Pentagone régulier convexe

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Pentagone régulier convexe
Pentagone régulier convexe (en noir), son cercle circonscrit (en gris), les segments reliant son centre à ses sommets (en gris), et ses angles remarquables : angle interne (en noir), angle externe (en gris).
Pentagone régulier convexe (en noir), son cercle circonscrit (en gris), les segments reliant son centre à ses sommets (en gris), et ses angles remarquables : angle interne (en noir), angle externe (en gris).

Type Polygone régulier convexe

Symbole de Schläfli {5}
Diagramme de Coxeter-Dynkin CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.png
Groupe de symétrie Diédral (D10)
Angle interne 108°
Propriétés Constructible

En géométrie, un pentagone régulier convexe (ou plus simplement pentagone régulier, voire pentagone) est un pentagone convexe dont les cinq côtés ont la même longueur et dont les cinq angles internes ont la même mesure. Il est constructible à la règle et au compas.

Généralités[modifier | modifier le code]

Propriétés[modifier | modifier le code]

Le pentagone régulier convexe est un polygone régulier, c'est-à-dire équilatéral et équiangle. Par conséquent :

Il est convexe, ce qui le distingue du seul autre pentagone régulier, le pentagramme, qui est étoilé.

Mesures[modifier | modifier le code]

La lettre grecque φ ("phi") désigne le nombre d'or :

Quelques caractéristiques [1] du pentagone régulier convexe de côté a :

  • Angle au centre = angle externe : 360/5 = 72°
  • Angle interne : 180×(5-2)/5 = 540/5 = 108°, car :
  • somme des angles internes de tout pentagone simple : 180×(5-2) = 540°
  • Périmètre :
  • Aire :
    (cot étant la fonction cotangente)
  • apothème = rayon du cercle inscrit :
  • Rayon du cercle circonscrit :

Inversement :

  • côté :
  • Diagonale=largeur :
  • Hauteur :
  • Distance entre un côté et la diagonale=largeur parallèle à ce côté :
  • Distance entre une diagonale=largeur et le sommet "opposé" à cette diagonale=largeur (proche) :

Usages[modifier | modifier le code]

Pavages[modifier | modifier le code]

Il n'est pas possible de paver le plan euclidien par des pentagones réguliers convexes : la mesure de son angle interne, 108°, n'est pas un diviseur de 360°, la mesure d'un tour complet, ce qui empêche le pentagone de servir de tuile dans un pavage régulier. Il n'est pas possible non plus de paver le plan avec des combinaisons de pentagones et d'autres polygones réguliers et d'obtenir un pavage archimédien, uniforme ou semi-régulier.

En géométrie hyperbolique, il est possible de paver le plan uniformément par des pentagones réguliers, en faisant se rencontrer au moins 4 pentagones autour de chaque sommet.

Polyèdres[modifier | modifier le code]

Parmi les polyèdres comportant des pentagones réguliers convexes, et de façon non exhaustive :

Unicode[modifier | modifier le code]

Caractères Unicode hexagonaux
Code Caractère Nom Bloc
U+2B1F Pentagone noir Symboles et flèches divers
U+2B20 Pentagone blanc Symboles et flèches divers
U+2B53 Pentagone noir pointant vers la droite Symboles et flèches divers
U+2B54 Pentagone blanc pointant vers la droite Symboles et flèches divers
U+2BC2 Pentagone noir culbuté Symboles et flèches divers

Référence[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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