Exposant d'un groupe

En algèbre générale, l'exposant d'un groupe est une notion de théorie des groupes.

On peut l'utiliser pour démontrer le théorème de Kronecker sur la structure des groupes abéliens finis.

Elle correspond à une hypothèse du problème de Burnside de 1902, on la trouve donc dans le théorème de Burnside associé.

Définition[modifier | modifier le code]

Soit G un groupe, d'élément neutre noté e. On appelle exposant^[1]^,^[2]de G le plus petit entier strictement positif n, s'il existe, tel que

\forall g\in G,\qquad g^{n}=e

.

S'il n'en existe pas, on dit que G est d'exposant infini^[1].

Cette définition équivaut à : l'exposant de G est le plus petit commun multiple des ordres^[3] des éléments du groupe si tous ces ordres sont finis et admettent un majorant commun, et l'infini sinon.

Une condition nécessaire (mais pas suffisante, cf. infra) pour que l'exposant d'un groupe soit fini est donc que ce groupe soit de torsion.

Remarque: Soit toujours G un groupe, d'élément neutre noté e. Les entiers relatifs n tels que xⁿ = e pour tout élément x de G forment un sous-groupe de (Z, +), qui, comme tout sous-groupe de (Z, +), admet un unique générateur naturel (éventuellement nul). Si ce générateur est non nul, il est égal à l'exposant de G tel que défini ci-dessus. Si le générateur est nul, l'exposant de G tel que défini ci-dessus est égal à l'infini. Certains auteurs^[4] définissent l'exposant de G comme le générateur naturel en question. Cette définition ne diffère de la précédente que dans le cas où l'exposant au premier sens est infini ; dans ce cas, l'exposant au second sens est nul. Avec la seconde définition, la caractéristique d'un corps est l'exposant de son groupe additif.

Exemples[modifier | modifier le code]

L'exposant du groupe quotient $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ ou du p-groupe de Prüfer $\mathbf {C} _{p^{\infty }}$ est l'infini.
L'exposant du groupe alterné A₃ est 6.

Propriétés[modifier | modifier le code]

L'exposant d'un groupe fini est nécessairement fini : c'est même un diviseur de l'ordre du groupe. En effet, dans un groupe fini, l'ordre de chaque élément divise l'ordre du groupe d'après le théorème de Lagrange.
L'exposant d'un groupe fini G d'ordre n est égal au produit des exposants des G_p où, pour chaque facteur premier p de n, G_p désigne l'un quelconque des p-sous-groupes de Sylow de G^[5].
Tout groupe abélien d'exposant fini contient au moins un élément dont l'ordre est égal à l'exposant du groupe. En effet, dans un groupe abélien, l'ensemble des ordres des éléments est stable par PPCM (voir ordre (théorie des groupes)#Ordre d'un produit), donc si cet ensemble possède un maximum, cet ordre est multiple de tous les autres.
Tout groupe nilpotent fini contient au moins un élément dont l'ordre est égal à l'exposant du groupe^[6].

Notes et références[modifier | modifier le code]

↑ ^{a et b} Aviva Szpirglas, Algèbre L3 : Cours complet avec 400 tests et exercices corrigés [détail de l’édition], définition 6.82.
↑ Serge Lang, Algèbre [détail des éditions] chap. I, § 3.
↑ L'ordre d'un élément g de G désigne le plus petit entier strictement positif n vérifiant gⁿ = e, s'il existe, et l'infini sinon.
↑ Par exemple Hans J. Zassenhaus, The Theory of Groups, 2^e édition, 1958, réimpression Dover, 1999, p. 108. Il est vrai que Zassenhaus, p. 3, définit l'ordre d'un groupe infini comme étant égal à zéro.
↑ Voir par exemple cet exercice corrigé du cours de théorie des groupes sur Wikiversité.
↑ Voir par exemple cet exercice corrigé du cours de théorie des groupes sur Wikiversité.