Mandelbulb

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Un Mandelbulb résulte de la tentative de créer un ensemble de Mandelbrot en trois dimensions, sans être une fractale comme ce dernier[1],[2]. La possibilité d'obtenir un ensemble de Mandelbrot en trois dimensions reste incertaine[1].

Une représentation du Mandelbulb
par itération de .
La visite d'un Mandelbulb.

L'idée de sa réalisation occupe les esprits depuis 2007, mais fin 2009, Daniel White et Paul Nylander ont construit un Mandelbulb, un analogue en dimension 3 de l'ensemble de Mandelbrot, à l'aide d'une algèbre de nombres hypercomplexes et de transformations écrites en coordonnées sphériques. White et Nylander donnent la formule suivante :

pour la n ième puissance du nombre hypercomplexe 3D. Ils utilisent alors, de même que pour le plan de l'ensemble de Mandelbrot, les domaines de convergences des suites obtenues par itération de z et c sont des nombres hypercomplexes dans un espace de dimension 3 et

l'application définie ci-dessus[3]

Le Mandelbulb est ensuite défini comme l'ensemble des c en ℝ3 pour lesquels l'orbite de sous l'itération est bornée[4]. Pour n > 3, le résultat est une structure en forme de bulbe tridimensionnelle avec une surface fractale et un certain nombre de "lobes" dépendants de n. La plupart des rendus graphiques utilisent n = 8. Néanmoins, l'équation peut être simplifiée en polynômes rationnels lorsque n est impair. Par exemple, dans le cas de n = 3, la troisième puissance peut être simplifiée en une forme plus élégante :

.

Formule quadratique[modifier | modifier le code]

D'autres formules viennent d'identités qui prennent comme paramètre la somme de carrés pour donner une puissance de la somme de carré comme :

On peut voir cela comme une manière d'élever au carré un trio de nombres pour que le module soit élevé au carré. Cela donne, par exemple :

ou d'autre permutations variées. Cette formule 'quadratique' peut être appliquée plusieurs fois pour obtenir plusieurs formules de puissance 2.

Formule cubique[modifier | modifier le code]

Fractale cubique.

D'autre formules viennent d'identités qui prennent comme paramètre la somme de carrés pour donner une puissance de la somme de carré comme :

On peut voir cela comme une manière d'élever au cube un trio de nombres pour que le module soit élevé au cube. Cela donne, par exemple :

ou d'autre permutations, par exemple :

Cela réduit la formule à la fractale complexe lorsque z=0 et lorsque y=0.

Il y a plusieurs manières de combiner deux transformations cubiques comme celles-ci pour obtenir une transformation de puissance 9 qui a une structure plus volumineuse.

Formule quintique[modifier | modifier le code]

Mandelbulb quintique.

Une autre manière de créer des Mandelbulbs de symétrie cubique est en prenant la formule d'itération complexe pour un entier m et ajouter les termes pour rendre la structure symétrique en 3 dimensions mais en gardant la section transversale la même fractale bidimensionnelle (le 4 vient du fait que ). Par exemple, prenons le cas de . En deux dimensions où , c'est :

Mandelbulb quintique avec C=2.

Cela peut être prolongé à trois dimensions pour donner :

pour les constantes arbitraires A,B,C et D (la plupart du temps fixée à 0) qui donnent différents Mandelbulbs. Le cas de donne un Mandelbulb assez similaire au premier exemple où n=9. Un résultat plus plaisant pour la cinquième puissance est obtenu en basant la fractale sur la formule : .

Formule de puissance neuf[modifier | modifier le code]

Fractale avec z^9 sections transversales.

Cette fractale a des sections transversales de la fractale de Mandelbrot de puissance 9. Elle a 32 petits bulbes émergeant de la sphère principale. Il est défini par, par exemple :

Fractale basée sur z→-z^5.

Ces formules peuvent être écrites de manière plus simple :

et également pour les autres coordonnées.

Fractale de puissance neuf.

Formule sphérique[modifier | modifier le code]

Une formule sphérique parfaite peut être définie par la formule :

où f, g et g sont des nièmes puissances de trinômes rationnels et n est un entier. La fractale cubique ci-dessus en est un exemple.

Dans la culture populaire[modifier | modifier le code]

  • À la fin du film Annihilation (2018), la forme de vie d'origine extraterrestre se matérialise enfin sous une forme nébuleuse très proche d'une structure de type Mandelbulb.

Références[modifier | modifier le code]

  1. a et b Jos Leys, « MANDELBULB », sur images.math.cnrs.fr, (consulté le ).
  2. (en) Jennifer Ouellette, « Meet the Mandelbulb », sur blogs.scientificamerican.com, (consulté le ).
  3. 3D Mandelbrot Fractal.
  4. (en) « Mandelbulb: The Unravelling of the Real 3D Mandelbrot Fractal » voir la section "formula".
  5. (en) Bill Desowitz, « Immersed in Movies: Going Into the 'Big Hero 6' Portal », sur Animation Scoop, Indiewire, .

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Liens externes[modifier | modifier le code]