Gottlob Frege

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Gottlob Frege
Naissance

Wismar
Décès
(à 76 ans)
Bad Kleinen
Nationalité
Formation
École/tradition
Logicisme, précurseur de la philosophie analytique
Principaux intérêts
Idées remarquables
Œuvres principales
Les Fondements de l'arithmétique ; Écrits logiques et philosophiques ; Idéographie
Influencé par
A influencé
Conjoint
Margarete Katharina Sophia Anna Lieseberg (d)Voir et modifier les données sur Wikidata

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Friedrich Ludwig Gottlob Frege (né le à Wismar – mort le à Bad Kleinen) est un mathématicien, logicien et philosophe allemand, créateur de la logique moderne et plus précisément du calcul propositionnel moderne : le calcul des prédicats.

Il est en outre considéré comme l'un des plus importants représentants du logicisme. C'est à la suite de son ouvrage Les Fondements de l'arithmétique, où il tente de dériver l'arithmétique de la logique, que Russell lui a fait parvenir le paradoxe qui porte son nom. Néanmoins Frege n'entendait nullement réduire le raisonnement mathématique à sa seule dimension logique. Son idéographie visait à associer sur la même page, et de manière explicite, le contenu mathématique (ligne horizontale de la page) et la structure logique (ligne verticale).

Biographie

Enfance (1848–1869)

Frege est né en 1848 à Wismar, Mecklembourg-Schwerin (aujourd'hui partie du Mecklembourg-Poméranie occidentale). Son père Carl Alexander Frege (1809-1866) a été le cofondateur et le directeur d'un lycée de filles jusqu'à sa mort. Après la mort de Carl, l'école a été dirigée par la mère de Frege, Auguste Wilhelmine Sophie Frege (née Bialloblotzky, – ). Sa mère était Auguste Amalia Maria Ballhorn, descendante de Philipp Melanchthon[1] et son père, Johann Heinrich Siegfried Bialloblotzky, est un descendant d'une famille noble polonaise ayant quitté la Pologne au XVIIe siècle[2]. Durant son enfance, Frege a rencontré des philosophies qui guideront sa future carrière scientifique. À noter que son père a écrit un manuel sur la langue allemande pour les enfants âgés de 9 à 13 ans, intitulé Hülfsbuch zum Unterrichte in der deutschen Sprache für Kinder von 9 bis 13 Jahren (2e ed., Wismar 1850 ; 3e ed., Wismar et Ludwigslust: Hinstorff, 1862) (Aide à l'enseignement de la langue allemande aux enfants de 9 à 13 ans) dont la première section traite de la structure et de la logique du langage.

Frege a étudié dans un gymnasium à Wismar et est diplômé en 1869. Son professeur Gustav Adolf Leo Sachse, qui était un poète, a joué le rôle le plus important dans la détermination de la future carrière scientifique de Frege, l'encourageant à continuer ses études à l'université d'Iéna.

Études à l'université : Iéna et Göttingen (1869–1874)

Frege est matriculé à l'Université d'Iéna au printemps de 1869 en tant que citoyen de la Confédération de l'Allemagne du Nord. Durant les quatre semestres de ses études, il assiste à environ vingt conférences, la plupart sur les mathématiques et la physique. Son professeur le plus important était Ernst Karl Abbe (1840–1905, physicien, mathématicien et inventeur). Abbe a donné des conférences sur la théorie de la gravité, le galvanisme, l'électrodynamique, la théorie de l'analyse complexe des fonctions d'une variable complexe, les applications de la physique, et la mécanique des solides. Abbe était plus qu'un professeur pour Frege : il était un ami de confiance et, en tant que directeur du constructeur optique Carl Zeiss AG, il était en mesure de faire avancer la carrière de Frege. Ils maintinrent une correspondance étroite même après l'obtention du diplôme de Frege.

Ses autres enseignants notables à l'université ont été Christian Philipp Karl Snell (1806–86, utilisation de l'analyse infinitésimale en géométrie, géométrie analytique des plans, mécanique analytique, optique, fondements physiques de la mécanique) ; Hermann Karl Julius Traugott Schaeffer (1824–1900, géométrie analytique, physique appliquée, analyse algébrique, télégraphe et autres machines électroniques) et le philosophe Kuno Fischer (1824–1907, philosophie kantienne).

À partir de 1871, Frege a poursuivi ses études à Göttingen, l'université de premier plan en mathématiques en territoires germanophones, où il a assisté aux conférences d'Alfred Clebsch (1833–1872, géométrie analytique), Julius Schering (1824–1897, théorie de la fonction), Wilhelm Eduard Weber (1804–91, études physiques, physique appliquée), Eduard Riecke (1845-1915, théorie de l'électricité) et Hermann Lotze (1817–1881, philosophie de la religion). Bien des doctrines philosophiques du Frege mûr ont des parallèles avec celles de Lotze. Elles ont fait l'objet d'un débat scientifique, pour savoir s'il y a eu ou non une influence directe des conférences de Lotze dans la formation des opinions de Frege.

En 1873, Frege a obtenu son doctorat sous la direction d'Ernst Christian Julius Schering, avec une thèse intitulée Ueber eine geometrische Darstellung der imaginären Gebilde in der Ebene (Sur une représentation géométrique des formes imaginaires dans le plan), dans lequel il visait à résoudre des problèmes fondamentaux de géométrie comme, par exemple, donner une interprétation mathématique des points infiniment distants (imaginaires) de la géométrie projective.

Début de carrière (1874–1884)

En 1874, Frege retourne à Iéna et obtient l'habilitation universitaire pour enseigner à la faculté de philosophie les « Rechnungsmethoden, die sich auf einer Erweiterung des Größenbegriffes gründen » ou « méthodes de calcul fondées sur la généralisation du concept de la taille » qui étaient fondamentalement basées sur la théorie des fonctions complexes. À partir de 1879, Frege devient professeur à la faculté de philosophie d'Iéna, qu'il occupera pendant la majeure partie de sa vie.

Les premiers travaux de Frege montrent une orientation principalement tournée vers la géométrie et l'analyse complexe. Nous savons peu de choses sur son intérêt pour la logique mathématique (qu'il s'agisse d'un tournant ou d'un traitement prolongé). Les problèmes d’arithmétiques et de théorie des nombres sont également présents, notamment dans la section 1 des Fondements de l'arithmétique. Cependant, nous ne connaissons pas ses motivations en détail. L'intérêt de Frege pour les fondements philosophiques des mathématiques a été relativement précoceavec la recherche de la justification mathématique des entiers naturels. Ce faisant, il devait avoir réalisé avec un certain étonnement que les mathématiques de l'époque n'atteignaient pas du tout, ou n'atteignaient pas suffisamment, le but des mathématiques. C'est pourquoi il a d'abord dû s'occuper de ce problème, et il l'a fait — en dépit du fait qu'il était d'abord un peu à l'écart de son propre aveu des méthodes et des résultats qu'il devait appliquer et accepter. Ce travail aboutit à l'émergence d'un nouveau type de théorie de la logique, que Frege publiera plus tard dans son Idéographie.

Au cours de ses recherches, il lui est venu à l'idée que l'arithmétique faisait partie de la logique. La capacité d'une personne à se familiariser avec les entiers naturels n'est pas principalement dû à l'expérience, ni à l'espace géométrique, mais au langage et à la capacité d'analyse de la pensée, communément appelée logique. Ce genre de conception philosophique des mathématiques ou de l'arithmétique est communément appelé la logique. En 1879, le premier de ses trois ouvrages principaux, l'Idéographie, est publié de son vivant (un an après la mort de sa mère).

Frege mûr (1884–1906)

1884 : Cinq ans après la publication de l’Idéographie, et après quelques défenses de celui-ci, Frege publie son second ouvrage principal, Les Fondements de l'arithmétique (Die Grundlagen der Arithmetik). Frege a visibement tiré les leçons de la réception de son travail précédent : il explique les idées et justifie son sujet sous une forme plus accessible au grand public, car « ce serait plus favorable à la réception des deux travaux ». Ces efforts en tout état de cause sont payants : Les Fondements de l'arithmétique sont construits avec précision, détails et concision. Dans ce travail, Frege aborde trois problèmes scientifiques :

  1. Il montre l'instabilité philosophique et mathématique qui règne autour de la fondation des entiers naturels et l'inadéquation des mathématiques, de la philosophie et d'autres sciences de l'époque ;
  2. Il expose les fondements d'un entier naturel basé sur une logique mathématique possible et a ainsi suggéré qu'une telle structure pourrait être possible. Il a également esquissé le problème de la création de fondations plus complexes ;
  3. Ceci, cependant, prouverait la thèse philosophique que l'arithmétique fait partie de la logique (si cette fondation est correcte).

Nous ne connaissons que peu de choses de la vie privée de Frege, sa retraite, son silence. Le , Frege épouse Margarete Katharina Sophia Anna Lieseberg ( – ). Le couple serait resté sans enfant. Selon d'autres sources, deux enfants seraient morts très jeunes. Ils adoptent le jeune Paul Otto Alfred Fuchs qui devient Paul Otto Alfred Frege.

En 1893, Frege publie l'un des travaux les plus importants de sa vie, les Lois fondamentales de l'arithmétique (Die Grundgesetze der Arithmetik, Volume I). Dans cet ouvrage, il formalise les entiers naturels, mais Russell y révélera plus tard des contradictions, connues même avant lui, notamment de Zermelo. Durant cette période, il publie également la plupart de ses articles sur la philosophie du langage.

Fin de vie (1906–1925)

En 1918, Frege prend sa retraite. Entre 1906 et 1918, il ne publie pratiquement rien (à l'exception de quelques discussions dans lesquelles il critique ses collègues mathématiciens comme Carl Johannes Thomae). À sa crise créatrice provoqué par le paradoxe découvert par Russell s'ajoutent des tragédies personnelles, comme la perte de sa femme en 1904 et la grave détérioration de son état de santé.

Frege refuse l'invitation que lui fait Bertrand Russell, d'assister au cinquième congrès mathématique international à Cambridge en 1912. Sa réponse négative montre son désespoir[3].

À partir de 1918, cependant, il a publié des articles importants, traitant de la nature de la pensée, où est détaillée la logique philosophique et mathématique. Ces publications et leur élan, laissent penser que sa période dépressive, qui avait été si longue, était, au moins temporairement, terminé.

En 1923, il est arrivé à la conclusion que l'idée (le logicisme) selon laquelle l'arithmétique est entièrement basée sur la logique, était une erreur. Il a alors commencé à considérer la géométrie comme une science possible pour la fondation des mathématiques. Bien qu'il ait commencé à élaborer cette idée, il n'a pas pu l'approfondir à cause de sa mort et n'a en effet publié aucune de ces idées.

Il meurt d'épigastralgie à Bad Kleinen le 26 juillet 1925, non loin de sa ville natale Wismar où il est enterré.

Dates importantes

Contribution en logique et en mathématiques

Article général : Idéographie
Raisons de l'idéographie : Que la science justifie le recours à une idéographie

Bien que son éducation et son travail mathématique précoce se concentrent principalement sur la géométrie, le travail de Frege s'est vite orienté vers la logique. Son Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens, a marqué un tournant dans l'historique de la logique. Le Begriffsschrift a ouvert un nouveau terrain, et un traitement rigoureux des idées de fonctions et de variables. Le but de Frege était de montrer que les mathématiques se développaient hors de la logique, et, ce faisant, il a conçu des techniques qui l'ont amené bien au-delà de la logique propositionnelle syllogistique et stoïcienne.

Page de couverture du Begriffsschrift (1879).

En effet, Frege a inventé la logique des prédicats axiomatique, en grande partie grâce à son invention de variables quantifiées, qui finit par devenir omniprésente en mathématiques et en logique. La logique précédente avait traité les opérateurs logiques et, ou, ... si... alors, non, et certains et tous, mais les itérations de ces opérations, en particulier « Il existe » et « pour tous », étaient peu comprises : même la distinction entre une phrase comme « chaque garçon aime une fille » et « une fille est aimée par chaque garçon » ne pourrait être représentée que de manière très artificielle, alors que le formalisme de Frege n'avait aucune difficulté à exprimer les différentes lectures de « chaque garçon aime une fille qui aime un garçon qui aime une fille ».

Un exemple fréquemment utilisé est que la logique d'Aristote est incapable de représenter des énoncés mathématiques tel que le théorème d'Euclide, un théorème fondamental de la théorie des nombres qui déclare qu'il existe une infinité de nombres premiers. La « notation conceptuelle » de Frege peut représenter de telles inférences[4]. L'analyse des concepts logiques et la formalisation des concepts qui ont été essentielles pour les Principia Mathematica (3 vols., 1910–13) (par Bertrand Russell, 1872–1970 et Alfred North Whitehead, 1861–1947), à la théorie des descriptions de Russell, aux théorèmes d'incomplétude de Kurt Gödel (1906–78), et à la théorie sémantique de la vérité d'Alfred Tarski (1901–83), sont finalement dues à Frege.

L'un des objectifs de Frege était d'isoler des principes d'inférence logiques, de sorte qu'on n'ait nullement besoin de l'intuition. S'il y avait un élément intuitif, il devait être isolé et représenté séparément comme axiome : à partir de là, la preuve devait être purement logique. Après avoir exposé cette possibilité, le but plus large de Frege était de défendre la vue selon laquelle l'arithmétique est une branche de la logique, une vision connue sous le nom de logicisme : contrairement à la géométrie, l'arithmétique devait être démontrée comme n'ayant aucun fondement intuitionniste, et d'axiomes non-logiques. Cette idée a été formulée dans des termes non-symboliques dans Les Fondements de l'arithmétique (1884). Plus tard, dans ses Lois fondamentales de l'arithmétique (vol. 1, 1893 ; volume 2, 1903 ; le vol. 2 a été publié à ses frais), Frege a tenté de dériver, en utilisant son symbolisme, toutes les lois de l'arithmétique d'axiomes qu'il a affirmés comme logiques. La plupart de ces axiomes ont été reportés de son Begriffsschrift, en entraînant quelques changements importants. Le principe vraiment nouveau était celui qu'il appelait la Loi fondamentale V : la « value-range » de la fonction f(x) est la même que la « range-value » de la fonction g(x) si et seulement si ∀x[f(x) = g(x)].

Cette loi peut être formulée en notation moderne comme suit : soit {x|Fx} l'extension du prédicat Fx, c'est-à-dire l'ensemble de tous les Fs, et de manière similaire pour Gx. Puis, la loi fondamentale V dit que les prédicats Fx et Gx ont la même extension iff ∀x [Fx ↔ Gx]. L'ensemble de Fs est identique à l'ensemble de Gs dans le cas où chaque F est un G et chaque G est un F. La loi fondamentale V peut simplement être remplacée par le principe de Hume, qui indique que le nombre de Fs est le même que le nombre de Gs si et seulement si les Fs peuvent être mis en correspondance bijective avec les Gs. Ce principe, également, est cohérent si l'arithmétique du second ordre est suffisante pour démontrer les axiomes de l'arithmétique du second ordre. Ce résultat est appelé théorème de Frege[5].

La logique de Frege, maintenant connue sous le nom de logique du second ordre, peut être affaiblie en une logique dite prédicative du second ordre. La logique prédicative du second ordre ainsi que la loi fondamentale V est formellement compatible avec les méthodes finitistes ou constructives, mais elle ne peut interpréter que des fragments d'arithmétique très faibles.

Le travail de Frege en logique a eu peu d'attention internationale jusqu'en 1903, lorsque Russell a écrit une annexe aux The Principles of Mathematics indiquant ses différences avec Frege. La notation schématique utilisée par Frege n'avait pas d'antécédents (et n'a eu aucun imitateur depuis). Jusqu'à ce que Russell et Whitehead avec leurs Principia Mathematica apparaissent en 1910-13, l'approche dominante de la logique mathématique était encore celle de George Boole (1815-64) et de ses descendants intellectuels, en particulier Ernst Schröder (1841-1902). Les idées logiques de Frege se sont néanmoins répandues dans les écrits de son élève Rudolf Carnap (1891-1970) et d'autres admirateurs, en particulier Bertrand Russell et Ludwig Wittgenstein (1889-1951).

Philosophie du langage

Selon Frege, d'une part, la pensée est inséparable du langage ; seul le langage permet à l'attention de se libérer de l'immédiateté sensible, mais il le fait par d'autres éléments sensibles, à savoir les signes; le langage libère donc la pensée comme la technique de navigation contre le vent libère du vent par le vent. Mais, d'autre part, les langues ordinaires pèchent par équivocité des signes, et aussi par le fait qu'elles ne sont pas calquées sur les lois objectives de la pensée, mais sur celles de la psychologie humaine. Il convient donc de mieux distinguer les deux, grâce à l'invention d'une langue spéciale, calquée sur les exigences logiques. L'écriture constitue une étape importante dans la libération de la pensée rigoureuse ; elle permet de s'appuyer sur des signes constants, et aussi de rapporter librement l'énoncé aux lois de la logique. Dans ces conditions, la première tâche de la logique sera d'édifier un langage logique aussi rigoureux que possible, où toute lacune dans l'exposé des raisons sera aperçue d'un coup d'œil. (Que la science justifie le recours à une idéographie, article publié en 1882 dans le Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik (81).)

Frege a développé une conception du langage à la suite de ses recherches logiques. Über Sinn und Bedeutung est l'article classique qui expose deux problèmes à propos de la signification des phrases, et où il montre que l'on doit distinguer sens et dénotation :

  • le problème du jugement d'identité : « a=b » est un jugement d'identité, dans lequel « a » et « b » dénotent des objets. « a=b » est vrai si l'objet « a » est identique à l'objet « b », en d’autres termes si a et b dénotent le même objet, ont la même dénotation (bedeutung). Comment alors expliquer que les mathématiques ne se réduisent pas à de vaines tautologies, comme « Paul est Paul » ? C'est que deux formules, qui dénotent pourtant le même objet x, n'ont pas nécessairement le même sens. Par exemple, le vainqueur d'Austerlitz (a) est le même individu (x) que le vaincu de Waterloo (b), mais les deux expressions n'ont nullement le même sens (sinn).
  • les attitudes propositionnelles.

Sens et dénotation

(Pour la critique de cette théorie par Russell, voir Description définie)

Frege distingue sens et dénotation ; la dénotation est l'objet auquel on fait référence, le sens est le mode de donation de la dénotation. Exemple :

  • « L'étoile du matin » et « l'étoile du soir » ont des sens différents mais la même dénotation (Vénus).
  • « L'étoile la plus éloignée de la terre » a un sens (Sinn) mais n'a pas de dénotation (Bedeutung).

Cette distinction, qui sera rejetée par Russell, a pour objet d'expliquer qu'une formule comme a=b ait une utilité, c'est-à-dire qu'elle ne se réduit pas à a=a. Nous apprenons par cette formule que deux concepts distincts renvoient à un seul et même objet. En effet le concept se dit d'un objet, mais ne se confond pas avec lui. Le cheval est en fait un certain objet que nous dénotons par sa propriété d'être un certain cheval. Il y a un cheval veut dire qu'il existe un x (objet dénoté), tel qu'il est un cheval (concept signifié). En effet, le langage désigne le plus souvent moins chaque objet par un nom propre que par une catégorie commune à plusieurs objets.

Notons que Frege explique qu'il ne faut pas psychologiser cette distinction. Le sens n'est nullement la représentation subjective que chacun introduit sous le concept. Il est rigoureux et universel. L'expression "2+2" a la même dénotation que "3+1", mais non le même sens. Elle ne renvoie pourtant en rien à quelque image subjective.

Influence

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De son vivant, les articles de Frege furent soit refusés, soit négligés, tant par les logiciens que les philosophes. C'est Russell, qui le premier, reconnut l'importance de cette œuvre.

Rudolf Carnap, un des membres du Cercle de Vienne a suivi les cours que donnait Frege à Iéna.

L'influence de Frege fut double.

  1. Incontestablement, il est l’inventeur de la logique moderne, livrant ainsi un formidable outil aux mathématiques contemporaines.
  2. Il est un des pères de la philosophie analytique et a influencé par ses travaux Russell, Whitehead, Wittgenstein.

Enfin, le père de la phénoménologie, Husserl, critiqué âprement dans un article de Frege, et accusé de psychologisme, modifia ses conceptions.

Notes et références

Notes


Références

  1. ↑ Lothar Kreiser, Gottlob Frege: Leben - Werk - Zeit, Felix Meiner Verlag, 2013, p. 11.
  2. ↑ Arndt Richter, "Ahnenliste des Mathematikers Gottlob Frege, 1848-1925"
  3. ↑ « Frege (print-only) », sur www-history.mcs.st-andrews.ac.uk (consulté le )
  4. ↑ (en) Leon Horsten et Richard Pettigrew, « Introduction », dans The Continuum Companion to Philosophical Logic, Continuum International Publishing Group, , p. 7.
  5. ↑ (en) « Frege's Logic, Theorem, and Foundations for Arithmetic », dans Stanford Encyclopedia of Philosophy, plato.stanford.edu (lire en ligne).

Voir aussi

Bibliographie

Œuvres de Frege

Littérature secondaire

  • Rafael del Vado Vírseda et Magali Mangin (Trad.), Les fondements logiques des mathématiques : Frege, Barcelone, RBA Coleccionables, (ISBN 978-84-473-9724-2)
  • Stephen Cole Kleene (trad. Jean Largeault), Logique mathématique, Armand Colin, 1971.
  • Philippe de Rouilhan, Frege – Les paradoxes de la représentation, Éditions de Minuit, 1988
  • Mathieu Marion et Alain Voizard (dir.), Frege – Logique et philosophie, L’Harmattan, 1998
  • Pascal Engel, Identité et référence, la théorie des noms propres chez Frege et Kripke, Paris, Presses de l’École normale supérieure, 1985
  • (en) I. Angelelli, Studies on Gottlob Frege and Traditional Philosophy (Dordrecht, 1967).
  • J.-P. Belna, La notion de nombre chez Dedekind, Cantor, Frege : Théories, conceptions et philosophie, Paris, 1996
  • (en) W. Demopoulos (éd.), Frege's Philosophy of Mathematics, Cambridge (MA), 1995
  • (en) M. Dummett, Frege : philosophy of language, London, 1992
  • (en) M. Dummett, The Interpretation of Frege's Philosophy, London, 1981
  • (en) M. Dummett, Frege : philosophy of mathematics, London, 1995
  • (en) A. Kenny, Frege : An introduction to the founder of modern analytic philosophy, Oxford, 2000
  • (de) U. Kleemeier, Gottlob Frege : Kontext-Prinzip und Ontologie, Freiburg, 1997
  • (en) E. D. Klemke (éd.), Essays on Frege, 1968

Articles connexes

Personnalités

Concepts

Liens externes

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