Harmonique sphérique

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En mathématiques, les harmoniques sphériques sont des fonctions harmoniques particulières, c'est-à-dire des fonctions dont le laplacien est nul. Les harmoniques sphériques sont particulièrement utiles pour résoudre des problèmes invariants par rotation, car elles sont les vecteurs propres de certains opérateurs liés aux rotations.

Les polynômes harmoniques de degré forment un espace vectoriel de dimension , et peuvent s'exprimer en coordonnées sphériques à l'aide de combinaisons :

,

avec .

Les coordonnées sphériques sont, respectivement, la distance au centre de la sphère, la colatitude et la longitude.

Tout polynôme homogène est entièrement déterminé par sa restriction à la sphère unité .

Définition — Les fonctions sur la sphère obtenues par restriction de polynômes homogènes harmoniques sont des harmoniques sphériques.

C'est pourquoi la partie radiale de l'équation de Laplace, différente selon le problème étudié n'apparaît pas ici.

Les harmoniques sphériques sont utilisées en physique mathématique, dès qu'intervient la notion d'orientation (anisotropie) et donc de rotation (groupe de symétrie orthogonal ) et que le laplacien entre en jeu :

Résolution de l'équation de Laplace[modifier | modifier le code]

On cherche les fonctions sous la forme d'un produit de deux fonctions d'une seule variable :

est une constante, qui sera fixée ultérieurement par la normalisation. L'équation aux valeurs propres devient une équation différentielle linéaire d'ordre deux pour la fonction  :

Représentations des premières harmoniques sphériques "réelles" (combinaisons linéaires des de même ). Les parties en bleu correspondent aux valeurs négatives, celles en jaune aux valeurs positives des harmoniques.

On fait le changement de variable : qui conduit à l'équation différentielle généralisée de Legendre :

Les valeurs propres de cette équation sont indépendantes de  :

Les fonctions propres sont les polynômes associés de Legendre. Ils se construisent à partir des polynômes de Legendre qui sont les fonctions propres de l'équation différentielle ordinaire de Legendre, correspondant au cas  :

On a la formule génératrice d'Olinde Rodrigues :

On construit alors les fonctions propres par la formule :

soit explicitement :

Remarque : il suffit en pratique de calculer les fonctions pour , car il existe une relation simple entre et  :


Expression des harmoniques sphériques[modifier | modifier le code]

On obtient alors l'expression inscrite plus bas. Une manière simple de retenir cette expression est la suivante :

,

est le polynôme de Legendre de degré .

On obtient ensuite :

est l'opérateur « d'échelle montante ».

Pour négatif,

Souvent cette base se note  :

toute fonction sur la sphère pourra donc s'écrire :

(en convention de sommation d'Einstein), les coefficients complexes jouant le rôle de composantes de dans la base des (on dit parfois coefficients de Fourier généralisés).

En chimie ou en géophysique, il arrive qu'on préfère utiliser les harmoniques sphériques « réelles » et des coefficients de Fourier réels.

Expression mathématique[modifier | modifier le code]

Les harmoniques sphériques formant une base orthogonale sur la sphère unité, toute fonction continue se décompose en une série d'harmoniques sphériques :

et sont des indices entiers, Clm est un coefficient constant et souvent en mathématiques prend le nom de coefficient de Fourier généralisé relativement à cette base.

Le développement en harmoniques sphériques est l'équivalent, appliqué aux fonctions angulaires, du développement en séries de Fourier pour les fonctions périodiques.

Ylm est la partie réelle d'une fonction complexe Ylm

Ylm est appelée « fonction associée de Legendre » et est définie par

est l'imaginaire et Plm est le polynôme associé de Legendre :

On a donc

On a par exemple :

  • (Y00 est isotrope) ;
  •  ;
  •  ;
  •  ;

Les fonctions Ylm(θ, φ) présentent de plus en plus de symétries au fur et à mesure que croît (sauf lorsque , puisque Y00 est une fonction constante et décrit donc une sphère).

Polynômes de Legendre[modifier | modifier le code]

Pour les harmoniques circulaires, on utilise des polynômes de la fonction cosinus :

Les polynômes utilisés sont les polynômes de Legendre1 :

(formule de Rodrigues, mathématicien français)

On obtient :

  • (fonction isotrope) ;
  •  ;
  •  ;
  •  ;

Harmoniques sphériques normalisées[modifier | modifier le code]

Base orthonormale des harmoniques sphériques[modifier | modifier le code]

Parmi les fonctions, l'habitude a été prise de sélectionner une base orthonormale sur la sphère munie de la mesure

,

soit le produit scalaire (hermitien en fait) :

Les harmoniques sphériques sont les solutions de l'équation aux valeurs propres[1] :

où l'opérateur laplacien s'écrit en coordonnées sphériques sur la sphère de rayon unité,  :

Elles sont fonctions propres de l'opérateur  :

Celles-ci, une fois normées sur la sphère sont alors notées usuellement , où les angles sont les coordonnées sphériques sur la sphère de rayon unité, et et sont deux nombres entiers tels que :

Normalisation[modifier | modifier le code]

Les harmoniques sphériques constituent une base orthonormale de fonctions propres de l'opérateur laplacien sur la sphère de rayon unité au sens où :

Elles sont orthogonales pour le produit scalaire suivant :

Dans cette formule, représente l'angle solide élémentaire :

Toute fonction suffisamment régulière admet un développement en série :

où les coefficients complexes se calculent par :

Expression des harmoniques sphériques normalisées[modifier | modifier le code]

Les harmoniques sphériques généralisées sont définies sur la sphère S3. La normalisation des harmoniques sphériques conduit à l'expression finale :

Forme "réelle" des harmoniques sphériques[modifier | modifier le code]

Si m ≠ 0 les harmoniques sphériques ont des valeurs complexes. Il est cependant possible, pour une valeur donnée de de définir des combinaisons linéaires des qui soient réelles, tout en constituant toujours une base normalisée sur la sphère unité.

Il suffit pour cela de prendre les combinaisons linéaires suivantes:

Il est facile de vérifier que ces expressions sont bien normalisées à l'unité. Ces relations s'inversent sans difficulté pour donner:

En substituant les expressions précédentes des harmoniques sphériques, on obtient les expressions générales suivantes: Ces fonctions sont utilisées fréquemment en chimie quantique pour représenter les parties angulaires des différentes orbitales atomiques associées aux différents électrons du cortège électronique des atomes.

Représentations graphiques[modifier | modifier le code]

Représentation sphérique[modifier | modifier le code]

Si l'on utilise la représentation sphérique

alors la surface représentatrice est une sphère bosselée ; les bosses correspondent aux parties où Ylm est positif, les creux aux parties où Ylm est négatif. Lorsque et décrivent l'intervalle , Ylm(θ, φ) s'annule selon cercles :

  • cercles suivant un méridien, une iso-longitude (intersection entre un plan contenant et la sphère) ;
  • cercles suivant un parallèle, une iso-latitude (intersection entre un plan parallèle à et la sphère).

Le paramètre est appelé le « degré », est appelé l'« ordre azimutal ». Entre les cercles d'annulation, la fonction est alternativement positive ou négative.

Harmoniques spheriques positif negatif.png

Ci-dessous sont représentées quatre coupes de l'harmonique sphérique Y32 :

Traces harmonique spherique.png

Comme précédemment, on peut représenter la fonction par la courbe en coordonnées sphériques :

YL3M2sph.png YL3M2.png

les parties en blanc sont positives, en bleu négatives

Représentation en coupe[modifier | modifier le code]

Les harmoniques sphériques peuvent être représentées de façon plus simple sans les ventres de vibration, en ne gardant que les nœuds, comme le montre le tableau suivant[2]. Ce sont les sphères de la figure du haut, projetées sur un plan vertical. On retrouve sur la dernière ligne les quatre sphères de la première figure ci-dessus où . Les quatre valeurs de y varient de 0 à 3 en valeur absolue. Sur la figure ci-après, on distingue les valeurs négatives pour tenir compte de ce que la rotation peut se faire dans un sens ou dans l'autre pour . Pour montrer la concordance avec les harmoniques, leur plus simple expression est donnée sous chaque sphère.

Harmoniques sphériques.jpg

On reconnaît les nombres quantiques secondaire , correspondant aux sous-couches s, p, d, f et m, magnétique, de l'atome d'hydrogène. Le nombre quantique principal n'apparaît pas car les modes radiaux sont différents selon le problème étudié, résonance acoustique, atome d'hydrogène ou autre.

Pour montrer la concordance avec la littérature, l’expression des harmoniques sphériques est donnée sous chaque sphère. Le nombre et la valeur des zéros des polynômes de Legendre associés, non normalisés, donne le nombre de parallèles et leur position sur l’axe vertical. L’exponentielle imaginaire , de module unité, utilisée habituellement au lieu des sinus et cosinus, donne le nombre de méridiens. Les valeurs de ne s’observent que dans les états excités ou les atomes de Rydberg où la valeur habituelle de est 50 et dont l'orbitale est représentée non par une sphère mais par un anneau[3].

Représentation cartésienne et polaire[modifier | modifier le code]

On peut représenter les harmoniques circulaires de trois manières :

  • en coordonnées cartésiennes :  ;
  • en coordonnées polaires :
    avec , utilisé par exemple pour un objet circulaire ; la courbe coupe le cercle de centre et de rayon lorsque la fonction s'annule ;
  • en coordonnées polaires :
    utilisé par exemple pour les fonctions d'onde en physique quantique.
Trois premières harmoniques circulaires
Représentation cartésienne Représentations polaires (tracé manuel) Représentations polaires (tracé exact)
1 Legendre Y1 xy.png Legendre Y1 polaire.png Legendre polaire y1 y2 y3.png
2 Legendre Y2 xy.png Legendre Y2 polaire.png
3 Legendre Y3 xy.png Legendre Y3 polaire.png

Autres harmoniques[modifier | modifier le code]

Harmoniques circulaires[modifier | modifier le code]

Dans le plan, la décomposition s'écrit :

est une fonction constante, la courbe représentatrice en coordonnées polaires est donc un cercle de rayon .

est une fonction invariante par une rotation d'un angle de tour, c'est-à-dire que

on dit que admet une symétrie d'ordre .

Harmoniques sphériques généralisées[modifier | modifier le code]

Lorsque l'on considère l'orientation d'un objet dans l'espace, il faut faire appel à trois angles ; on utilise en général les angles d'Euler (ψ, θ, φ).

Considérons une fonction continue de l'orientation ƒ(ψ, θ, φ) ; comme précédemment, cette fonction peut être décomposée en harmoniques sphériques généralisées

Clmn est une constante. La fonction Ylmn s'écrit :

Le polynôme Plmn est le polynôme de Legendre généralisé

Quand décrit l'intervalle , cette fonction Plmn est soit réelle, soit imaginaire pure. Y000(ψ, θ, φ) est la fonction isotrope (symétrie sphérique).

D'après la loi de composition des rotations, on a :

et en particulier

On a de manière générale :

Par exemple pour  :

-1 0 +1
-1
0
1

Pour  :

-2 -1 0 +1 +2
-2
-1
0
1
2

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. On a introduit un signe moins pour avoir des valeurs propres positives. En effet, l'opérateur lapalacien est un opérateur négatif au sens où, pour toute fonction lisse à support compact, on a :

    Cette égalité se démontre en utilisant la relation Δ = div grad et en intégrant par parties.

  2. Bernard Schaeffer, Relativités et quanta clarifiés, Publibook, 2007
  3. Atomes circulaires : propriétés et préparation

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]