Produit semi-direct

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En théorie des groupes, le produit semi-direct permet de définir un groupe G à partir de deux groupes H et K, et généralise la notion de produit direct de deux groupes.

Produit semi-direct interne[modifier | modifier le code]

Un groupe G est produit semi-direct interne d'un sous-groupe distingué H par un sous-groupe K si et seulement si l'une des définitions équivalentes suivantes est vérifiée :


La décomposition des éléments de G comme produit d'un élément de H et d'un élément de K est d'une certaine façon compatible avec la loi de composition du groupe. Soit en effet

g_1 = h_1k_1 \text{ et } g_2 = h_2k_2\

deux éléments de G ainsi décomposés. On a :

g_1g_2 = h_1k_1h_2k_2 = (h_1k_1h_2k_1^{-1})(k_1k_2)\

décomposé en un élément h_1k_1h_2k_1^{-1} de H (on utilise ici le fait que H est distingué), et un élément k_1k_2 de K.

Dans ce cas, le groupe K agit par conjugaison sur H, et le groupe G est donc isomorphe au produit semi-direct externe, c'est-à-dire au groupe défini par le produit cartésien de H par K muni de la loi :

(h_1,k_1)(h_2,k_2)=(h_1(k_1h_2k_1^{-1}),k_1k_2)

Pour tout k \in K, l'application

\quad f(k) :  H \to H : h \mapsto khk^{-1}

est un automorphisme de H. En outre l'application

 f : K \to Aut(H) : k \mapsto f(k)

est un morphisme de groupes.

Produit semi-direct externe[modifier | modifier le code]

On est donc amené à poser la définition plus générale suivante. Deux groupes, \scriptstyle H et \scriptstyle K, et un morphisme \scriptstyle f de \scriptstyle K dans le groupe \scriptstyle {\rm Aut}(H) des automorphismes de \scriptstyle H, étant donnés, on peut définir le produit semi-direct externe \scriptstyle G de \scriptstyle H et \scriptstyle K suivant \scriptstyle f comme le produit cartésien de \scriptstyle H et \scriptstyle K muni de la loi de groupe :

(h_1,k_1)(h_2,k_2)=(h_1f(k_1)(h_2),k_1k_2)~

où l'inverse d'un élément \scriptstyle \left(h,k\right) est \scriptstyle \left(f(k^{-1})(h^{-1}),\ k^{-1}\right)~.

On peut injecter \scriptstyle H dans \scriptstyle G par l'injection canonique \scriptstyle h\ \mapsto\ (h,  e_K), et injecter \scriptstyle K dans \scriptstyle G par l'injection canonique \scriptstyle k\ \mapsto\ (e_H, k)~. On vérifie alors que \scriptstyle G est le produit semi-direct interne de \scriptstyle H par \scriptstyle K au sens donné en début d'article. On vérifie également que l'automorphisme \scriptstyle f(k) est l'automorphisme de conjugaison par \scriptstyle k. On note :

 G = H \rtimes_f K ou tout simplement  G = H \times_f K

Le cas où \scriptstyle f est le morphisme trivial de groupe (ie f(k_1)(h_2) = h_2 ) correspond au produit direct.

Soient H, H1, K, K1 des groupes, f un morphisme de H dans Aut(K), f1 un morphisme de H1 dans Aut(K1). Alors f et f1 peuvent être vus respectivement comme des actions (à gauche) de H sur K et de H1 sur K1 par automorphismes. Si ces actions sont quasi équivalentes (comme actions par automorphismes), les produits semi-directs

 H \rtimes_f K et H_{1} \rtimes_{f_{1}} K_{1}

sont des groupes isomorphes[1].

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Le groupe diédral Dn peut par exemple être considéré comme produit semi-direct d'un groupe cyclique Cn d'ordre n par un groupe cyclique C₂ d'ordre 2, où l'unité de C₂ agit sur Cn comme l'application identique et l'autre élément de C₂ agit sur Cn par inversion[2].

Explicitement le morphisme  f de C_2 dans  Aut(C_n) est défini par :

Si C_n=\langle x\rangle et C_2=\langle y\rangle, alors \forall k \in\{0;1;2;\dots;n-1\}, f(1)(x^k)=x^k, f(y)(x^k)=x^{-k}.

Géométriquement, le groupe Cn est engendré par une rotation, le groupe C₂ par une réflexion.

  • Le groupe affine est le produit semi-direct du groupe additif formé de l'espace vectoriel E sous-jacent à l'espace affine (isomorphe au groupe des translations), par le groupe linéaire de cet espace vectoriel. Si on identifie l'espace affine à son espace vectoriel E, un élément f du groupe affine est de la forme f(v)=u+\varphi(v)\varphi est un élément du groupe linéaire et u un vecteur de E. f est donc défini par la donnée du couple (u,\varphi). La composée des applications affines se traduira alors par la loi de groupe suivante :
(u,\varphi)(v,\psi) := (u + \varphi(v), \varphi \circ \psi).

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Voir M. Aschbacher, Finite Group Theory, Cambridge University Press, 2000, p. 30, ISBN 0-521-78675-4, 9780521786751, partiellement consultable sur Google Livres, énoncé 10.3.
  2. Voir M. Aschbacher, Finite Group Theory, p. 141.

Références[modifier | modifier le code]