Magma (algèbre)

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En mathématiques, un magma est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. Un magma est par définition un ensemble muni d'une loi de composition interne.

Définitions[modifier | modifier le code]

Si l'on note un ensemble et une loi de composition interne dans , le couple noté est un magma. Avec cette définition, l'ensemble E n'est pas identique au magma, mais on les identifie couramment.

Aucun axiome n'est imposé sur cette loi de composition interne, souvent notée comme une multiplication.

On dit que le magma est :

  • unifère s'il possède un élément neutre , c'est-à-dire  ;
  • un demi-groupe si est associative ;
  • un monoïde s'il vérifie les deux propriétés (associativité et existence d'un neutre)[1].

Si et sont des magmas, un morphisme de magmas, ou homomorphisme de magmas, de dans est par définition[2] une application f de M dans N telle que, pour tous éléments x, y de M, on ait

Si, de plus, f est une bijection, la réciproque de f est un morphisme de magmas de N dans M et on dit que f est un isomorphisme de magmas. La réciproque d'un isomorphisme de magmas est un isomorphisme de magmas.

Si le contexte est assez clair, on dit « morphisme » tout court plutôt que « morphisme de magmas », mais il y a des cas où cela pourrait prêter à confusion. Par exemple, un morphisme de magmas entre monoïdes n'est pas forcément un morphisme de monoïdes.

Exemples de magmas[modifier | modifier le code]

  • Le magma vide est l'unique magma sur l'ensemble vide.
  • est un monoïde commutatif. De plus, tout élément y est régulier.
  • est également un monoïde commutatif, mais 0 n'est pas régulier.
  • est un magma non associatif et non commutatif. Il n'est même pas unifère mais seulement unifère à droite car, s'il admet un (unique, ce qui n'est pas automatique) élément neutre à droite (0), il n'en admet pas à gauche. En revanche, ce magma est permutatif et régulier.
  • On appelle magma opposé au magma le magma pour tous .
  • Magma quotient
Article détaillé : Magma quotient.
  • Murskiǐ a montré en 1965 que le magma à trois éléments muni de la loi interne ci-dessous ne possède pas d'axiomatisation équationnelle (ou base équationnelle) finie[3].
Magma {0,1,2} muni de
0 1 2
0 0 0 0
1 0 0 1
2 0 2 2

Magmas libres[modifier | modifier le code]

On définit par récurrence sur l'entier une suite d'ensembles comme suit :

On pose ; pour est l'ensemble somme des ensembles pour .

L'ensemble somme de la famille est noté  ; on identifie chacun des ensembles à son image canonique dans .

Pour tout élément de , il existe un unique entier tel que ; on l’appelle la longueur de et on le note .

L'ensemble se compose des éléments de longueur 1 dans .

Soient et dans ; posons et . L'image de par l'injection canonique de dans l'ensemble somme s'appelle le composé de et et se note ou . On a donc et tout élément de de longueur s'écrit de manière unique sous la forme avec et dans .

On appelle magma libre[4] construit sur X l'ensemble muni de la loi de composition .

Magmas usuels[modifier | modifier le code]

Un groupe est un monoïde dont tous les éléments sont inversibles[5].

La structure d'anneau fait intervenir deux lois de composition internes sur un même ensemble, et donc deux magmas, mais un anneau n'est pas un magma à proprement parler. Il en est de même d'autres structures algébriques encore plus complexes, comme celle de module sur un anneau.

Historique[modifier | modifier le code]

Le terme magma a été introduit pour la première fois dans le contexte de l'algèbre générale par Nicolas Bourbaki.

L'ancienne appellation « groupoïde de Ore », introduite par Bernard Hausmann et Øystein Ore en 1937[6] et parfois utilisée jusque dans les années 1960[7], est aujourd'hui à éviter [8],[9],[10], l'usage du terme groupoïde étant aujourd'hui réservé à la théorie des catégories, où il signifie autre chose.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. N. Bourbaki, Algèbre I, chapitres 1 à 3, p. I.12 §2 1, Élément neutre, Définition 2.
  2. N. Bourbaki, AI, p. I.2-3.
  3. (en) V. L. Murskiǐ, « The existence in three-valued logic of a closed class with finite basis, not having a finite complete system of identities », Soviet Math. Dokl., vol. 6, 1965, p. 1020-1021.
  4. Bourbaki, A I.77, §7, Magmas libres.
  5. Bourbaki, A I.15, §2 3, Éléments inversibles, Définition 6.
  6. (en) B. A. Hausmann et Oystein Ore, « Theory of Quasi-Groups », Amer. J. Math., vol. 59, no 4,‎ , p. 983-1004 (JSTOR 2371362).
  7. Dov Tamari, « Problèmes d'associativité des monoïdes et problèmes des mots pour les groupes », Séminaire Dubreil, vol. 16, no 1,‎ 1962-63 (lire en ligne), exposé no 7, p. 1-29.
  8. (en) « Groupoid », sur Online Dictionary of Crystallography.
  9. (en) Massimo Nespolo, « Does mathematical crystallography still have a role in the XXI century? », Acta Crystallographica, section A, vol. 64,‎ , p. 97 (DOI 10.1107/S0108767307044625).
  10. (en) L. Beklemishev, M. Pentus et N. Vereshchagin, Provability, Complexity, Grammars, coll. « AMS Translations – Series 2 » (no 192), , 172 p. (traduction anglaise de trois thèses de doctorat en russe, dont la première : [(ru) lire en ligne], 1992).