Système de fonctions itérées

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image d'un attracteur de deux similitudes

La théorie des systèmes de fonctions itérées ou IFS (d'après le nom anglais Iterated Function System) est une théorie mathématique mise en forme lors d'un séjour à l'université de Princeton par John Hutchinson[1] en 1980 et utilisée dans le cadre de la géométrie fractale (depuis les travaux de Michael Barnsley en 1988 et son livre Fractals Everywhere[2]). Cette théorie est entièrement fondée sur les invariances par changement d'échelle.

Barnsley a démontré, avec le théorème du collage, que tout ensemble compact de points peut être approximé par un IFS.

Un IFS peut être la représentation fonctionnelle d'une fractale. Cela donne une théorie parfaitement définie mathématiquement qui permet de nombreuses études sur les fractales (continuité, dérivabilité, approximation…)

Définition[modifier | modifier le code]

Un IFS est un ensemble de N fonctions contractantes dans un espace métrique complet M.

Par exemple, l'illustration du résumé introductif ci-dessus est obtenue à partir de N=2 similitudes, à savoir z'=0,1[(4+i)z+4] et z'=0,1[(4+7i)z*+5-2i].

On définit à partir des une nouvelle fonction , elle aussi[1] contractante sur l'ensemble des parties compactes de M muni de la distance de Hausdorff, par l'expression , appelée opérateur d'Hutchinson de .

Le théorème du point fixe de Banach assure l'existence et l'unicité d'un sous-ensemble fixe tel que . est appelé attracteur de l'IFS et noté[1] .

En pratique, on choisit un compact quelconque K, par exemple un point, et on considère la suite autrement dit l'orbite de K[3]. Il est remarquable que cette suite converge alors, pour n'importe quel compact K, vers . C'est de là que vient le terme d'itéré[4].

Remarques :

  • Les IFS ne servent pas uniquement à la modélisation des fractales, même si c'est dans ce cadre-là qu'elles sont le plus utilisées.
  • La plupart des fonctions des IFS classiques sont des fonctions affines[5],[6],[4]. On appelle flame IFS des fractales obtenues par des fonctions non linéaires.

Dimension fractale[modifier | modifier le code]

Si la condition d'ensemble ouvert est respectée, la valeur de la dimension de Hausdorff D de l'attracteur d'un IFS composé de k similitudes contractantes de rapport , satisfait à l'équation suivante:

Dans le cas de fonctions affines ou non linéaires, cette équation n'est plus valable.

Caractère d'autosimilarité[modifier | modifier le code]

En reprenant les notations précédentes, précisons qu'on applique le théorème du point fixe dans l'espace métrique complet K(Rn) des compacts non vides de Rn, muni de la distance de Hausdorff. Ainsi, est lui-même un espace compact non vide de Rn, c'est-à-dire un fermé borné. Précisons en outre en quoi est une fractale. En réécrivant l'égalité , on obtient : . C'est l'égalité qui traduit l'intuition que l'on a en observant bon nombre d'attracteurs de systèmes de fonctions itérées (la courbe de Lévy par exemple, l'ensemble de Cantor, le triangle de Sierpinski [7]...). On a ici un caractère d'autosimilarité parfaitement définissable mathématiquement et exploitable au moins dans le cadre restreint des attracteurs de systèmes de fonctions itérées. C'est celle choisie par John Hutchinson dès la première page de son article de 1980[1].

Notion de variation[modifier | modifier le code]

Prenons une fractale classique, la courbe de Lévy C, par exemple. On rappelle que C est l'attracteur dans le plan complexe de la famille de contractions {h,l} où h et l sont les similitudes définies par

avec

Introduisons une variation que, dans un premier temps, nous décrirons uniquement comme une fonction V du plan des complexes dans lui-même. Par exemple la variation sinusoïdale z* est le conjugué de z.

Nous pouvons alors appliquer la variation sinusoïdale V à notre IFS {h,l}, par exemple uniquement à l, et définir une nouvelle fonction du plan dans lui-même par

Variation sinusoïdale de la courbe de Lévy

Par exemple, L(0) est un point proche de 0.48+0.48i alors que l(0)=0.5+0.5i.

Nous avons alors associé à {h,l} un nouveau système de fonctions {h,L}={h,V0l}, transformé de {h,l} en appliquant la variation sinusoïdale V à la seule contraction l.

Il faut s'assurer que L est une application contractante si l'on veut appliquer le théorème du point fixe de Banach. Ici, c'est bien le cas avec 0,8 par exemple comme rapport de contraction. On remarquera qu'ici L n'est pas affine comme dans les cas courants.

On vient d'obtenir un nouvel attracteur A, qui possède en particulier un caractère d'autosimilarité. En outre, L possède un point fixe. On démontre que ce point fixe appartient à A.

Le but ici était de commencer de donner une approche rigoureuse à la notion de variation utilisée par Scott Draves (en)[8] par exemple.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • La fonction idC est évidemment une variation.
  • La fonction est appelée la variation cylindre[8];
  • La variation "horseshoe" (fer à cheval) est la variation V:C-{0} -> C définie par V(z)=z²//z/. On prouve que V est 1-lipschitzienne. Donc, si f est une contraction, V°f aussi (il faudra tout de même s'assurer que f ne s'annule pas) et on peut donc construire un nouvel attracteur.
  • Reprenons le cas de {h,l} famille de 2 contractions associées à la courbe de Lévy. Considérons l'application de [-pi,pi] dans l'ensemble des variations liées à la courbe de Lévy, et définie par x -> V(x) où V(x)(z)=exp(ix)z. Alors V(-pi/2)°h(z)=-0,5i(1+i)z=0,5(1-i)z=H(z) et l'attracteur de {H,l} est une courbe du dragon.
  • La variation "fisheye" est la variation V:C->C définie par V(z)=z/(1+/z/).
  • Les ensembles de Julia sont associés à z->z²-c où c désigne un complexe. Les fonctions inverses V0: z-> et V1: z-> - permettent entre autres la construction des ensembles de Julia comme attracteurs d'IFS[2],[7]. Par exemple, l'ensemble de Julia le plus simple est le cercle unité associé à .
  • Soit k la constante de Lipschitz d'un IFS. Soit V:C->C k1-lipschitzienne avec k1< 1/k. Alors V est une variation de l'IFS. En particulier, toute contraction est une variation d'un IFS.

Exemples d'attracteurs classiques[modifier | modifier le code]

La fougère de Barnsley, élaborée par un système de quatre fonctions affines
Fonction 1 : homothétie de rapport 1/3 par rapport au point 0 ;
Fonction 2 : homothétie de rapport 1/3 par rapport au point 1.

Une riche source de fractales[modifier | modifier le code]

C'est en ces termes que Michael Barnsley explique[2] l'intérêt du théorème suivant :

Théorème — Soit (Y,d) un espace métrique. Soit X un compact non vide de Y. Soit H(X) l'ensemble des compacts non vides de X. Soit f: XY continue et telle que X soit contenue dans f(X). Alors

  1. pour tout compact non vide B de X, f -1(B) est un compact non vide de X et on peut donc définir une application W:H(X) → H(X) par W(B)=f -1(B)
  2. W possède un point fixe A donné par

On a aussi

Exemples
  • Le cas f(z)=z2 fournit le disque unité.
  • Le cas f(z)=z2-1 fournit l'ensemble de Julia rempli associé, noté[12] J-1. On peut prendre pour le carré de centre et de côté 4.
  • On a[2], de façon générale,. Autrement dit, A est l'ensemble des points dont l'orbite ne s'échappe pas de X, où l'on appelle[3] orbite d'un point la suite .

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Logiciels[modifier | modifier le code]

  • Apophysis, générateur de fractales supportant des fonctions non linéaires.
  • Glito, programme libre permettant d'explorer les IFS de dimension 2 (applications affines, fonction sinusoïdales, ensemble de Julia)
  • Générateur d'IFS en ligne, proposant des systèmes de fonctions itérées classiques, et permettant également de créer des IFS inédits

Références[modifier | modifier le code]

  1. a, b, c et d (en) John Hutchinson, « Fractals and self similarity », Indiana University Mathematical Journal,‎ , p.714 (lire en ligne) :

    « "My special thanks to F. J. Almgren for making possible my stay at Princeton university" »

  2. a, b, c et d Barnsley, M. F. (Michael Fielding), 1946-, Fractals everywhere, Academic Press Professional, (ISBN 0120790696, OCLC 28025975, lire en ligne), p. 268, p. 287
  3. a et b Tricot, Claude, 1926-, Géométries et mesures fractales : une introduction, Ellipses, (ISBN 9782729840457, OCLC 377976458, lire en ligne), p. 4, p. 36
  4. a et b florence Messineo, le monde fascinant des objets fractals, ellipses (ISBN 2340008123), p.93
  5. (en) « Fractal Visualizations »
  6. « Système itéré de fonctions »
  7. a et b (en) Edgar, Gerald A., Measure, topology, and fractal geometry, Springer, (ISBN 9781441925695, OCLC 255688131, lire en ligne), p. 27
  8. a et b (en) Scott Draves et Erik Reckase, « The Fractal Flame Algorithm, p.31 »
  9. « Courbe du blancmanger », sur www.mathcurve.com (consulté le 12 janvier 2018)
  10. Robert FERRÉOL, « Escalier du diable », sur www.mathcurve.com (consulté le 12 janvier 2018)
  11. Robert FERRÉOL, « Courbe de Hilbert », sur www.mathcurve.com (consulté le 12 janvier 2018)
  12. « Ensemble de Julia », sur mathcurve
  • (en) Kenneth Falconer, Fractal geometry: Mathematical foundations and applications, John Wiley and Sons, (ISBN 0-471-92287-0), p. 113–117,136.
  • (en) John E. Hutchinson, « Fractals and self similarity », Indiana Univ. Math. J., vol. 30,‎ , p. 713–747 (DOI 10.1512/iumj.1981.30.30055)