Extension de groupes

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En mathématiques, plus précisément en théorie des groupes, une extension de groupes est une manière de décrire un groupe en termes de deux groupes « plus petits ». Plus précisément, une extension d'un groupe Q par un groupe N est un groupe G qui s'insère dans une suite exacte courte

1\to N\to G\to Q\to 1.

Autrement dit : G est une extension de Q par N si (à isomorphismes près) N est un sous-groupe normal de G et Q est le groupe quotient G/N

Notions associées[modifier | modifier le code]

  • L'extension est dite centrale si N est inclus dans le centre de G.
  • L'extension triviale de Q par N est celle qui correspond au produit direct N×Q.
  • Une section de l'extension
    1\xrightarrow{}N\xrightarrow iG\xrightarrow pQ\xrightarrow{}1
    est un morphisme
    s:Q\to G\quad\text{tel que}\quad p\circ s=\mathrm{id}_Q.
    L'extension est alors dite scindée. Les extensions scindées de Q par N sont celles qui correspondent aux produits semi-directs N\rtimes Q.
  • Un morphisme d'extensions
    \text{de}\quad 1\xrightarrow{}N\xrightarrow iG\xrightarrow pQ\xrightarrow{}1\quad\text{dans}\quad1\xrightarrow{}N\xrightarrow{i'}G'\xrightarrow{p'}Q\xrightarrow{}1
    est un morphisme
    \varphi:G\to G'
    tel que le diagramme associé
    \begin{matrix}&&&G&&&\\&&\overset i\nearrow&&\overset p\searrow&&\\N&&&\downarrow^\varphi&&&Q\\&&\underset{i'}\searrow&&\underset{p'}\nearrow&&\\&&&G'&&&\end{matrix}
    commute, c'est-à-dire tel que
    \varphi\circ i=i'\quad\text{et}\quad p'\circ\varphi=p.
    Un tel morphisme \varphi est toujours un isomorphisme.

Référence[modifier | modifier le code]

N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, chap. I, § 6

Articles connexes[modifier | modifier le code]