Anneau nul

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Page d'aide sur l'homonymie Ne doit pas être confondu avec Pseudo-anneau de carré nul.

En mathématiques, on appelle anneau nul ou anneau trivial l'anneau A réduit au singleton \{0_A\}. On a :

0_A + 0_A = 0_A\qquad 0_A \times 0_A = 0_A.

Cet anneau est bien sûr commutatif. Son élément neutre pour la multiplication, noté habituellement 1A dans un anneau quelconque, est ici égal à 0A, l'élément neutre pour l'addition.

Réciproquement, le seul anneau A vérifiant 1A=0A est l'anneau nul puisqu'alors, pour tout élément r de A, on a :

r=r \times 1_A=r \times0_A=0_A.

L'anneau nul est l'objet final dans la catégorie des anneaux unitaires (i.e. tout anneau admet un unique morphisme d'anneaux dans l'anneau nul), l'objet initial étant l'anneau \mathbb Z des entiers.

Articles connexes[modifier | modifier le code]