Coordonnées bipolaires

Le système de coordonnées bipolaires

Les coordonnées bipolaires sont un système de coordonnées orthogonales.

Définition

En un point du plan de coordonnées bipolaires (τ , σ) correspond le point

$x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}$

$y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}.$

Géométriquement la coordonnée σ d'un point P est l'amplitude (signée) de l'angle entre le segment joignant les foyers (-a, 0) et (a, 0) et le cercle passant par le foyer (-a, 0), le point P et le foyer (a, 0). La coordonnée τ est quant à elle le logarithme du rapport entre la distance au foyer (a, 0) et la distance au foyer (-a, 0).

Notation complexe

On a la correspondance pour l'affixe complexe :

$x+\mathrm {i} y=a\coth {\frac {\tau -\mathrm {i} \sigma }{2}}.$

Transformation inverse

Pour déterminer les coordonnées bipolaires (τ , σ) à partir des coordonnées cartésiennes (x , y), on a

$\tau ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {(x+a)^{2}+y^{2}}{(x-a)^{2}+y^{2}}}$

et

$\pi -\sigma =2\arctan {\frac {2ay}{a^{2}-x^{2}-y^{2}+{\sqrt {(a^{2}-x^{2}-y^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}}}}}.$

On remarque aussi que

$\tanh \tau ={\frac {2ax}{x^{2}+y^{2}+a^{2}}}$

et que

$\tan \sigma ={\frac {2ay}{x^{2}+y^{2}-a^{2}}}.$