Groupe de Heisenberg
En mathématiques, le groupe de Heisenberg d'un anneau unifère A (non nécessairement commutatif) est le groupe multiplicatif des matrices triangulaires supérieures de taille 3 à coefficients dans A et dont les éléments diagonaux sont égaux au neutre multiplicatif de l'anneau :
Originellement, l'anneau A choisi par Werner Heisenberg était le corps ℝ des réels. Le « groupe de Heisenberg continu », , lui a permis d'expliquer, en mécanique quantique, l'équivalence entre la représentation de Heisenberg et celle de Schrödinger. On peut généraliser sa définition en géométrie symplectique.
Le « groupe de Heisenberg discret » correspond à l'anneau ℤ des entiers.
Le groupe de Heisenberg , où p est un nombre premier, correspond au corps premier fini Fp = ℤ/pℤ. C'est un p-groupe fini, d'ordre p3.
Structure de groupe[modifier | modifier le code]
est un sous-groupe du groupe linéaire GL(3, A).
La loi sur A3 induite par la bijection
est :
C'est donc le produit semi-direct A⋉(A×A), le groupe additif A agissant sur le produit direct A×A par : a⋅(b, c) = (b, c + ab).
Par construction, A3 muni de cette loi est un groupe isomorphe à , dans lequel :
- les puissances n-ièmes sont données par ,
- le symétrique de est , donc
- le commutateur de et est , donc
- le groupe dérivé et le centre sont égaux à 0×0×A.
Le groupe est par conséquent nilpotent de classe 2, donc non abélien (sauf si A est l'anneau nul, auquel cas le groupe est trivial).
Groupe de Heisenberg continu[modifier | modifier le code]
est un groupe de Lie réel de dimension 3. Le groupe de Heisenberg discret en est un réseau.
Géométrie symplectique linéaire[modifier | modifier le code]
Plus généralement, on peut associer un groupe de Heisenberg à tout espace vectoriel symplectique ( est une forme bilinéaire non dégénérée alternée sur ). Le groupe de Heisenberg est l'espace topologique produit , muni de la loi de groupe :
Le groupe est une extension du groupe additif de . L'algèbre de Lie de est l'espace vectoriel , muni du crochet de Lie
Groupe de Heisenberg discret[modifier | modifier le code]
Le groupe , identifié à muni de la loi ci-dessus, est engendré par et . En faisant intervenir leur commutateur , on démontre qu'une présentation de ce groupe est donnée par trois générateurs et trois relations : , et .
D'après le théorème de Bass, a une croissance (en) polynomiale d'ordre 4.
Groupe de Heisenberg sur Fp[modifier | modifier le code]
D'après sa structure (voir supra) :
- a un centre d'ordre p et son quotient par ce centre est un p-groupe abélien élémentaire (en) (isomorphe à (ℤ/pℤ)×(ℤ/pℤ)) : on dit que est un p-groupe extra-spécial (en) ;
- ce quotient est aussi l'abélianisé de .
Cas p premier impair[modifier | modifier le code]
Le groupe est le quotient de par le sous-groupe normal . Comme p est impair, ce sous-groupe est constitué des puissances p-ièmes d'éléments du groupe. Une présentation de (déduite de celle de ci-dessus) est donc donnée par trois générateurs et les relations : , , et .
L'exposant de est p.
Cas p = 2[modifier | modifier le code]
Le groupe est isomorphe au groupe diédral D8. En effet, il est d'ordre 8 et engendré par les images des générateurs de , ou encore par , d'ordre 2 et , d'ordre 4, qui vérifient
Voir aussi[modifier | modifier le code]
Lien externe[modifier | modifier le code]
(en) Keith Conrad, « Groups of order p3 »
Bibliographie[modifier | modifier le code]
(en) Daniel K. Biss et Samit Dasgupta, « A presentation for the unipotent group over rings with identity », Journal of Algebra, vol. 237, no 2, , p. 691-707 (DOI 10.1006/jabr.2000.8604)