Carré sommable

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En mathématiques, une fonction définie sur un espace mesuré Ω et à valeurs dans ou est dite de carré sommable ou de carré intégrable si elle appartient à l’espace L2(Ω).

Par exemple, une fonction mesurable de ℝ dans ℂ est de carré sommable lorsque l’intégrale suivante (au sens de Lebesgue)

converge, c'est-à-dire si elle existe et correspond ainsi à un nombre fini.

Définition formelle[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Espace Lp.

Considérons les fonctions mesurables définies sur l’ensemble ℝ et à valeurs dans ℂ dont l’intégrale (au sens de Lebesgue) du carré du module converge[1]. Ces fonctions constituent un espace vectoriel2(ℝ) qui, grâce à l'inégalité de Hölder, peut être muni de la forme hermitienne positive définie par

et de la semi-norme correspondante

Puisqu’une fonction de ℒ2(ℝ) peut rester indéfinie sur un ensemble de mesure nulle sans affecter les intégrales précédentes, la relation d'équivalence « est égale presque partout » permet de constituer des classes de fonctions (notées provisoirement ) : deux fonctions sont alors dans la même classe si elles sont « égales presque partout », c’est-à-dire égales en dehors d’un ensemble de mesure nulle. L’ensemble de ces classes constitue l’espace vectoriel L2(ℝ).

Puisque le noyau de la semi-norme est l’ensemble des fonctions négligeables (c'est-à-dire nulles presque partout) de ℒ2(ℝ), l’espace L2(ℝ) acquiert une structure d’espace de Hilbert à l’aide du produit scalaire

et de la norme correspondante

Ces intégrales ne dépendent pas des représentants ou de ℒ2(ℝ) choisis pour caractériser les classes ou de L2(ℝ).

Simplification en passant aux fonctions définies presque partout[modifier | modifier le code]

Il est commode et fréquent d’identifier une fonction de ℒ2(ℝ) à sa classe dans L2(ℝ). Ainsi :

  • L’espace L2(ℝ) des fonctions de carré sommable est l’ensemble des (classes d'égalité presque partout de) fonctions mesurables définies presque partout sur ℝ et à valeurs dans ℝ ou ℂ, telles que le carré de leur module soit Lebesgue-intégrable sur ℝ.
  • L2(ℝ) est un espace de Hilbert lorsqu’il est muni du produit scalaire

Quelques propriétés[modifier | modifier le code]

En tant qu’espace de Hilbert, L2(ℝ) est un espace complet :

Si une suite dans L2(ℝ) est de Cauchy, alors il existe une limite dans L2(ℝ) (c'est-à-dire une fonction définie presque partout sur ℝ et de carré sommable) telle que

C’est la notion de convergence en moyenne quadratique. Elle n’implique pas nécessairement la convergence ponctuelle presque partout.

Cependant, de toute suite convergente de L2(ℝ), on peut extraire une sous-suite qui converge ponctuellement presque partout. En d’autres termes, si converge vers en moyenne quadratique, on peut trouver une partie infinie de ℕ et un ensemble de mesure nulle tels que

Le théorème de convergence dominée fournit une condition suffisante de convergence en moyenne quadratique :

Soit une suite dans L2(ℝ) qui converge presque partout vers une limite . S’il existe une fonction dans L2(ℝ) et un ensemble de mesure nulle tels que
alors converge en moyenne quadratique vers .

Les fonctions de carré sommable en physique[modifier | modifier le code]

En physique quantique, une fonction d'onde associée à une particule est de carré sommable relativement à la variable spatiale. Physiquement, en effet, le carré du module de la fonction d'onde est une densité de probabilité de présence de la particule au point et à l'instant . Par conséquent, l'intégrale de ce carré vaut 1, puisque la particule se trouve quelque part dans l'espace. En termes plus mathématiques, une fonction d'onde est de norme 1 dans l'espace des fonctions de carré sommable.

Note[modifier | modifier le code]

  1. ℝ est ici muni à la fois de la tribu de Lebesgue et de la mesure de Lebesgue.

Voir aussi[modifier | modifier le code]