Polynôme de Jacobi

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En mathématiques, les polynômes de Jacobi sont une classe de polynômes orthogonaux. Ils sont obtenus à partir des séries hypergéométriques dans les cas où la série est en fait finie :

P_n^{(\alpha,\beta)}(z)=\frac{(\alpha+1)_n}{n!}
\,_2F_1\left(-n,1+\alpha+\beta+n;\alpha+1;\frac{1-z}{2}\right) ,

(\alpha+1)_n\, est le symbole de Pochhammer pour la factorielle croissante, (Abramowitz & Stegun p561.) et ainsi, nous avons l'expression explicite


P_n^{(\alpha,\beta)} (z) = 
\frac{\Gamma (\alpha+n+1)}{n!\Gamma (\alpha+\beta+n+1)}
\sum_{m=0}^n {n\choose m}
\frac{\Gamma (\alpha + \beta + n + m + 1)}{\Gamma (\alpha + m + 1)} \left(\frac{z-1}{2}\right)^m ,

pour laquelle la valeur finale est

P_n^{(\alpha, \beta)} (1) = {n+\alpha\choose n} .

Ici, pour l'entier n\,


{z\choose n} = \frac{\Gamma(z+1)}{\Gamma(n+1)\Gamma(z-n+1)},

et \Gamma(z)\, est la fonction gamma usuelle, qui possède la propriété 1/\Gamma(n+1) = 0\, pour n=-1,-2,\dots\,. Ainsi,


{z\choose n} = 0 \quad\hbox{pour}\quad n < 0.

Les polynômes ont la relation de symétrie P_n^{(\alpha, \beta)} (-z) = (-1)^n P_n^{(\beta, \alpha)} (z) ; ainsi, l'autre valeur finale est

P_n^{(\alpha, \beta)} (-1) = (-1)^n { n+\beta\choose n} .

Pour un nombre réel x, le polynôme de Jacobi peut être écrit alternativement sous la forme

P_n^{(\alpha,\beta)}(x)=
\sum_s
{n+\alpha\choose s}{n+\beta \choose n-s}
\left(\frac{x-1}{2}\right)^{n-s} \left(\frac{x+1}{2}\right)^{s}

s \ge 0 \, et  n-s \ge 0 \, .

Dans le cas particulier où les quatre quantités n, n+\alpha, n+\beta et n+\alpha +\beta sont des nombres entiers positifs, le polynôme de Jacobi peut être écrit sous la forme

P_n^{(\alpha,\beta)}(x)=  (n+\alpha)! (n+\beta)!
\sum_s
\left[s! (n+\alpha-s)!(\beta+s)!(n-s)!\right]^{-1}
\left(\frac{x-1}{2}\right)^{n-s} \left(\frac{x+1}{2}\right)^{s}.

La somme sur s\, s'étend sur toutes les valeurs entières pour lesquelles les arguments des factorielles sont positives.

Cette forme permet l'expression de la matrice D de Wigner d^j_{m' m}(\phi)\; (0\le \phi\le 4\pi) en termes de polynômes de Jacobi[1]


d^j_{m'm}(\phi) =\left[
\frac{(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}\right]^{1/2}
\left(\sin\frac{\phi}{2}\right)^{m-m'}
\left(\cos\frac{\phi}{2}\right)^{m+m'}
P_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi).

Dérivées[modifier | modifier le code]

La k-ème dérivée de l'expression explicite conduit à


\frac{\mathrm d^k}{\mathrm d z^k}
P_n^{(\alpha,\beta)} (z) = 
\frac{\Gamma (\alpha+\beta+n+1+k)}{2^k \Gamma (\alpha+\beta+n+1)}
P_{n-k}^{(\alpha+k, \beta+k)} (z) .

Référence[modifier | modifier le code]

  1. L. C. Biedenharn et J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley, Reading, (1981)

Article connexe[modifier | modifier le code]

Inégalité d'Askey-Gasper (en)