïve des espaces pointés, qui n'est pas cartésienne fermée, n'est pas monoïdale[1] : (ℚ∧ℚ)∧ℕ ≄ ℚ∧(ℚ∧ℕ)[2].

Situation d'adjonction[modifier | modifier le code]

Le smash-produit joue, dans la catégorie des espaces pointés, le même rôle que le produit tensoriel dans la catégorie des modules sur un anneau commutatif. En particulier si A est localement compact, le foncteur (–∧A) est adjoint à gauche du foncteur Hom(A, –) :

\mathrm{Hom}(X\wedge A,Y)\simeq\mathrm{Hom}(X,\mathrm{Hom}(A,Y)),

où Hom(A,Y) est l'espace des morphismes d'espaces pointés, muni de la topologie compacte-ouverte.

En prenant pour A le cercle unité S1, on obtient que le foncteur suspension réduite Σ est adjoint à gauche du foncteur espace des lacets Ω :

\mathrm{Hom}(\Sigma X,Y) \cong \mathrm{Hom}(X,\Omega Y).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) In which situations can one see that topological spaces are ill-behaved from the homotopical viewpoint?, sur MathOverflow
  2. (de) Dieter Puppe, « Homotopiemengen und ihre induzierten Abbildungen. I », Math. Z., vol. 69,‎ , p. 299-344 (lire en ligne), p. 336

Articles connexes[modifier | modifier le code]