Courbe de Hilbert

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Les 8 premières étapes de la courbe de Hilbert

La courbe de Hilbert est une courbe continue remplissant un carré. Elle a été décrite pour la première fois par le mathématicien allemand David Hilbert en 1891[1].

Comme elle couvre un carré, sa dimension de Hausdorff et sa dimension topologique sont égales à 2. On la considère cependant comme faisant partie des fractales.

La longueur euclidienne de Hn[Quoi ?] est  2^n - {1 \over 2^n}  ; elle croit donc exponentiellement avec n.

Pour les bases de données multi-dimensionnelles, la courbe de Hilbert a été proposée à la place de la courbe de Lebesgue parce qu'elle a un comportement préservant mieux la localité.

Surjectivité[modifier | modifier le code]

On peut définir la fonction limite simple f:[0,1]\to[0,1]^2 des courbes f_n:[0,1]\to[0,1]^2 définies précédemment[Où ?].

On montre facilement que cette fonction est en fait limite uniforme des fonctions fn. Cela tient essentiellement à la localité des courbes de Hilbert.

L'application f, en tant que limite uniforme de fonctions continues, est continue.

Comme toute fonction continue, l'image du compact [0, 1] par f est un compact. Notamment, c'est un fermé. Par ailleurs, f([0, 1]) est dense dans [0, 1]2. C'est donc [0, 1]2 tout entier.

Représentation en L-système[modifier | modifier le code]

Courbe de Hilbert en trois dimensions.

La courbe de Hilbert peut être construite par un L-système[2] :

Alphabet : L, R
Constantes : F, +, −
Axiome : L
Règles:
L → –RF+LFL+FR−
R → +LF−RFR−FL+

Ici, F signifie « avance », + signifie « à gauche 90° », et − signifie « à droite 90° ».

Butz[3] propose un algorithme pour calculer la courbe de Hilbert en plusieurs dimensions.

Références[modifier | modifier le code]

  1. (de) D. Hilbert, « Über die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flächenstück », Math. Ann., vol. 38,‎ , p. 459-460 (lire en ligne).
  2. (en) Heinz-Otto Peitgen (en) et Dietmar Saupe (éds.), The Science of Fractal Images, Springer,‎ (lire en ligne), p. 278.
  3. (en) Arthur Butz, « Alternative algorithm for Hilbert’s space filling curve », IEEE Trans. On Computers, vol. 20,‎ , p. 424-442.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]