Capacité thermique massique

Capacité thermique massique

Données clés

Unités SI	joule par kilogramme-kelvin (J kg−1 K−1).
Dimension	L 2·T −2·Θ −1
Nature	Grandeur scalaire intensive
Symbole usuel	$c$

La capacité thermique massique (symbole usuel c), anciennement appelée chaleur massique ou chaleur spécifique, est la capacité thermique d'un matériau rapportée à sa masse. C'est une grandeur qui reflète la capacité d'un matériau à accumuler de l'énergie sous forme thermique, pour une masse donnée, quand sa température augmente. Une grande capacité thermique signifie qu'une grande quantité d'énergie peut être stockée, moyennant une augmentation relativement faible de la température.

Elle s'exprime en joules par kilogramme et par kelvin (joule par kilogramme-kelvin : J kg⁻¹ K⁻¹). C'est une grandeur intensive : elle est indépendante de la quantité de matière.

La détermination des valeurs des capacités thermiques des substances relève de la calorimétrie.

Caractérisation

La capacité thermique massique est déterminée par la quantité d'énergie à apporter par échange thermique pour élever d'un kelvin (ou degré Celsius) la température de l'unité de masse d'une substance. C'est donc une grandeur intensive égale à la capacité thermique rapportée à la masse du corps étudié.

L'unité dérivée du Système international est alors le joule par kilogramme-kelvin (J kg⁻¹ K⁻¹). Les unités de base du système international pour exprimer la valeur d'une capacité thermique massique sont des m²⋅s⁻²⋅K⁻¹.

En ce qui concerne les équations aux dimensions, une capacité thermique massique a pour dimension : L²·T⁻²·Θ⁻¹. Il est parfois nécessaire, pour résoudre certaines équations aux dimensions, de distinguer entre masse inerte M_i et masse grave M_g^{[pourquoi ?]}. Ici, le joule apporte une dimension de masse inerte, et le kilogramme auquel est ramenée la grandeur a une dimension de masse grave^[pas clair], la dimension résultante^[Quoi ?] est alors en M_i.M_g^-1.L²·T⁻²·Θ⁻¹.

Caractérisation à pression ou volume constant

Suivant le type de transformation thermodynamique, on considère soit l'énergie interne massique, soit l'enthalpie massique. Si on note U l'énergie interne, H l'enthalpie et m la masse d'un corps on a donc les capacités thermiques massiques :

• à volume constant, la capacité thermique isochore massique : $c_{V}={\frac {1}{m}}\,\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)_{V}$ ;
• à pression constante, la capacité thermique isobare massique : $c_{p}={\frac {1}{m}}\,\left({\frac {\partial H}{\partial T}}\right)_{p}$.

La différence entre la capacité thermique massique à pression constante $c_{p}$ et la capacité thermique massique à volume constant $c_{V}$ est liée au travail qui doit être fourni pour dilater le corps en présence d'une pression externe. Si elle est souvent négligeable pour les phases condensées réputées peu compressibles et peu dilatables (liquides ou solides) la différence entre $c_{V}$ et $c_{p}$ est importante pour les gaz.

La capacité thermique volumique, exprimée en joules par mètre cube-kelvin (J ⋅ m^-3 ⋅ K^-1), est égale à la capacité thermique massique multipliée par la masse volumique.

Cas des gaz parfaits

D'après la théorie cinétique des gaz, l'énergie interne d'une mole de gaz parfait monoatomique est égale à (3/2)RT, et plus élevée pour les gaz dont les molécules sont polyatomiques ; par exemple, (5/2)RT pour un gaz diatomique. Le calcul théorique n'est plus possible pour les molécules complexes.

La capacité massique à volume constant est ainsi de :

• $c_{V}={\frac {3R}{2M}}$ pour un gaz parfait monoatomique ;
• $c_{V}={\frac {5R}{2M}}$ pour un gaz parfait diatomique, lorsque sa température $T$ vérifie $T_{\text{rotation}}<T<T_{\text{vibration}}$. En effet si $T<T_{\text{rotation}}$ on aura $c_{V}={\frac {3R}{2M}}$ (son comportement sera celui d'un gaz monoatomique), et si $T>T_{\text{vibration}}$ on aura $c_{V}={\frac {7R}{2M}}$ pour un gaz diatomique.

La capacité massique à pression constante d'un gaz parfait peut être déterminée à partir de la capacité massique à volume constant, puisque l'équation des gaz parfaits exprime que :

$pv={\frac {RT}{M}}$, et donc : ${\frac {\partial (pv)}{\partial T}}={\frac {R}{M}}$,

p étant la pression, v le volume massique, R la constante molaire des gaz et M la masse molaire du gaz considéré.

La différence théorique entre ces deux valeurs donne alors la relation de Mayer :

$c_{p}-c_{V}=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V,N}\left({\frac {\partial v}{\partial T}}\right)_{p,N}$

où p, V, v, N et T sont respectivement la pression, le volume, le nombre de particules et la température du système considéré ; soit :

$c_{p}-c_{V}=\left({\frac {\partial (u+pv)}{\partial T}}\right)_{p}-\left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{V}={\frac {R}{M}}$,

u (l'énergie interne massique) ne dépendant que de la température.

Le rapport des deux capacités d'un gaz est important en thermodynamique ; il est noté gamma :

$\gamma ={\frac {C_{p}}{C_{V}}}$.

Sa valeur dépend de la nature du gaz considéré ; pour un gaz parfait, la valeur théorique de γ est :

• γ = 5/3 = 1,67 pour un gaz monoatomique (1/(γ-1)=3/2=1,5) ;
• γ = 7/5 = 1,4 pour un gaz diatomique (1/(γ-1)=5/2=2,5).

Capacité thermique massique c_p de gaz à pression constante, sous atmosphère normale

Gaz	Masse molaire (kg/mol)	Température (°C)	Capacité thermique massique (J/(kg⋅K))	${\frac {1}{(\gamma -1)}}$
Air	29 × 10−3	0-100	1 004	2,48
Argon	39,948 × 10−3	15	520	1,54
Diazote	28,013 × 10−3	0-200	1 025	2,46
Dioxyde de carbone	44,01 × 10−3	20	650	3,44
Hélium	4,003 × 10−3	18	5 193	1,52
Dihydrogène	2,016 × 10−3	16	14 300	2,46
Dioxygène	31,999 × 10−3	13-207	920	2,50
Vapeur d'eau	18,015 × 10−3	100	2 010	3,65

D'une manière générale pour les gaz parfaits, on a les capacités thermiques molaires [J/(mol⋅K)] suivantes : $C_{V}={\frac {R}{\gamma -1}}$ et $C_{P}={\frac {R\gamma }{\gamma -1}}$.

Cas des solides

Valeurs courantes

Substance (phase solide)	Capacité thermique massique (J·kg−1·K−1)
Asphalte	1 021
Brique	840
Béton	880
Granite	790
Gypse	1 090
Marbre	880
Sable	835
Verre	720
Bois	≈ 1200-2700

Cas des solides cristallisés

Dans le cas des solides, à température suffisamment haute, la loi de Dulong et Petit est applicable et permet notamment de retrouver que, à basse température, $C_{V}\sim T^{3}$ du fait de la contribution des phonons. Si le solide est un métal, il faut ajouter la contribution des électrons qui est proportionnelle à la température.

Les coefficients de dilatation des corps solides et liquides sont généralement suffisamment faibles pour qu'on néglige la différence entre C_p et C_V pour la plupart des applications.

Substance	$\Theta$ (K)
Al	398
C (diamant)	1 860
Cu	315
Fe	420
K	99
Pb	88

Suivant la théorie de Debye, la capacité thermique molaire d'un corps simple solide peut être déterminée au moyen de la formule :

$C_{V}(T)=3R\left(4D(u)-{\frac {3u}{\exp {u}-1}}\right)$

avec $u={\frac {\Theta }{T}}$,

$\Theta$ est la température de Debye, qui est une caractéristique de chaque substance,

R est la constante molaire des gaz,

et $D(u)={\frac {3}{u^{3}}}\int _{0}^{u}\left({\frac {x}{2}}+{\frac {x}{\exp {(x)}-1}}\right)x^{2}dx$.

Cette formule se simplifie à basse température, ainsi qu'à haute température ; dans ce dernier cas, on retrouve la loi de Dulong et Petit :

$C_{V}(T)={\begin{cases}{\frac {12}{5}}\pi ^{4}R\cdot \left({\frac {T}{\Theta }}\right)^{3},&{\text{si }}T\ll \Theta \\3R&{\text{si }}T\gg \Theta \end{cases}}$

La théorie n'est plus valable pour les corps composés.

Formules empiriques

Pour des corps purs (solides, liquides ou gazeux) et à pression constante, deux formules empiriques à trois paramètres ont pu être dégagées, pour un intervalle de température donné :

$C_{p}=a+bT+cT^{2}$ ou bien $C_{p}=a'+b'T+c'T^{-2}$.

Les valeurs des coefficients sont indiqués dans des tables et sont caractéristiques d'un corps donné.

Pour le bois sec, par exemple, on a :

$c_{p,anhydre}=0,1031+0,003867\,T$

avec :

• $c_{p,anhydre}$ : exprimé en kJ·kg⁻¹·K⁻¹
• T : température thermodynamique (K).

À 20 °C, on obtient 1 236 J/kg.K pour le bois sec.

Pour le bois humide :

$c_{p,humide}={\frac {100\,c_{p,anhydre}+Hs\,c_{p,eau}}{100+Hs}}$

où Hs est la masse d'eau rapportée à la masse du bois sec en %.

Mesure de la capacité thermique massique d'un solide

La capacité thermique massique d'un solide peut être mesurée en utilisant un appareil de type ATD (analyse thermodifférentielle) ou DSC (differential scanning calorimetry). Elle peut se définir de la façon suivante : quand un système passe de la température T à une température T+dT, la variation d’énergie interne du système dU est liée à la chaleur échangée δQ selon :

$dU=\delta Q-p_{e}dV$

avec p_e la pression extérieure à laquelle est soumis le système et dV la variation de volume. Si V = cte :

$dU=\delta Q_{v}=C_{v}dT$

En revanche, si la transformation est isobare (pression constante), on obtient en utilisant la fonction enthalpie du système, la relation :

$dH=\delta Q+Vdp$

Si P = cte

$dH=\delta Q_{p}=C_{p}dT$

avec C_p la capacité à pression constante. La mesure consiste donc à mesurer la différence de température créée par un échange thermique donné, où le flux d'énergie se traduit par une différence de température.

Le schéma suivant illustre la technique instrumentale utilisée dans le cas de la première méthode (mesure de la différence de température).

Schéma représentant un dispositif de mesure des capacités thermiques.

L’appareil est constitué de deux « plots » indépendants et d’un four. Des thermocouples permettent de mesurer la température de la face supérieure des plots en contact avec l’échantillon, ainsi que la température du four. Celle-ci correspond à la température de mesure. Toutes les mesures sont effectuées en utilisant un porte-échantillon d’aluminium vide sur l’un des plots. Une première mesure d’un autre porte-échantillon d’aluminium vide permet d’obtenir une ligne de base (dépendant de la mesure de température par les thermocouples). Puis une mesure d’un échantillon de référence de capacité thermique massique connue permet d’étalonner l’appareil. Enfin, l’échantillon sous forme de poudre est mesuré et sa capacité thermique massique est obtenue par comparaison avec celle de l’échantillon de référence. Pour améliorer la précision de la mesure, il convient de prendre en compte, le cas échéant, la différence de masse entre les deux porte-échantillons (la correction s'effectue en utilisant la capacité thermique massique de l'aluminium). La source d’erreur principale provient de la qualité du contact thermique entre le plot et le porte-échantillon.

Valeurs pour différentes substances

Capacité thermique massique à pression constante dans les conditions normales de température et de pression (sauf indication contraire)

Substance	Phase	Capacité thermique massique (J·kg−1·K−1)
Air (sec)	gaz	1 005
Air (saturé en vapeur d'eau)	gaz	≈ 1 030
Aluminium	solide	897
Diazote	gaz	1 042
Cuivre	solide	385
Diamant	solide	502
Eau	gaz	1 850
	liquide	4 185
	solide (0 °C)	2 060
Éthanol	liquide	2 460
Fer	solide	444
Graphite	solide	720
Hélium	gaz	5 193
Hexane	liquide	≈ 2 267,95
Huile	liquide	≈ 2 000
Dihydrogène	gaz	14 300
Laiton	solide	377
Lithium	solide	3 582
Mercure	liquide	139
Octane	liquide	≈ 1 393,33
Or	solide	129
Dioxygène	gaz	920
Zinc	solide	380

Voir aussi

Bibliographie

• Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, t. 5 : Physique statistique [détail des éditions]
• Charles Kittel (trad. Nathalie Bardou, Évelyne Kolb), Physique de l’état solide [« Solid state physics »], 1998 [détail des éditions]
• J. Boutigny, Thermodynamique, Vuibert

Articles connexes

• Coefficients calorimétriques et thermoélastiques
• Loi de Joule
• Capacité thermique
• Capacité thermique volumique
• Capacité thermique isobare
• Capacité thermique isochore