Dimension d'Assouad

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Dimension d'Assouad sur le triangle de Sierpiński . Pour R=2 et r=1 , donc la dimension peut être comme la dimension Hausdorff .

En mathématiques, et plus précisément en géométrie fractale, la dimension d'Assouad est une définition de la dimension fractale pour les sous-ensembles d'un espace métrique. Il a été introduit par Patrice Assouad dans sa thèse de doctorat en 1977 et publié plus tard en 1979. Elle a été défini plus tôt par Georges Bouligand (1928). En plus d'être utilisée pour étudier les fractales, la dimension d'Assouad a également été utilisée pour étudier les applications quasi-conformes et les problèmes de plongement.

Définition[modifier | modifier le code]

« La dimension d'Assouad de , est l'infinimum des tels que est -homogène pour un certain [1]. »

Soit un espace métrique, et soit être un sous-ensemble non vide de . Pour , soit le plus petit nombre de boules ouvertes métriques de rayon inférieur ou égal à r avec lequel il est possible de recouvrir . La dimension d'Assouad de est défini comme l'infinumum pour laquelle il existe des constantes positives et de sorte que, si

on ait :

L'intuition sous-jacente à cette définition est que, pour un ensemble E de dimension entière "ordinaire" n, le nombre de petites boules de rayon r nécessaires pour couvrir l'intersection d'une plus grande boule de rayon R avec E sera comme (R/r ) n .

Références[modifier | modifier le code]

  1. Robinson, James C. (2010). Dimensions, Embeddings, and Attractors, p.85. Cambridge University Press. (ISBN 9781139495189).

Lectures complémentaires[modifier | modifier le code]

  • Patrice Assouad, « Étude d'une dimension métrique liée à la possibilité de plongements dans Rn », Comptes rendus de l'Académie des sciences, Série A-B, vol. 288, no 15,‎ , A731–A734
  • M. G. Bouligand, « Ensembles impropres et nombre dimensionnel », Bulletin des Sciences Mathématiques, vol. 52, 1928, p. 320-344