Polynôme de Legendre

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Polynômes de Legendre

Les polynômes de Legendre constituent l'exemple le plus simple d'une suite de polynômes orthogonaux. Ce sont des solutions particulières de l'équation différentielle de Legendre :

{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P_n(x) \right] + n(n+1)P_n(x) = 0.,

dans le cas particulier où le paramètre n est un entier. Les polynômes de Legendre sont définis uniquement pour x\in[-1,1] puisque les points x=\pm 1 sont des points singuliers réguliers de cette équation différentielle[1].

Les polynômes de Legendre constituent un cas particulier des polynômes de Jacobi d'indice n, P_n^{(\alpha,\beta)} pour lesquels les paramètres α et β sont nuls: P_n=P_n^{0,0}.

Une définition équivalente, plus abstraite, mais intéressante sur le plan conceptuel, est de considérer que les polynômes de Legendre sont les fonctions propres de l'endomorphisme défini sur \mathbb{R}[X] par :

P \in \R[X] \mapsto u(P)= \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}[(1-x^{2})\frac{\textrm{d}P}{\textrm{d}x}],

pour la valeur propre n(n+1), \ n\in \mathbb{N}.

Ces polynômes orthogonaux ont de nombreuses applications tant en mathématiques, par exemple pour la décomposition d'une fonction en série de polynômes de Legendre, ou encore en physique, où l'équation de Legendre apparaît aussi naturellement lors de la résolution des équations de Laplace ou de Helmholtz en coordonnées sphériques.

Équation de Legendre[modifier | modifier le code]

Définitions, propriétés générales[modifier | modifier le code]

On appelle équation de Legendre l'équation : \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}\left((1-x^{2})\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}\right)+\alpha(\alpha+1)y=0, avec en général \alpha \in \mathbb{R}. Il est possible de rechercher des solutions à cette équation différentielle sous forme de séries entières (par exemple en utilisant la méthode de Frobenius). Comme l'équation différentielle admet pour point singuliers réguliers (pôles simples) les valeurs x=\pm 1, cette série ne convergera que pour |x|<1.

Dans le cas particulier où \alpha = n entier naturel, il est possible d'obtenir des solutions qui soient régulières aux points x=\pm 1, et pour lesquelles la série s'arrête au terme de degré n, i.e. des solutions sous forme de polynômes.

Par suite le polynôme de Legendre P_n (pour tout entier naturel n, et pour x\in[-1,+1]) comme la solution de l'équation différentielle :

\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}\left((1-x^{2})\frac{\textrm{d}P_n(x)}{\textrm{d}x}\right)+n(n+1)P_n(x)=0,\qquad P_n(1)=1.

Cette équation est naturellement liée à l'équation de Laplace  \Delta \psi \ = \ 0, écrite en coordonnées sphériques. En effet, lors de la recherche d'une solution ne dépendant pas de l'angle d’azimut \phi sous la forme d'un produit \psi(r,\theta)=A(r)B(\theta) de deux fonctions d'une seule variable, l'équation vérifiée par B ainsi obtenue est de la forme :

\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{dB}{d\theta}\right)+n(n+1) B=0,

n\left(n+1\right) étant la constante de séparation. Le changement de variable x=\cos\theta permet de vérifier que B suit l'équation de Legendre[2]. Les seules solutions physiquement acceptables, i.e. qui ne divergent pas pour x\to \pm 1 sont alors celles pour lesquelles n est entier, donc les polynômes de Legendre[3].

Fonction génératrice[modifier | modifier le code]

La fonction génératrice des polynômes de Legendre est donnée par :

\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} = \sum_{n=0}^\infty P_n(x) t^n, \ x\in[-1,+1].

Cette expression intervient notamment en physique, par exemple dans le développement à grande distance du potentiel (développement multipolaire).

Autres définitions[modifier | modifier le code]

Formule de récurrence de Bonnet[modifier | modifier le code]

Cette formule permet rapidement d'obtenir l'expression du polynôme de Legendre d'ordre n + 1 à partir de ceux d'ordres n et n - 1. Pour tout entier n ≥ 1 :

(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_n(x) - nP_{n-1}(x).\,

avec P_0(x)=1,\ P_1(x)=x,. Elle se démontre facilement à partir de la fonction génératrice.


Formule de Rodrigues[modifier | modifier le code]

En prenant pour condition de normalisation P_0(x)=1, le polynôme P_n(x) peut s'exprimer en utilisant la formule de Rodrigues :

P_n(x) = {1 \over 2^nn!} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -1)^n \right].

Définition analytique[modifier | modifier le code]

On peut aussi définir cette suite de polynômes par sa fonction génératrice :

\frac{1}{\sqrt{1-2xz+z^2}} = \sum_{n=0}^\infty P_n(x) z^n.

Le calcul des coefficients de la série de Laurent donne alors :

P_{n}(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint(1-2xz+z^2)^{-1/2}z^{-n-1}\textrm{d}z

où le contour entoure l'origine et est pris dans le sens trigonométrique.

Définitions sous forme de somme[modifier | modifier le code]

On définit ce polynôme de deux façons sous forme de somme :

P_{n}(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{E(n/2)} (-1)^k \binom{n}{k} \binom{2n-2k}{n}x^{n-2k}

(on en déduit P_{2n}(0)=\frac{1}{2^{2n}}(-1)^n\binom{2n}{n}  \,)

P_{n}(x)=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2 (x-1)^{n-k}(x+1)^{k}

Quelques polynômes[modifier | modifier le code]

Les premiers polynômes sont :

Les 20 premiers polynômes de Legendre
  • P_{0}(x)=1 \,
  • P_{1}(x)=x\,
  • P_{2}(x)=\frac{1}{2}(3x^{2}-1)\,
  • P_{3}(x)=\frac{1}{2}(5x^{3}-3x)\,
  • P_{4}(x)=\frac{1}{8}(35x^{4}-30x^{2}+3)\,
  • P_{5}(x)=\frac{1}{8}(63x^{5}-70x^{3}+15x)\,
  • P_{6}(x)=\frac{1}{16}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5)\,
  • P_{7}(x)=\frac{1}{16}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x)\,
  • P_{8}(x)=\frac{1}{128}(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35)\,
  • P_{9}(x)=\frac{1}{128}(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x)\,
  • P_{10}(x)=\frac{1}{256}(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63)\,

Propriétés[modifier | modifier le code]

Degré[modifier | modifier le code]

Le polynôme P_n est de degré n.

Base[modifier | modifier le code]

La famille (P_n)_{n\leq N} étant une famille de polynômes à degrés étagés, elle est une base de l'espace vectoriel \R_N[X].

Parité[modifier | modifier le code]

Les polynômes de Legendre suivent la parité de n. On peut exprimer cette propriété par :

P_n(-x)=(-1)^nP_n(x).\,

(en particulier, P_n(-1)=(-1)^n et P_{2n+1}(0)=0).

Orthogonalité[modifier | modifier le code]

Une propriété importante des polynômes de Legendre est leur orthogonalité. Il est possible de montrer, pour tout m,n entiers, que :

\int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x)\,dx = {2 \over {2n + 1}} \delta_{mn}

Il est possible d'interpréter cette relation en introduisant le produit scalaire de deux fonctions, défini à partir de l'intégrale du produit des deux fonctions sur un intervalle borné :

\langle f,g \rangle=\int_a^b f(x)g(x)W(x)~\mathrm dx,

W(x) est appelé « fonction poids », [a,b] étant l'intervalle d'orthogonalité des deux fonctions, qui peut être infini sous réserve de convergence de l'intégrale.

Dans le cas des polynômes de Legendre l'intervalle d'orthogonalité est [−1, 1] et la fonction poids est simplement la fonction constante de valeur 1, il est donc possible d'écrire : ces polynômes sont orthogonaux par rapport au produit scalaire \langle \cdot,\cdot \rangle défini sur \R[X] par la relation :

\langle P_m,P_n\rangle= \int_{-1}^{1} P_m(x)P_n(x)\,\mathrm{d}x = {2 \over {2n + 1}} \delta_{mn}.

De plus, comme (P_n)_{n\leq N} est une base de \R_N[X], on a P_{N+1} \in (\R_N[X])^\bot, c'est-à-dire :

\forall Q \in \R_N[X], \int_{-1}^{1} P_{N+1}(x)Q(x)\,\mathrm{d}x = 0

Norme[modifier | modifier le code]

Le carré de la norme, dans L2([-1,1]), est

\|P_n\|^2=\frac{2}{2n+1}.

En effet, pour tout n>1, on peut établir la relation

P'_{n+1}-P'_{n-1}=(2n+1)P_n, \,

dont on déduit (en utilisant que pour tout k, P'_{k-1} est de degré k-2<k donc est orthogonal à P_k, et en effectuant une intégration par parties) :

\langle P_n,(2n+1)P_n\rangle=\langle P_n,P'_{n+1}-P'_{n-1}\rangle=\langle P_n,P'_{n+1}\rangle =[P_nP_{n+1}]_{-1}^{\ 1}-\langle P'_n,P_{n+1}\rangle=[P_nP_{n+1}]_{-1}^{\ 1}.

Comme P_nP_{n+1} est impair et pour tout k, P_k(1)=1, on aboutit ainsi à (2n+1)\|P_n\|^2=2.

Théorème d'addition[modifier | modifier le code]

Si 0\le \psi_1 < \pi, 0\le \psi_2 < \pi, \psi_1 + \psi_2 < \pi et \phi un réel quelconque, alors

P_k (\cos\psi_1\cos\psi_2 + \sin\psi_1\sin\psi_2\cos\phi) = P_k(\cos\psi_1)P_k(\cos\psi_2) + 2\sum\limits_{m=1}^\infty (-1)^m P_k^{-m}(\cos\psi_1)P_k^m(\cos\psi_2)\cos m\phi,

ce qui est équivalent à

P_k (\cos\psi_1\cos\psi_2 + \sin\psi_1\sin\psi_2\cos\phi) = P_k(\cos\psi_1)P_k(\cos\psi_2) + 2\sum\limits_{m=1}^\infty \frac{\Gamma(k-m+1)}{\Gamma(k+m+1)} P_k^m(\cos\psi_1)P_k^m(\cos\psi_2)\cos m\phi.

On a aussi

Q_k (\cos\psi_1\cos\psi_2 + \sin\psi_1\sin\psi_2\cos\phi) = P_k(\cos\psi_1)Q_k(\cos\psi_2) + 2\sum\limits_{m=1}^\infty (-1)^m P_k^{-m}(\cos\psi_1)Q_k^m(\cos\psi_2)\cos m\phi

sous l'hypothèse que 0\le \psi_1 < \pi/2, 0\le \psi_2 < \pi, \psi_1 + \psi_2 < \pi, \phi

Décomposition en série de polynômes de Legendre[modifier | modifier le code]

Décomposition d'une fonction holomorphe[modifier | modifier le code]

Toute fonction f, holomorphe à l'intérieur d'une ellipse de foyers -1 et +1, peut s'écrire sous la forme d'une série qui converge uniformément à l'intérieur de l'ellipse :

f(z)=\sum_{n=0}^\infty \lambda_n P_n(z)

avec \forall n \in \mathbb{N}, \lambda_n \in \mathbb{C}.

Décomposition d'une fonction lipschitzienne[modifier | modifier le code]

On note \tilde{P_n} le quotient du polynôme P_n par sa norme.

Soit f une application continue sur [-1,1]. Pour tout entier naturel n on pose

c_n(f)=\int_{-1}^1 f(x)\tilde P_n(x)\,dx,

Alors la suite c_n(f)\, est de carré sommable, et permet d'expliciter le projeté orthogonal de f sur \R_n[X] :

S_nf=\sum_{k=0}^n c_k(f)\tilde P_k.

On a de plus :

  1. \forall x\in[-1,1],\;S_nf(x)=\int_{-1}^1 K_n(x,\;y)f(y)\,dy, avec K_n(x,\;y)=\frac{n+1}{2}\frac{\tilde P_{n+1}(x)\tilde P_n(y)-\tilde P_{n+1}(y)\tilde P_n(x)}{x-y} ;
  2. S_nf(x)-f(x)=\int_{-1}^1 K_n(x,\;y)(f(y)-f(x))\,dy.

Supposons de plus que f est une fonction lipschitzienne. On a alors la propriété supplémentaire :[réf. souhaitée]

\forall x\in]-1,1[,\;\lim_{n\to\infty}S_nf(x)=f(x).

autrement dit, l'égalité

f=\sum_{n=0}^\infty c_n(f)\tilde P_n

est vraie non seulement au sens L2 mais au sens de la convergence simple sur ]-1,1[.

Intégration numérique d'une fonction[modifier | modifier le code]

Afin de calculer numériquement l'intégrale d'une fonction sur l'intervalle [-1, 1], l'une des méthodes les plus populaires est la méthode de quadrature de Gauss-Legendre fondée sur les propriétés des polynômes de Legendre. Elle prend la forme :

\int_{-1}^1 f(x) \, \mathrm{d}x \approx \sum_{i=1}^n w_i f(x_i)

avec :

  •  (x_i)_{i \leq n} l'ensemble des zéros du polynôme de Legendre P_n
  •  (\omega_i)_{i \leq n} les poids respectifs :  w_i = \frac{-2}{(n+1) P'_{n}(x_i) P_{n+1}(x_i)}

En particulier, la formule[4] à l'ordre n est exacte pour toute fonction polynomiale de degré 2n-1.

Applications en physique[modifier | modifier le code]

Les polynômes de Legendre, tout comme ceux d'Hermite ou de Laguerre, apparaissent dans diverses branches de la physique ou du calcul numérique car ils permettent le calcul d'intégrales définies sans qu'il soit nécessaire de les évaluer analytiquement, à condition toutefois que par un changement de variable adéquat, on se place dans l'intervalle d'intégration [−1, 1].

Les polynômes de Legendre permettent de développer en série les fonctions du type (cette formule se déduit directement de la fonction génératrice) :


\frac{1}{\left| \mathbf{\vec{r}}-\mathbf{\vec{r}}^\prime \right|} = \frac{1}{\sqrt{r^2+r^{\prime 2}-2rr'\cos\gamma}} = \sum_{\ell=0}^{\infty} \frac{r^{\prime \ell}}{r^{\ell+1}} P_{\ell}(\cos \gamma)
, \text{  avec } r>r'

r et r' sont les normes des vecteurs \mathbf{\vec{r}} et \mathbf{\vec{r}}^\prime, respectivement, et \gamma est l'angle entre ceux-ci. Un tel développement est utilisé par exemple dans l'étude du dipôle électrique ou de façon plus générale dans l'expression du champ électrique ou gravitationnel à grande distance d'une distribution continue de charge ou de masse (développement multipolaire).

Les polynômes de Legendre apparaissent également dans la résolution de l'équation de Laplace \nabla^2 V(\mathbf{\vec{r}})=0 pour le potentiel électrique V dans une région vide de charges, en coordonnées sphériques, dans le cas d'un problème présentant une symétrie axiale (V est alors indépendant de ϕ), procédant par la méthode de séparation des variables. La solution de l'équation de Laplace se met alors sous la forme :


\Phi(r,\theta)=\sum_{\ell=0}^{\infty} \left[ A_\ell r^\ell + B_\ell r^{-(\ell+1)} \right] P_\ell(\cos\theta).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. En effet, en développant l'équation différentielle se met sous la forme y'' -f(x)y'+g(x)y = 0, avec f(x)=\tfrac{2x}{1-x^2} et g(x)=\tfrac{n(n+1)}{1-x^2}. Par suite il est évident que les points x=1 et x=-1 constituent bien des pôles d'ordre un de f(x) et g(x).
  2. Murray R. Spiegel (en), Analyse de Fourier et application aux problèmes de valeurs aux limites : 205 exercices résolus, Série Schaum,‎ , 200 p. (ISBN 978-2-7042-1019-0), chap. 7 (« Les fonctions de Legendre et leurs applications »), p. 138-142.
  3. Le cas plus général où l'on cherche par séparation des variables une les solutions de la partie angulaire de l'équation de Laplace dépendant à la fois de \theta et \phi permet d'introduire les polynômes associés de Legendre, étroitement liés aux harmoniques sphériques.
  4. On trouvera une table pour les cinq premières formules dans (en) Eric W. Weisstein, « Legendre-Gauss quadrature », MathWorld

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]