Pentagone régulier convexe

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Pentagone régulier convexe
Pentagone régulier convexe (en noir), son cercle circonscrit et les segments reliant son centre à ses sommets (en gris) et ses angles remarquables (angle interne en noir, angle externe en gris).
Pentagone régulier convexe (en noir), son cercle circonscrit et les segments reliant son centre à ses sommets (en gris) et ses angles remarquables (angle interne en noir, angle externe en gris).

Type Polygone régulier convexe

Symbole de Schläfli {5}
Diagramme de Coxeter-Dynkin CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.png
Groupe de symétrie Diédral (D10)
Angle interne 108°
Propriétés Constructible

En géométrie, un pentagone régulier convexe (ou plus simplement pentagone régulier, voire pentagone) est un pentagone convexe dont les cinq côtés ont même longueur et dont les cinq angles internes ont même mesure. Il est constructible à la règle et au compas.

Généralités[modifier | modifier le code]

Propriétés[modifier | modifier le code]

Le pentagone régulier convexe est un polygone régulier, c'est-à-dire équilatéral et équiangle. Par conséquent :

Il est convexe, ce qui le distingue du seul autre pentagone régulier, le pentagramme, qui est étoilé.

Mesures[modifier | modifier le code]

Quelques caractéristiques[1] du pentagone régulier convexe de côté a :

  • Angle au centre : 360°/5 = 72°
  • Angle interne : 540°/5 = 108° (car la somme des angles internes de tout pentagone simple est égale à 540°)
  • Diagonale et largeur : φa (où φ désigne le nombre d'or : φ = (1 + 5)/2 ≈ 1,618)
  • Périmètre : P = 5 a
  • Aire :
    (cot étant la fonction cotangente)
  • Apothème :
  • Cercle circonscrit :
    • Rayon :
    • Inversement, le côté du pentagone :
  • Hauteur :

Usages[modifier | modifier le code]

Pavages[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Pavage pentagonal.

Il n'est pas possible de paver le plan euclidien par des pentagones réguliers convexes : la mesure de son angle interne, 108°, n'est pas un diviseur de 360°, la mesure d'un tour complet, ce qui empêche le pentagone de servir de tuile dans un pavage régulier. Il n'est pas possible non plus paver le plan avec des combinaisons de pentagones et d'autres polygones réguliers et d'obtenir un pavage archimédien, uniforme ou semi-régulier.

En géométrie hyperbolique, il est possible de paver le plan uniformément par des pentagones réguliers, en faisant se rencontrer au moins 4 pentagones autour de chaque sommet.

Polyèdres[modifier | modifier le code]

Parmi les polyèdres comportant des pentagones réguliers convexes, et de façon non-exhaustive :

Référence[modifier | modifier le code]

  1. (en) Eric W. Weisstein, « Pentagon », MathWorld.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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