Magma (algèbre)

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En mathématiques, un magma est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. Un magma est par définition un ensemble muni d'une loi de composition interne.

Définitions[modifier | modifier le code]

Si l'on note un ensemble et une loi de composition interne dans , le couple noté est un magma. Avec cette définition, l'ensemble E n'est pas identique au magma, mais on les identifie couramment.

Aucun axiome n'est imposé sur cette loi de composition interne, souvent notée comme une multiplication.

On appelle magma opposé au magma le magma pour tous .

Si et sont des magmas, un morphisme de magmas, ou homomorphisme de magmas, de dans est par définition[1] une application f de M dans N telle que, pour tous éléments x, y de M, on ait

Si, de plus, f est une bijection, la réciproque de f est un morphisme de magmas de N dans M et on dit que f est un isomorphisme de magmas. La réciproque d'un isomorphisme de magmas est un isomorphisme de magmas.

Si le contexte est assez clair, on dit « morphisme » tout court plutôt que « morphisme de magmas », mais il y a des cas où cela pourrait prêter à confusion. Par exemple, un monoïde est un magma, mais un morphisme de magmas entre monoïdes n'est pas forcément un morphisme de monoïdes.

On dit que le magma est unifère s'il possède un élément neutre , c'est-à-dire .

Exemples de magmas[modifier | modifier le code]

  • Le magma vide est l'unique magma sur l'ensemble vide.
  • est un magma associatif, commutatif et unifère. De plus, tout élément y est régulier. Il s'agit donc d'un monoïde commutatif et régulier, donc d'un semi-groupe commutatif.
  • est également un monoïde commutatif, mais 0 n'étant pas régulier, ce n'est pas un semi-groupe.
  • est un magma non associatif et non commutatif. Il n'est même pas unifère car, s'il admet un élément neutre à droite (0), il n'en admet pas à gauche. En revanche, ce magma est permutatif et régulier.
  • Magma quotient
Article détaillé : Magma quotient.
  • Murskiǐ a montré en 1965 que le magma à trois éléments muni de la loi interne ci-dessous ne possède pas d'axiomatisation équationnelle (ou base équationnelle) finie[2].
Magma {0,1,2} muni de
0 1 2
0 0 0 0
1 0 0 1
2 0 2 2

Magmas libres[modifier | modifier le code]

On définit par récurrence sur l'entier une suite d'ensembles comme suit :

On pose ; pour est l'ensemble somme des ensembles pour .

L'ensemble somme de la famille est noté  ; on identifie chacun des ensembles à son image canonique dans .

Pour tout élément de , il existe un unique entier tel que ; on l’appelle la longueur de et on le note .

L'ensemble se compose des éléments de longueur 1 dans .

Soient et dans ; posons et . L'image de par l'injection canonique de dans l'ensemble somme s'appelle le composé de et et se note ou . On a donc et tout élément de de longueur s'écrit de manière unique sous la forme avec et dans .

On appelle magma libre[3] construit sur X l'ensemble muni de la loi de composition .

Magmas usuels[modifier | modifier le code]

  • Monoïde : magma unifère associatif[4].
  • Groupe : monoïde dont tous les éléments sont inversibles[5].

La structure d'anneau fait intervenir deux lois de composition internes sur un même ensemble, et donc deux magmas, mais un anneau n'est pas un magma à proprement parler. Il en est de même d'autres structures algébriques encore plus complexes, comme par exemple celle de module sur un anneau.

Historique[modifier | modifier le code]

Le terme magma a été introduit pour la première fois dans le contexte de l'algèbre générale par Nicolas Bourbaki.

L'ancienne appellation groupoïde de Ore, introduite par B.A. Hausmann et Øystein Ore en 1937[6] et parfois utilisée jusque dans les années 1960[7], est aujourd'hui à éviter [8],[9],[10]. L'usage du terme groupoïde est aujourd'hui réservé à la théorie des catégories, où il signifie autre chose.

Note[modifier | modifier le code]

  1. N. Bourbaki, Algèbre, I, chapitres 1 à 3, Paris, Hermann, 1970, p. I.2-3.
  2. V. L. Murskiǐ , The existence in three-valued logic of a closed class with finite basis, not having a finite complete system of identities, Soviet Math. Dokl. 6 (1965), 1020-1021
  3. Bourbaki A I.77 §7 Magmas libres.
  4. Bourbaki A I.12 §2 1.Élément neutre Définition 2.
  5. Bourbaki A I.15 §2 3.Éléments inversibles Définition 6.
  6. B.A. Hausmann and Oystein Ore, "Theory of Quasi-Groups", American Journal of Mathematics, Vol. 59, No. 4, p. 983-1004, October 1937 (http://www.jstor.org/stable/2371362).
  7. Dov Tamari, Problèmes d'associativité des monoïdes ..., Séminaire Dubreil tome 16 n° 1 (1962-63) p. 7-08, mais attention ne pas confondre avec la notion courante de groupoïde
  8. http://reference.iucr.org/dictionary/Groupoid
  9. Massimo Nespolo, "Does mathematical crystallography still have a role in the XXI century?", Acta Crystallographica, Section A, Vol. 64, p. 97, January 2008 (doi:10.1107/S0108767307044625).
  10. L. Beklemishev, M. Pentus, and N. Vereshchagin, "Provability, Complexity, Grammars", American Mathematical Society Translations, Series 2, Vol. 192, p. 591, 1999. (English translation of the original 1992 Ph.D. dissertation in Russian, http://www.mi.ras.ru/~bekl/Papers/koi-d.pdf)