Nombre hexagonal

Représentation des quatre premiers nombres hexagonaux : celle d'indice n s'obtient en entourant la précédente d'un hexagone comportant 4n – 3 nouveaux points.

Les quatre premiers nombres hexagonaux sont1, 1 + 5 = 6, 6 + 9 = 15 et 15 + 13 = 28.

Un nombre hexagonal est un nombre polygonal qui peut être représenté par un hexagone. Pour tout entier n ≥ 1, le n-ième nombre hexagonal est donc

$P_{6,n}=n(2n-1)=P_{3,2n-1}.$

Ainsi, les nombres hexagonaux sont simplement les nombres triangulaires d'indices impairs.

Les vingt-deux premiers sont 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861 et 946 (suite A000384 de l'OEIS).

Réduite modulo 9, cette suite suit périodiquement le motif de neuf valeurs 1, 6, 6, 1, 0, 3, 1, 3, 0.

Tout entier n > 130 peut être exprimé comme une somme d'au plus quatre nombres hexagonaux ; Adrien-Marie Legendre l'avait démontré en 1830 pour n > 1791 (voir la suite A007527 de l'OEIS).

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hexagonal number » (voir la liste des auteurs).