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Il n'existe pas d'expression algébrique des lignes trigonométriques à l'aide de radicaux réels pour l'angle de 1° ni, ce qui est équivalent — par différence (voir infra) avec celles pour 39° ci-dessus — pour l'angle de 40°, mais il en existe une formulée à l'aide de racines cubiques de nombres complexes :
..
Applications
Ces constantes peuvent être utilisées pour exprimer le volume du dodécaèdre régulier en fonction de son arête a :
.
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On peut restituer une partie de la table en considérant la suite (√n/2), pour n allant de 0 à 4 :
Angle
sinus
rad
rad
rad
rad
rad
La table des cosinus est obtenue en inversant celle des sinus.
Triangles fondamentaux
La dérivation des valeurs particulières de sinus, cosinus et tangente est basée sur la constructibilité de certains polygones réguliers. Un N-gone régulier se décompose en 2Ntriangles rectangles dont les trois sommets sont le centre du polygone, l'un de ses sommets, et le milieu d'une arête adjacente à ce sommet. Les angles d'un tel triangle sont π/N, π/2 – π/N et π/2.
Les constantes fondamentales sont associées aux polygones réguliers dont le nombre de côtés est un nombre premier de Fermat. Les seuls nombres premiers de Fermat connus sont 3, 5, 17, 257 et 216 + 1 = 65 537.
Addition et différence d'angles
Grâce à l'identité de Bézout et aux formules d'addition et de différence, on peut déduire de ces constantes fondamentales celles des angles au centre de polygones réguliers dont le nombre de côtés est un produit de nombres premiers de Fermat distincts, ainsi que des multiples entiers de tels angles. Par exemple,
Division d'un angle en deux
Les formules d'angle moitié permettent d'en déduire une infinité de constantes supplémentaires. Par exemple, à partir de cos(π/2) = 0, on trouve :