Extension de groupes

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher
image illustrant les mathématiques
Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

En mathématiques, plus précisément en théorie des groupes, une extension de groupes est une manière de décrire un groupe en termes de deux groupes « plus petits ». Plus précisément, une extension d'un groupe Q par un groupe N est un groupe G qui s'insère dans une suite exacte courte

1\to N\to G\to Q\to 1.

Autrement dit : G est une extension de Q par N si (à isomorphismes près) N est un sous-groupe normal de G et Q est le groupe quotient G/N

Notions associées[modifier | modifier le code]

  • L'extension est dite centrale si N est inclus dans le centre de G.
  • L'extension triviale de Q par N est celle qui correspond au produit direct N×Q.
  • Une section de l'extension
    1\xrightarrow{}N\xrightarrow iG\xrightarrow pQ\xrightarrow{}1
    est un morphisme
    s:Q\to G\quad\text{tel que}\quad p\circ s=\mathrm{id}_Q.
    L'extension est alors dite scindée. Les extensions scindées de Q par N sont celles qui correspondent aux produits semi-directs N\rtimes Q.
  • Un morphisme d'extensions
    \text{de}\quad 1\xrightarrow{}N\xrightarrow iG\xrightarrow pQ\xrightarrow{}1\quad\text{dans}\quad1\xrightarrow{}N\xrightarrow{i'}G'\xrightarrow{p'}Q\xrightarrow{}1
    est un morphisme
    \varphi:G\to G'
    tel que le diagramme associé
    \begin{matrix}&&&G&&&\\&&\overset i\nearrow&&\overset p\searrow&&\\N&&&\downarrow^\varphi&&&Q\\&&\underset{i'}\searrow&&\underset{p'}\nearrow&&\\&&&G'&&&\end{matrix}
    commute, c'est-à-dire tel que
    \varphi\circ i=i'\quad\text{et}\quad p'\circ\varphi=p.
    Un tel morphisme \varphi est toujours un isomorphisme.

Référence[modifier | modifier le code]

N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, chap. I, § 6

Articles connexes[modifier | modifier le code]