Espace vectoriel symplectique

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En algèbre, un espace vectoriel est symplectique quand on le munit d'une forme symplectique, c'est-à-dire une forme bilinéaire antisymétrique et non dégénérée. L'étude de ces espaces vectoriels présente quelques ressemblances avec l'étude des espaces préhilbertiens réels puisqu'on y définit également la notion d'orthogonalité. Mais il y a de fortes différences, ne serait-ce que parce que tout vecteur est orthogonal à lui-même.

Les espaces vectoriels symplectiques servent de modèles pour définir les variétés symplectiques, étudiées en géométrie symplectique. Ces dernières sont le cadre naturel de la mécanique hamiltonienne.

Un espace vectoriel préhilbertien complexe est automatiquement muni d'une structure symplectique en tant qu'espace vectoriel réel. En termes de variétés, l'analogue est la notion de variété kählérienne.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit , un espace vectoriel. Une forme symplectique sur est une forme bilinéaire alternée et non dégénérée , i.e. :

  • antisymétrie:  ;
  • non-dégénérescence: .

Un espace vectoriel symplectique est un espace vectoriel muni d'une forme symplectique .

Deux vecteurs sont dits (symplectiquement) orthogonaux lorsque . Par antisymétrie de , tout vecteur de est orthogonal à lui-même.

Proposition : Tout espace vectoriel symplectique de dimension finie est de dimension réelle paire.

L'espace vectoriel symplectique standard[modifier | modifier le code]

L'espace vectoriel symplectique de référence est l'espace où, en base canonique , la forme symplectique vérifie les relations

.

La représentation matricielle de la forme symplectique standard est alors :

désigne la matrice identité de taille .

Il y a en quelque sorte des directions couplées : chaque est orthogonal à tous les vecteurs de base sauf .

Une variante du procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt permet de montrer que tout espace vectoriel symplectique de dimension finie possède une telle base, à laquelle on donne en général le nom de base de Darboux.

Sous-espaces vectoriels[modifier | modifier le code]

Soit un espace vectoriel symplectique. Soit un sous-espace vectoriel de . Le perpendiculaire (symplectique) de est par définition le sous-espace vectoriel

.

Le sous-espace vectoriel est dit :

  • symplectique si
  • isotrope si
  • coïsotrope si
  • lagrangien si

Tout sous-espace vectoriel lagrangien de est :

  • (maximal) isotrope
  • (minimal) coïsotrope
  • de dimension la moitié celle de .

Références[modifier | modifier le code]