Produit semi-direct

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En théorie des groupes, le produit semi-direct permet de définir un groupe G à partir de deux groupes H et K, et généralise la notion de produit direct de deux groupes.

Produit semi-direct interne[modifier | modifier le code]

Un groupe G est produit semi-direct interne d'un sous-groupe normal H par un sous-groupe K si et seulement si l'une des définitions équivalentes suivantes est vérifiée :

  • (en d'autres termes, H et K sont compléments l'un de l'autre dans G) ;
  • (tout élément de G s'écrit de manière unique comme produit d'un élément de H et d'un élément de K) ;
  • la restriction à K de la surjection canonique est un isomorphisme entre et  ;
  • la surjection canonique se scinde par un morphisme tel que .

La décomposition des éléments de G comme produit d'un élément de H et d'un élément de K est d'une certaine façon compatible avec la loi de composition du groupe. Soit en effet

deux éléments de G ainsi décomposés. On a :

décomposé en un élément de H (on utilise ici le fait que H est normal), et un élément de K.

Dans ce cas, le groupe K agit par conjugaison sur H, et le groupe G est donc isomorphe au produit semi-direct externe, c'est-à-dire au groupe défini par le produit cartésien de H par K muni de la loi :

Pour tout , l'application

est un automorphisme de H. En outre l'application

est un morphisme de groupes.

Produit semi-direct externe[modifier | modifier le code]

On est donc amené à poser la définition plus générale suivante. Deux groupes, et , et un morphisme de dans le groupe des automorphismes de , étant donnés, on peut définir le produit semi-direct externe de et suivant comme le produit cartésien de et muni de la loi de groupe :

où l'inverse d'un élément est .

On peut injecter dans par l'injection canonique , et injecter dans par l'injection canonique . On vérifie alors que est le produit semi-direct interne de par au sens donné en début d'article. On vérifie également que l'automorphisme est l'automorphisme de conjugaison par . On note :

ou tout simplement

Le cas où est le morphisme trivial de groupe (ie ) correspond au produit direct.

Soient H, H1, K, K1 des groupes, f un morphisme de H dans Aut(K), f1 un morphisme de H1 dans Aut(K1). Alors f et f1 peuvent être vus respectivement comme des actions (à gauche) de H sur K et de H1 sur K1 par automorphismes. Si ces actions sont quasi équivalentes (comme actions par automorphismes), les produits semi-directs

et

sont des groupes isomorphes[1].

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Le groupe diédral D2n est le produit semi-direct d'un groupe cyclique Cn d'ordre n par un groupe cyclique C2 d'ordre 2, où l'unité de C2 agit sur Cn comme l'application identique et l'autre élément de C2 agit sur Cn par inversion[2]. Explicitement, le morphisme de C2 dans Aut(Cn) est défini par :si et , alors Géométriquement, le groupe Cn est engendré par une rotation, le groupe C2 par une réflexion.
  • Le groupe affine est le produit semi-direct du groupe additif formé de l'espace vectoriel E sous-jacent à l'espace affine (isomorphe au groupe des translations), par le groupe linéaire de cet espace vectoriel. Si on identifie l'espace affine à son espace vectoriel E, un élément f du groupe affine est de la forme est un élément du groupe linéaire et u un vecteur de E. f est donc défini par la donnée du couple . La composée des applications affines se traduira alors par la loi de groupe suivante :

Groupe dérivé[modifier | modifier le code]

Le groupe dérivé D(G) d'un produit semi-direct G = HK est égal au sous-groupe (D(H)[H, K])⋊D(K)[3].

En effet, D(G) est le sous-groupe engendré par la réunion des trois sous-groupes D(H), [H, K] (inclus dans H) et D(K), or l'ensemble produit D(H)[H, K] est un sous-groupe de H, stable par l'action de K donc par celle du sous-groupe D(K).

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Voir (en) Michael Aschbacher, Finite Group Theory, CUP, , 2e éd. (1re éd. 1993) (ISBN 978-0-521-78675-1, lire en ligne), p. 30, énoncé 10.3.
  2. Voir Aschbacher 2000, p. 141.
  3. (en) Daciberg Lima Gonçalves et John Guaschi, « The lower central and derived series of the braid groups of the sphere », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 361,‎ , p. 3375-3399 (lire en ligne) (Proposition 3.3), arXiv:math/0603701 (Proposition 29).

Références[modifier | modifier le code]