Élément absorbant

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En mathématiques (algèbre), un élément absorbant (ou élément permis) d'un ensemble pour une loi de composition interne est un élément de cet ensemble qui transforme tous les autres éléments en l'élément absorbant lorsqu'il est combiné avec eux par cette loi.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit (E,\star) un magma. Un élément a de E est dit :

  • absorbant à gauche si \forall x \in E,\ a \star x = a,
  • absorbant à droite si \forall x \in E,\ x \star a = a,
  • absorbant s'il est absorbant à droite et à gauche.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Dans un magma[modifier | modifier le code]

  • Dans un magma (E,\star), l'élément absorbant, s'il existe,
    • est unique : si a_1 et a_2 sont deux éléments absorbants, a_1 = a_1 \star a_2 = a_2 .
    • est idempotent : si a est absorbant, a\star a = a .
  • Si un magma a un élément absorbant à gauche et un élément absorbant à droite, ces deux éléments sont égaux et le magma a un élément absorbant. En effet, si a_1 est absorbant à gauche et a_2 absorbant à droite, alors a_1 = a_1 \star a_2 = a_2 .
  • Plusieurs éléments absorbants à gauche ou à droite peuvent exister dans un magma donné, mais s'il existe plus d'un élément absorbant à gauche, il n'en existe aucun à droite. En effet, supposons a_1 et a_2 deux éléments absorbants à gauche, et b un élément absorbant à droite: a_1 = a_1 \star b = b = a_2 \star b = a_2. Par symétrie, s'il existe plus d'un élément absorbant à droite, il n'en existe aucun à gauche.

Dans un anneau[modifier | modifier le code]

Dans un anneau (A, +, ×), l'élément neutre 0 de + est absorbant pour ×.

En effet, pour tous x, yA :

  • (x × y) + 0 = x × y = (x + 0) × y (car 0 est neutre pour +), donc
  • (x × y) + 0 = (x × y) + (0 × y) (car × est distributive par rapport à +), donc
  • 0 = 0 × y (car + est régulière, comme toute loi de groupe)

et (de même) :

  • 0 = y × 0.

Exemples[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]