Multifractale

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Un étrange attracteur composant une multifractale.

La géométrie multifractale est une extension de la géométrie fractale aux mesures mathématiques. Par extension, les mesures multifractales respectent la propriété d'invariance d'échelle. Le passage d'un ensemble de points à une mesure induit une complexification des comportements scalants. Dans une fractale usuelle, un seul comportement scalant régit sa forme.

Avec une mesure multifractale, plutôt que d'avoir un unique comportement scalant, on observe une multitude de comportements scalants entremêlés. Pour décrire cette pluralité de comportements scalant, une unique dimension fractale est insuffisante et les chercheurs ont recours à des outils plus sophistiqués. Une première approche consiste à utiliser des dimensions fractales généralisées. Une deuxième approche repose sur l'évaluation d'un spectre multifractal. En pratique, pour une large classe d'objets multifractals, ces deux approches sont équivalentes et l'on passe de l'une à l'autre à partir d'une transformée de Legendre.

Spectre[modifier | modifier le code]

Dimensions[modifier | modifier le code]

En géométrie multifractale, comme en géométrie fractale classique, la notion de dimension est plurielle. Dans la littérature, il existe principalement deux types de mesures que sont : les dimensions apparentées aux dimensions dites de box-counting, et les dimensions apparentées au dimension de Hausdorff.

Seule les dimensions apparentées au dimension de Hausdorff existent pour toutes mesures. Mais en pratique, seule les dimensions apparentées aux dimensions dites de <<Box-counting>> sont calculables.

La dimension multifractale de box-counting est définie comme passage à la limite de l'entropie de Rényi.

Application en finance[modifier | modifier le code]

Laurent-Emmanuel Calvet et Adlai Fisher ont développé des modèles multifractals permettant d'évaluer le risque des actifs financiers[1].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Laurent-Emmanuel Calvet, Multifractal Volatility: Theory, Forecasting and Pricing, Academic Press, , 258 p. (ISBN 0121500136, lire en ligne)

Liens externes[modifier | modifier le code]