Courbe de Peano

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Giuseppe Peano

Une courbe de Peano est une courbe plane paramétrée par une fonction continue sur l'intervalle unité [0, 1], surjective dans le carré [0, 1]×[0, 1], c'est-à-dire que la courbe passe par chaque point du carré : elle « remplit l'espace ». Toutes ces courbes sont des fractales : bien que formées d'une simple ligne, elles sont de dimension 2. Ce type de courbes est nommé en l'honneur de Giuseppe Peano, qui fut le premier à en décrire une.

Historique[modifier | modifier le code]

Dans un article de 1890[1] Giuseppe Peano décrit une courbe auto-intersectante qui passe par tous les points de la surface du carré unité. En construisant une surjection de l'intervalle réel unité vers le carré unité du plan, il illustre un résultat de Georg Cantor qui, en 1877, avait établi que le carré a la puissance du continu, c'est-à-dire le même cardinal que l'intervalle. La nouveauté est que la surjection construite par Peano est continue.

La clé passe par l'élaboration d'une courbe nulle part différentiable. Toutes les courbes rencontrées jusqu'alors étaient différentiables par parties (elles avaient une dérivée continue sur chaque intervalle). En 1872, Karl Weierstrass avait bien décrit une fonction qui était continue en tout point mais différentiable en aucun point. Mais aucune de ces courbes ne pouvait remplir le carré unité. La courbe de Peano, à la fois nulle part différentiable et remplissant le plan, était donc fortement contre-intuitive.

Peano utilise l'existence d'un développement en base trois pour tout nombre réel. Dans l'ensemble des suites à valeurs dans {0,1,2}, il construit une correspondance entre la suite et le couple de suites de la manière suivante :

  • selon que la somme des termes de rang pair de la suite  : est paire ou impaire (par convention, la somme vide est nulle donc paire, donc )
  • selon que la somme des termes de rang impair de la suite  : est paire ou impaire.
Quatre itérations de la courbe de Peano

À chaque suite, il associe le réel dont la suite est un développement en base 3

Il démontre que la correspondance qui, au réel t, associe le couple de réels (x, y) est bien définie (c'est-à-dire que si t a deux développements en base 3, comme 1/3 = 0,1000… = 0,0222…, alors les deux couples (x, y) correspondants sont identiques[1]) et que cette application de [0,1] dans [0,1]×[0,1] est continue, surjective, mais non injective (un couple (x, y) correspond à 2 ou 4 valeurs de t si x, ou y, ou les deux, ont deux développements[1]).

L'article de Peano ne contient pas d'illustration. Une observation des suites T, nulles à partir du rang 3, conduirait à la construction successive des points de coordonnées (0,0), (0,1/3), (0,2/3), (1/3,2/3), (1/3,1/3), (1/3,0), (2/3,0), (2/3,1/3), (2/3,2/3) qui, joints par des segments de droites donnent une courbe analogue à l'étape 1 de l'illustration ci-contre. Pour les suites nulles à partir du rang cinq, on trace une courbe analogue à l'itération 2 ci-contre, commençant au point de coordonnées (0,0) et aboutissant au point de coordonnées (8/9,8/9).

Un an plus tard, David Hilbert publie une construction nouvelle et plus simple, connue aujourd'hui sous le nom de courbe de Hilbert. Son article de 1891[2] est le premier à proposer une illustration de sa construction.

La plupart des courbes de Peano sont construites selon un procédé itératif et sont la limite d'une suite de lignes polygonales).

À partir de l'exemple de Peano et de Hilbert, d'autres courbes continues sont conçues, ouvertes ou fermées :

Plus tard Walter Wunderlich (de) développe, quant à lui, une famille entière de variantes de la courbe originelle de Peano.

Propriétés[modifier | modifier le code]

  • Contrairement à ses approximantes, qui en général sont des courbes qui ne se recoupent pas[3], une courbe de Peano est auto-intersectante et correspond donc à une fonction non injective (une bijection continue d'un segment dans un carré est d'ailleurs impossible, en effet une telle application serait un homéomorphisme, or le complémentaire d'un point du carré est toujours connexe, alors que son image réciproque serait en général formée de deux segments disjoints).
  • La courbe de Peano est 1/2-höldérienne. Ce « 1/2 » est optimal, c'est-à-dire que la constante de Hölder d'une surjection höldérienne de [0, 1] sur [0, 1]2 est toujours inférieure ou égale à 1/2 : cf. « Dimension et fonctions a-höldériennes ».

Références[modifier | modifier le code]

  1. a, b et c G. Peano, « Sur une courbe, qui remplit une aire plane », Math. Ann., vol. 36,‎ , p. 157-160 (lire en ligne)
  2. (de) D. Hilbert, « Über die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flächenstück », Math. Ann., vol. 38,‎ , p. 459-460 (lire en ligne)
  3. Selon Benoît Mandelbrot (« Des monstres de Cantor et Peano à la géométrie fractale de la nature », dans Penser les mathématiques, Séminaire de Jean Dieudonné, Maurice Loi et René Thom, 1982, Lire en ligne, p. 238/4), la coutume interdit aux approximantes de Peano de s'intersecter.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • (en) Hans Sagan, Space-Filling Curves, Springer-Verlag, (ISBN 0387942653)
  • (en) Benoît Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, Freeman, (ISBN 978-0-7167-1186-5), « Harnessing the Peano Monster Curves »

Liens externes[modifier | modifier le code]