Angle solide

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Angle solide
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L'angle solide est le rapport entre la surface de la sphère intercepté par un cône (en rose) et le carré du rayon de celle-ci.

Unités SI stéradian (sr)
Nature Grandeur scalaire extensive
Symbole usuel

En mathématiques, en géométrie et en physique, un angle solide est l'analogue tridimensionnel de l'angle plan ou bidimensionnel. Il désigne d'abord une portion de l’espace délimité par un cône non nécessairement circulaire. Le sommet du cône est le sommet de l’angle solide. L'angle solide désigne également, dans son sens le plus commun, la mesure de cette portion de l'espace. Son unité est le stéradian, noté sr, unité dérivée du Système international d'unités.

Définition[modifier | modifier le code]

L'angle plan est défini, dans l'espace bidimensionnel, comme le rapport entre la longueur de l'arc intercepté et le rayon du cercle.

L'angle solide, dans l'espace tridimensionnel, est défini de façon analogue comme le rapport de l'aire de la calotte sphérique interceptée et du rayon de la sphère élevé au carré[1].

Avec :

  •  : angle solide en stéradian (sr) ;
  •  : aire de la portion de sphère interceptée en mètre carré (m2) ;
  •  : rayon de la sphère en mètre (m).

Angle solide élémentaire[modifier | modifier le code]

L'angle solide élémentaire correspondant à une surface infinitésimale s'exprime[1] ː

,

où ː

  • est l'angle solide élémentaire ;
  • est la normale à l'élément de surface et de norme  ;
  • est le vecteur unitaire donnant la direction de l'élément de surface ;
  • est la distance qui sépare le sommet de l'angle solide élémentaire et l'élément de surface ; .

Forme intégrale[modifier | modifier le code]

L'angle solide sous lequel on voit une surface à partir d'un point est donné par l'intégrale de surface :

.

Autrement dit, l'angle solide est égal au flux du champ à travers la surface considérée[1].

Angle solide en coordonnées sphériques[modifier | modifier le code]

L'angle solide étant associé à un sommet, l'étude en coordonnées sphériques est souvent la plus appropriée.

Angle solide élémentaire[modifier | modifier le code]

Notations utilisées.

Pour une sphère de rayon , l'angle solide élémentaire est défini pour un élément de surface élémentaire , correspondant à des variations angulaires infinitésimales des altitude et azimut (dans le cadre du calcul différentiel, la surface élémentaire est assimilée à un plan) :

,

d'où :

.

Angle solide d'un cône de révolution[modifier | modifier le code]

L'angle solide correspond à un cône de révolution d'angle au sommet inscrit dans la sphère de projection

Dans le cas d'un cône de révolution de demi-angle au sommet , l'angle solide se calcule par intégration sur la sphère, dans les domaines angulaires des coordonnées sphériques :

,
.

Quelques exemples[modifier | modifier le code]

  • L'angle solide qui intercepte la sphère entière vaut 4π sr. Un hémisphère correspond donc à un angle solide de 2π sr.
  • Les angles solides sous lesquels on voit une pièce d'un centime d'euro à 1,80 m de distance, la Lune et le Soleil, sont très proches : 6·10−5 sr.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a, b et c José-Philippe Pérez et Olivier Pujol, Mécanique : fondements et applications - 7e édition: Avec 320 exercices et problèmes résolus, Dunod, (ISBN 9782100721894, lire en ligne)

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