Système de fonctions itérées

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Image d'un attracteur de deux similitudes

En mathématiques, un système de fonctions itérées (ou IFS, acronyme du terme anglais Iterated Function System) est une méthode de construction de certains objets fractals. Pour les formes fractales auto-similaires, elle utilise cette propriété comme base pour le choix de fonctions, souvent contractantes, de sorte que leur application répétée recopie le motif originel pour tendre vers la forme fractale.

Elle a été mise en forme lors d'un séjour à l'université de Princeton par John Hutchinson en 1980 [1]. Michael Barnsley a démontré, avec le théorème du collage, que tout ensemble compact de points peut être approximé par un IFS.

Définition[modifier | modifier le code]

Un IFS est un ensemble S de N fonctions contractantes dans un espace métrique complet M.

On définit à partir des Ti une nouvelle fonction T, elle aussi contractante sur l'ensemble des parties compactes de M muni de la distance de Hausdorff, par l'expression , appelée opérateur de Hutchinson de S[1].

Le théorème du point fixe de Banach assure l'existence et l'unicité d'un sous-ensemble fixe tel que T(F) = F. F est appelé attracteur de l'IFS et noté |S|.

Remarques

En pratique, on choisit un compact quelconque K, par exemple un point, et on considère la suite (K, T(K), T(T(K)), ...), autrement dit l'orbite de K[2]. Il est remarquable que cette suite converge alors, pour n'importe quel compact K, vers |S|. C'est de là que vient le terme d'itéré[3].

  • La plupart des fonctions des IFS classiques sont des fonctions affines[4],[5],[3].
  • On appelle flame IFS des fractales obtenues par des fonctions non linéaires.

Caractère d'auto-similarité[modifier | modifier le code]

En reprenant les notations précédentes, précisons qu'on applique le théorème du point fixe dans l'espace métrique complet K(Rn) des compacts non vides de Rn, muni de la distance de Hausdorff. Ainsi, F est lui-même un espace compact non vide de Rn, c'est-à-dire un fermé borné. Précisons en outre en quoi F est une fractale. En réécrivant l'égalité T(F) = F, on obtient : . C'est l'égalité qui traduit l'intuition que l'on a en observant bon nombre d'attracteurs de systèmes de fonctions itérées (la courbe de Lévy par exemple, l'ensemble de Cantor, le triangle de Sierpinski[6]...). On a ici un caractère d'autosimilarité parfaitement définissable mathématiquement et exploitable au moins dans le cadre restreint des attracteurs de systèmes de fonctions itérées. C'est celle choisie par John Hutchinson dès la première page de son article de 1980[1].

Dimension de la fractale[modifier | modifier le code]

De la construction de l'IFS, on peut déduire la dimension de Hausdorff de la fractale finale : si l'application Ti est contractante de rapport ki, alors la dimension de S est le réel d vérifiant :

Une riche source de fractales[modifier | modifier le code]

C'est en ces termes que Michael Barnsley explique l'intérêt du théorème suivant[7] :

Théorème — Soit (Y,d) un espace métrique. Soit X un compact non vide de Y. Soit H(X) l'ensemble des compacts non vides de X. Soit f : XY continue et telle que X soit contenue dans f(X). Alors

  1. pour tout compact non vide B de X, f –1(B) est un compact non vide de X et on peut donc définir une application W : H(X) → H(X) par W(B) = f –1(B)
  2. W possède un point fixe A donné par

On a aussi

Exemples
  • Le cas f(z)=z2 fournit le disque unité.
  • Le cas f(z)=z2 – 1 fournit l'ensemble de Julia rempli associé, noté[8] J-1. On peut prendre pour X le carré de centre 0 et de côté 4.
  • On a[7], de façon générale,. Autrement dit, A est l'ensemble des points dont l'orbite ne s'échappe pas de X, où l'on appelle[2] orbite d'un point la suite (x, f(x), f2(x), ...).


Exemples d'attracteurs classiques[modifier | modifier le code]

La fougère de Barnsley, élaborée par un système de quatre fonctions affines.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Logiciels[modifier | modifier le code]

  • Apophysis, générateur de fractales supportant des fonctions non linéaires.
  • Glito, programme libre permettant d'explorer les IFS de dimension 2 (applications affines, fonction sinusoïdales, ensemble de Julia)
  • Générateur d'IFS en ligne, proposant des systèmes de fonctions itérées classiques, et permettant également de créer des IFS inédits

Références[modifier | modifier le code]

  1. a b et c (en) John Hutchinson, « Fractals and self similarity », Indiana University Mathematical Journal,‎ , p.714 (lire en ligne) :

    « "My special thanks to F. J. Almgren for making possible my stay at Princeton university" »

  2. a et b Claude Tricot, Géométries et mesures fractales : une introduction, Ellipses, (ISBN 9782729840457, OCLC 377976458, lire en ligne), p. 4, p. 36
  3. a et b Florence Messineo, Le monde fascinant des objets fractals, Ellipses (ISBN 2340008123), p.93
  4. (en) « Fractal Visualizations »
  5. « Système itéré de fonctions »
  6. (en) Edgar, Gerald A., Measure, topology, and fractal geometry, Springer, (ISBN 9781441925695, OCLC 255688131, lire en ligne), p. 27
  7. a et b Barnsley, M. F. (Michael Fielding), 1946-, Fractals everywhere, Academic Press Professional, (ISBN 0120790696, OCLC 28025975, lire en ligne), p. 268, p. 287
  8. « Ensemble de Julia », sur mathcurve
  9. « Courbe du blancmanger », sur www.mathcurve.com (consulté le 12 janvier 2018)
  10. Robert FERRÉOL, « Escalier du diable », sur www.mathcurve.com (consulté le 12 janvier 2018)
  11. Robert FERRÉOL, « Courbe de Hilbert », sur www.mathcurve.com (consulté le 12 janvier 2018)
  12. « arbre fractal », sur mathcurve de robert ferreol (consulté le 1er décembre 2018)
  • (en) Kenneth Falconer, Fractal geometry: Mathematical foundations and applications, John Wiley and Sons, (ISBN 0-471-92287-0), p. 113–117,136.
  • (en) John E. Hutchinson, « Fractals and self similarity », Indiana Univ. Math. J., vol. 30,‎ , p. 713–747 (DOI 10.1512/iumj.1981.30.30055)