Élément symétrique

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En mathématiques, la notion d'élément symétrique généralise les concepts d'opposé en rapport avec l'addition et d'inverse en rapport avec la multiplication.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit E un ensemble muni d'une loi de composition interne * admettant un élément neutre e\in E. Soit deux éléments a et b de E.

  • Si a*b = e, a est dit élément symétrique à gauche de b et b est dit élément symétrique à droite de a.
  • Si a*b = b*a = e, a est dit élément symétrique de b.

Un élément de E qui admet au moins un symétrique à droite est dit symétrisable à droite ; s'il admet au moins un symétrique à gauche, il est dit symétrisable à gauche ; s'il admet au moins un élément symétrique, il est dit symétrisable.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Dans le cas général, comme pour les éléments neutres à droite et à gauche, il est possible pour un élément donné d'avoir plusieurs symétriques à droite, ou plusieurs symétriques à gauche. Un élément peut même avoir plusieurs symétriques à droite et plusieurs symétriques à gauche.

Si (E,*) est un monoïde (c'est-à-dire si * est associative et si E possède un neutre e pour cette loi) :

  • si un élément b possède un symétrique à gauche a alors b est régulier à gauche car\forall x\in E\quad a*(b*x)=(a*b)*x=e*x=x(et de même en remplaçant partout gauche par droite) ;
  • si un élément a possède à la fois un symétrique à gauche b et un symétrique à droite c, alors b = c (et le symétrique est donc unique) carb = b • e = b • (a • c) = (b • a) • c = e • c = c ;Dit autrement : tout symétrique à gauche (b) d'un symétrique à gauche (a) d'un élément c est égal à c (et de même en remplaçant partout gauche par droite) ;
  • les éléments symétrisables de E forment un groupe.

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Tout nombre réel x possède un symétrique pour l'addition, noté -x. Tout nombre réel non nul possède un symétrique pour la multiplication, noté \tfrac 1x.
  • Si (E,+,\times) est un anneau unitaire alors (E,\times) est un monoïde, dont le groupe des éléments symétrisables est appelé le groupe des inversibles de l'anneau et noté U(E) ou E^\times.
  • Si E est l'anneau des matrices carrées de taille fixée à coefficients dans un corps, son groupe des inversibles est le groupe linéaire, constitué des matrices de déterminant non nul. Si le déterminant d'une matrice est nul, elle ne possède aucun symétrique, à gauche comme à droite ; l'existence d'un symétrique à gauche ou à droite implique dans ce cas l'existence d'un symétrique.
  • De façon générale, une matrice carrée sur un anneau commutatif A est inversible si et seulement si son déterminant est inversible dans A.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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