Phonon

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Modes normaux de vibration progressifs de différentes fréquences ν dans un cristal. En mécanique classique, l'énergie emmagasinée dans chacun de ses modes peut varier continûment. En mécanique quantique, chacun de ces modes possède une énergie quantifiée E = (n+1/2) , où n est un entier indiquant le nombre de phonons ; les modes ne peuvent acquérir ou céder de l'énergie que par paquets de .

En physique de la matière condensée[1], un phonon (du grec ancien φονη / phonê, la voix) désigne un quantum d'énergie de vibration dans un solide cristallin[2] : lorsqu'un mode de vibration du cristal de fréquence définie ν cède ou gagne de l'énergie, il ne peut le faire que par paquets d'énergie , h étant la constante de Planck. Ce paquet est considéré comme une quasi-particule, à savoir une particule fictive appelée phonon. Le cristal est alors réputé échanger des phonons lorsqu'il perd ou gagne de l'énergie. Le concept permet une analogie avec la lumière qui possède des propriétés similaires : elle se manifeste tantôt comme une onde, tantôt comme un paquet d'énergie , qui correspond à une particule élémentaire appelée photon.

Le phonon est une notion de mécanique quantique faisant appel au concept de dualité onde-corpuscule : selon le contexte expérimental il peut se manifester soit comme une onde, soit comme un paquet élémentaire. Si l'étude des phonons prend une part importante dans la physique de la matière condensée, c'est qu'ils jouent un rôle important dans un grand nombre de propriétés physiques des solides dont

La mécanique classique, qui ne prend en compte que l'aspect vibratoire, n'est pas capable d'expliquer en totalité ces propriétés.

Introduction[modifier | modifier le code]

Solide cristallin en mécanique classique[modifier | modifier le code]

Les phonons sont l'équivalent en mécanique quantique d'une catégorie particulière de mouvements vibratoires connus sous le nom de modes normaux de vibration en mécanique classique. Un mode normal de vibration est un mode dans lequel chaque élément d'un réseau vibre à la même fréquence. Ces modes ont une grande importance, notamment parce que tout mouvement de type vibration dans un solide peut être représenté comme la superposition d'un certain nombre de modes normaux de vibrations de fréquences différentes : ils peuvent être compris comme les vibrations élémentaires du réseau.

Quantification des modes de vibration[modifier | modifier le code]

Bien que les modes normaux de vibration soient des entités de type ondulatoire, ils peuvent acquérir en partie un comportement de type particulaire quand le réseau est étudié au travers des lois de la mécanique quantique (du fait de la dualité onde-corpuscule). Ils sont alors nommés phonons. Les phonons sont des quasi-particules de spin 0 (bosons qui obéissent donc à la statistique de Bose-Einstein).

Définition des phonons[modifier | modifier le code]

Les phonons n'existent qu'au sein d'un réseau cristallin comportant un grand nombre de particules et les seules structures physiques connues correspondant à cette définition sont les solides cristallins. Dans la suite nous ne traiterons donc des phonons que dans ce cadre et, pour la clarté de l'exposé, nous appellerons les particules constituant le réseau « atomes », bien qu'il puisse s'agir d'ions dans un solide ionique.

Aspects mécaniques : mouvement de particules dans un réseau[modifier | modifier le code]

Dans un solide, il existe des forces d'interaction (force de van der Waals, forces covalentes, etc.) qui maintiennent chaque atome près d'une position d'équilibre. Ce sont principalement des forces de type électrique, les forces de type magnétique étant généralement négligeables. L'interaction entre chaque paire d'atomes peut être caractérisée par une fonction d'énergie potentielle V qui ne dépend que de la distance entre ces atomes et qui est la même pour toutes les paires d'atomes. L'énergie potentielle du réseau dans son ensemble est la somme des énergies potentielles d'interaction de chaque paire :


E = \frac{1}{2} \sum_{i \ne j} V(r_i - r_j) \,

où ri est la position du ième atome, et le facteur 1/2 compense le fait que chaque paire est comptée deux fois (comme (i,j) et comme (j,i)).

Cette expression, caractéristique d'un problème à N corps, ne se prête pas à une résolution que ce soit en mécanique classique ou en mécanique quantique. Il est donc nécessaire de procéder à des approximations pour poursuivre l'analyse. Les deux approximations généralement employées sont :

  • restreindre la sommation aux atomes voisins. En effet, bien que rigoureusement les forces électriques aient une portée infinie dans un solide réel, cette approximation est valide car les forces s'exerçant sur des atomes éloignés sont écrantées et donc négligeables.
  • considérer que le potentiel V est un potentiel harmonique, ce qui est valide lorsque les atomes restent proches de leurs positions d'équilibre. (Formellement, cette hypothèse s'applique en effectuant un développement de Taylor du potentiel V autour de la valeur d'équilibre et en ne gardant que le premier terme non-constant, qui est d'ordre 2.)

Il est possible de relâcher l'une ou l'autre des hypothèses, pour la première en considérant l'interaction avec des voisins plus éloignés et pour la deuxième en ajoutant des termes d'ordres supérieurs. Dans la plupart des cas, l'inclusion de ces termes ne modifie pas significativement la solution.

Le réseau peut être visualisé comme un système de balles liées par des ressorts. La figure ci-dessous illustre deux types de réseau décrits de cette manière. La figure de gauche montre un réseau cubique (réseau correspondant à un nombre important de solides cristallins, dont notamment de nombreux métaux). La figure de droite montre une chaîne linéaire, un réseau très simple permettant une approche aisée de la modélisation des phonons. Pour plus d'information sur les réseaux cristallins, voir l'article cristallographie.

Cubic.svg       Chaine lineaire atomes.png

L'énergie potentielle du réseau peut maintenant s'écrire :


E=\frac{1}{2}\sum_{i \ne j (pv)} {1\over2} m \omega^2 (R_i - R_j)^2
  • ω est la pulsation propre des potentiels harmoniques
  • m est la masse des atomes.
  • Ri est la coordonnée du ième atome, considéré maintenant par rapport à sa position d'équilibre.
  • le symbole pv indique que la sommation est effectuée uniquement sur les plus proches voisins.

Ondes dans un réseau[modifier | modifier le code]

Phonon dans un réseau

Du fait des forces s'exerçant entre les différents atomes du réseau cristallin, le déplacement d'un ou plusieurs atomes autour de leur position d'équilibre entraînera une série d'ondes de vibrations se propageant dans le réseau. La figure ci-contre montre une onde de vibration dans un réseau. L'amplitude de l'onde est donnée par l'amplitude du déplacement des atomes autour de leur position d'équilibre. La longueur d'onde correspond au plus petit intervalle entre deux répétitions identiques de l'arrangement des atomes. Elle est notée λ sur la figure.

Toutes les longueurs d'onde de vibration ne sont pas possibles. Notamment, il existe une longueur d'onde minimale donnée par la distance entre les atomes a. Nous verrons plus loin qu'une onde de longueur d'onde plus faible que a est en fait identique à une longueur d'onde plus grande que a.

Toutes les vibrations possibles du réseau ne possèdent pas nécessairement une longueur d'onde (ou une fréquence) bien définie. C'est cependant le cas pour les modes normaux de vibration (les vibrations élémentaires du réseau), que nous allons examiner plus en détail dans les paragraphes suivants.

Phonons dans un réseau 1D[modifier | modifier le code]

Considérons une chaîne unidimensionnelle composée de N atomes pour lesquels les potentiels sont harmoniques. Ce système est le modèle le plus simple pour un réseau cristallin. Le formalisme mathématique que nous allons développer dans la suite (dans le cadre de la mécanique quantique) est facilement généralisable à des systèmes à deux ou trois dimensions.

 \mathbf{H} = \sum_{i=1}^N {P_i^2 \over 2m} + {1\over 2} m \omega^2 \sum_{\{ij\} (pv)} (X_i - X_j)^2
  • m est la masse des atomes.
  • Xi est l'opérateur position.
  • Pi est l'opérateur impulsion

Une description plus approfondie de cet Hamiltonien est donnée dans l'article oscillateur harmonique quantique

  • Définissons maintenant N "coordonnées normales" Qk définies comme les transformées de Fourier des opérateurs position Xi.
  • Définissons également N "moments conjuguées" Πk définis comme les transformées de Fourier des opérateurs impulsion Pi.
\begin{matrix}
X_j   &=& {1\over\sqrt{N}} \sum_{k} Q_k e^{ikja} \\
P_j   &=& {1\over\sqrt{N}} \sum_{k} \Pi_k e^{-ikja} \\
\end{matrix}

La quantité k est le nombre d'onde du phonon, c’est-à-dire 2π divisé par la longueur d'onde. Ce nombre prend des valeurs quantifiées parce que le nombre d'atomes du système est fini. La forme de la quantification dépend du choix des conditions aux limites. Par souci de simplification, nous imposons dans la suite des conditions aux limites périodiques (aussi appelées conditions de Born von Karman), c’est-à-dire que nous considérons que l'atome N+1 est équivalent au premier atome. Physiquement, cela correspond à former une boucle avec la chaîne en faisant se rejoindre les deux extrémités. Le résultat de la quantification est :

 k = {n\pi \over Na}
\quad \hbox{pour}\ n = 0, \pm 1, \pm 2, ... , \pm N

La limite supérieure de n provient de la condition aux limites choisies (l'atome en position x1 est identique à l'atome en position xN+1.

En inversant la transformée de Fourier pour exprimer les Qk en termes de Xi et les Πk en termes de Pi, et en utilisant les relations de commutations canoniques entre les Xi et les Pi, on peut montrer que (voir l'article mécanique quantique) :


\left[ Q_k , \Pi_{k'} \right] = i \hbar \delta_{k k'} \quad
;\quad \left[ Q_k , Q_{k'} \right] = \left[ \Pi_k , \Pi_{k'} \right] = 0

En d'autres mots, les coordonnées normales Qk et leurs moments conjuguées Πk obéissent aux mêmes relations de commutation que les opérateurs position Xi et impulsion Pi. En fonction de ces grandeurs, le Hamiltonien s'écrit :

 \mathbf{H} = \sum_k \left(
{ \Pi_k\Pi_{-k} \over 2m } + {1\over2} m \omega_k^2 Q_k Q_{-k}
\right)

avec

 \omega_k = \sqrt{2 \omega^2 (1 - \cos(ka))}

Le couplage entre les variables positions a été transformé. Si les Qk et les Πk étaient hermitiens (ce qui n'est pas le cas), le Hamiltonien transformé décrirait N oscillateurs harmoniques non couplées. En fait, ce Hamiltonien décrit une théorie quantique des champs de bosons non interagissant.

Le spectre des énergies propres de cet Hamiltonien est obtenu en utilisant les opérateurs adjoints création et annihilation ak et ak définis comme :

\begin{matrix}
a_k &=& \sqrt{m\omega_k \over 2\hbar} (Q_k + {i\over m\omega_k} \Pi_{-k}) \\
a_k^\dagger &=& \sqrt{m\omega_k \over 2\hbar} (Q_{-k} - {i\over m\omega_k} \Pi_k)
\end{matrix}

Pour plus de précisions, voir l'article Oscillateur harmonique quantique. Les opérateurs adjoints vérifient l'identité :

\mathbf{H} = \sum_k \hbar \omega_k \left(a_k^{\dagger}a_k + 1/2\right)
[a_k , a_{k'}^{\dagger} ] = \delta_{kk'}
[a_k , a_{k'} ] = [a_k^{\dagger} , a_{k'}^{\dagger} ] = 0.

Comme dans le cas de l'oscillateur harmonique quantique, on peut montrer que les opérateurs ak et ak correspondent respectivement à la création et l'annihilation d'une excitation d'énergie ℏωk. Cette excitation est un phonon.

On peut immédiatement en déduire deux propriétés importantes des phonons. D'abord, les phonons sont des bosons : n'importe quel nombre d'excitations identiques peuvent être créées par l'application répétée de l'opérateur création ak. En second lieu, chaque phonon est un "mode collectif" correspondant au mouvement de la (quasi) totalité des atomes du réseau. Cette seconde conclusion se voit dans le fait que les opérateurs adjoints contiennent des sommations sur les positions et les impulsions de tous les atomes du réseau.

Il n'est pas évident a priori que les excitations générées par les opérateurs adjoints sont littéralement des ondes de déplacement d'atomes du réseau. On peut s'en convaincre en calculant la fonction de corrélation position-position. Soit |k> un état pour lequel un seul quantum de mode k est excité, c’est-à-dire :

\begin{matrix}
| k \rangle = a_k^\dagger | 0 \rangle
\end{matrix}

On peut alors montrer que pour deux atomes i et j quelconques :

\langle k | x_i(t) x_j(0) | k \rangle = \frac{\hbar}{Nm\omega_k} \cos \left[ k(i-j)a - \omega_k t \right] + \langle 0 | x_i(t) x_j(0) |0 \rangle

ce qui est exactement le résultat attendu pour une onde du réseau de pulsation ωk et de nombre d'onde k.

Phonons dans un réseau 3D[modifier | modifier le code]

La généralisation à trois dimensions du modèle unidimensionnel précédent est aisée (mais assez lourde). Le nombre d'onde k est remplacé par un vecteur à trois dimensions, le vecteur d'onde  \vec k . De plus,  \vec k , est maintenant associé à trois coordonnées normales. L'Hamiltonien a la forme :


\mathbf{H} = \sum_k \sum_{s=1}^3 \hbar \, \omega_{k,s}
\left( a_{k,s}^{\dagger}a_{k,s} + \frac{1}{2} \right)

Le nouvel indice s=1, 2, 3 correspond à la polarisation des phonons. En effet, dans un modèle unidimensionnel, les atomes ne peuvent vibrer que sur une ligne, et tous les phonons correspondent à une onde longitudinale. En revanche en trois dimensions, la vibration ne se fait plus uniquement dans la direction de propagation, mais peut également lui être perpendiculaire. Elle correspond alors à une onde transverse. Cela donne naissance à des coordonnées normales supplémentaires, qui comme l'expression du Hamiltonien l'indique, correspondent à des espèces indépendantes de phonons.

Comportement et propriétés des phonons[modifier | modifier le code]

Courbe de dispersion[modifier | modifier le code]

Courbe de dispersion

Dans la discussion des phonons dans un modèle unidimensionnel, nous avons obtenus une équation liant la pulsation d'un phonon ωk à son nombre d'onde k :

 \omega_k = \sqrt{2 \omega^2 (1 - \cos(ka))}

Cette équation est connue sous le nom de relation de dispersion. La courbe ci-contre décrit son comportement.

La vitesse de propagation d'un phonon dans le réseau, qui correspond notamment à la vitesse de propagation du son dans un solide, est donnée par la pente de la relation de dispersion : ∂ωk/∂k. Avec de faibles valeurs de k (c’est-à-dire aux grandes longueurs d'onde), la relation de dispersion est presque linéaire, et la vitesse du son est proche de ωa, indépendamment de la fréquence du phonon. En conséquence, un paquet de phonons de longueurs d'onde différentes (mais grandes) peut se propager sur de longues distances dans un réseau sans que les phonons se séparent. C'est la raison pour laquelle le son se propage dans les solides sans distorsion significative (en quelque sorte, les ondes de grande longueur d'onde ne sont pas influencées par la structure microscopique du matériau). Ce comportement n'est plus vrai pour de grandes valeurs de k (c’est-à-dire des longueurs d'onde courtes), pour lesquelles la vitesse de propagation dépend de manière significative de la longueur d'onde.

La physique du son dans les solides est très différente de la physique du son dans l'air, bien qu'il s'agisse dans les deux cas d'ondes de vibration. Ceci est dû au fait que dans l'air, le son se propage dans un gaz formé de molécules animées de mouvement aléatoires, et non pas dans un réseau organisé.

Phonons acoustiques et phonons optiques[modifier | modifier le code]

Dans un solide réel, il y a deux types de phonons : des phonons "acoustiques" et "optiques". Les phonons acoustiques, qui sont ceux que nous avons décrits dans les parties précédentes, correspondent typiquement aux ondes sonores dans le réseau. Les phonons acoustiques de type longitudinaux et transverses sont souvent écrits de manières abrégée LA et TA respectivement.

Les phonons optiques sont présents dans les solides qui comportent plusieurs atomes par maille. Ils sont appelés "optiques" parce que dans les cristaux ioniques (comme par exemple le chlorure de sodium) ils sont très facilement excités par des ondes lumineuses (dans le domaine de l'infrarouge). Ceci est dû au fait qu'ils correspondent à des modes de vibration pour lesquels les ions positifs et négatifs situés sur des sites adjacents du réseau se rapprochent et s'éloignent les uns des autres en créant un moment dipolaire électrique oscillant avec le temps. Les phonons optiques qui interagissent de cette manière avec la lumière sont dits actifs dans l'infrarouge. Les phonons optiques qui sont actifs en spectrométrie Raman peuvent aussi interagir avec la lumière au travers de la diffusion Raman. Les phonons optiques de type longitudinaux et transverses sont souvent écrits de manières abrégée LO et TO respectivement.

Il est possible de trouver plus de renseignements sur les modes de vibration dans des articles traitant de la théorie de groupes.

Pseudo-impulsion[modifier | modifier le code]

Il est tentant de considérer un phonon de vecteur d'onde  \vec k comme s'il possédait une quantité de mouvement (ou impulsion)  \hbar\vec k , par analogie avec les photons, ou toutes les ondes correspondant à un corpuscule (dualité onde-corpuscule). Ce n'est pas tout à fait correct, car  \hbar\vec k n'est pas réellement une impulsion physique. Il est nommé pseudo-impulsion ou impulsion de vibration. Ceci est dû au fait que  \vec k n'est déterminé qu'à un multiple de vecteur constant près, vecteur du réseau réciproque. Par exemple, dans un modèle unidimensionnel, les coordonnées normales Q et Π sont définies de telle manière que :


\mathrm{Q}_k \equiv \mathrm{Q}_{k + \mathrm{K}} \quad;\quad \Pi_k \equiv \Pi_{k + \mathrm{K}} \quad
\mbox{avec}\; \mathrm{K} = 2n\pi/a

quel que soit le nombre entier n. Un phonon de nombre d'onde k est donc équivalent à un nombre infini d'autres phonons de la même famille de nombres d'onde k ± 2π/a, k ± 4π/a (etc). Les électrons de Bloch obéissent au même type de restrictions.

Généralement, on ne considère que les phonons de vecteurs d'onde  \vec k de chaque famille possédant le plus « petit » vecteur  \vec k . L'ensemble de ces vecteurs définit la première zone de Brillouin. D'autres zones de Brillouin peuvent être définies comme des copies de la première zone, décalées d'un multiple de vecteurs du réseau réciproque.

Article détaillé : Umklapp.

Propriétés thermodynamiques[modifier | modifier le code]

Un réseau cristallin au zéro absolu est dans son état de base, et aucun mode de phonon n'est excité. D'après les lois de la thermodynamique, lorsqu'un réseau cristallin est à une température supérieure au zéro absolu, son énergie n'est pas constante mais elle fluctue de manière aléatoire autour d'une valeur moyenne. Ces fluctuations d'énergie sont dues à des vibrations aléatoire du réseau, qui peuvent être vues comme un gaz de phonons (le mouvement aléatoire des atomes du réseau correspond à la chaleur). Comme ces phonons sont liés à la température du réseau, ils sont parfois nommés « phonons thermiques ».

Contrairement aux molécules qui forment un gaz ordinaire, les phonons thermiques peuvent être créés ou annihilés par des fluctuations d'énergies aléatoires. Leur comportement est similaire au gaz de photons produit par une cavité électromagnétique, pour laquelle les photons peuvent être absorbés ou émis par les parois de la cavité. Cette similitude n'est pas une coïncidence : le champ électromagnétique se comporte en effet comme un groupe d'oscillateurs harmoniques (voir rayonnement du corps noir). Les deux gaz obéissent à la statistique de Bose-Einstein, c’est-à-dire qu'à l'équilibre thermique, le nombre moyen de phonons ou de photons dans un état donné est :


\langle n_{k,s} \rangle = \frac{1}{\exp(\hbar\omega_{k,s}/k_BT) - 1}
  • ωk,s est la pulsation du phonon ou du photon dans l'état
  • kB est la constante de Boltzmann
  • T est la température absolue (en kelvins)

On peut remarquer que le potentiel chimique d'un gaz de photons ou de phonons est nul.

Ce type de considérations a mené au modèle de Debye décrivant le comportement de la capacité thermique des solides cristallins grâce aux phonons qu'ils contiennent. Ce modèle présente un meilleur accord avec les résultats expérimentaux que les précédents modèles : la loi de Dulong et Petit et le modèle d'Einstein.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Articles connexes[modifier | modifier le code]