Valeur d'adhérence

En topologie, si (u_n)_n∈ℕ est une suite à valeurs dans un ensemble E, une valeur d'adhérence de la suite (u_n) est un point de E près duquel s'accumulent une infinité de termes de la suite. Pour donner un sens mathématique à cela, il faut pouvoir mesurer la proximité, ce qui nécessite de munir E d'une topologie. La notion de valeur d'adhérence dépend alors de la topologie choisie. Dans un espace où tout point admet une base dénombrable de voisinages (c'est le cas notamment dans un espace métrique, comme ℝ ou ℂ) les valeurs d'adhérence d'une suite sont les limites de ses suites extraites. Cette dernière propriété est souvent prise comme définition d'une valeur d'adhérence, mais n'est cependant pas équivalente à la définition la plus générale.

Cas des suites réelles

Le fait que ℝ soit un espace métrique permet de donner plusieurs caractérisations équivalentes de l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite réelle.

Définition et caractérisation

Soient $(u n)$ _n∈ℕ une suite réelle et $y$ un nombre réel, on dit que $y$ est une valeur d'adhérence de $(u n)$ s'il existe une sous-suite de $(u n)$ qui converge vers $y$ .

Ceci est équivalent aux deux propriétés suivantes :

$(\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+}^{*})(\forall N\in \mathbb {N} )(\exists n\geq N,\;|u_{n}-y|<\varepsilon )$
$(\forall \varepsilon \in \mathbb {R} _{+}^{*})$ l'ensemble $\left\{n\in \mathbb {N} ,\;|u_{n}-y|<\varepsilon \right\}$ est infini.

La deuxième propriété n'est qu'une reformulation ensembliste de la première. Pour montrer l'équivalence de la première propriété avec la définition, il suffit de remarquer que le ε peut être aussi petit que l'on veut, ce qui permet de trouver une sous-suite qui converge vers y. Plus précisément, on a la démonstration suivante :

Démonstration

On suppose qu'il existe une sous-suite $(u_{\varphi (n)})$ qui converge vers $y$ , et l'on veut en déduire la propriété 1. Soient ε > 0 et $N\in \mathbb {N}$ . La définition de la convergence nous fournit un entier $N_{0}$ tel que : $(\forall n\geq N_{0})(|u_{\varphi (n)}-y|<\varepsilon )$ On choisit alors un entier $n_{0}$ plus grand que $N_{0}$ et $N$ et l'on pose $n_{1}=\varphi (n_{0})$ . On a ainsi d'une part $|u_{n_{1}}-y|<\varepsilon$ (puisque $n_{1}=\varphi (n_{0})$ et $n_{0}\geq N_{0}$ ) et d'autre part $n_{1}\geq N$ (puisque $n_{1}=\varphi (n_{0})\geq n_{0}\geq N$ ).
Réciproquement, considérons une suite vérifiant la propriété 1, et construisons par récurrence une extraction $\varphi$ (c'est-à-dire une application strictement croissante $\varphi :\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ ) telle que la sous-suite $(u_{\varphi (n)})$ vérifie la propriété suivante : $(\forall n\in \mathbb {N} )\left(|u_{\varphi (n)}-y|<{\frac {1}{n+1}}\right).$ Pour $n=0$ , il existe $n_{0}$ tel que $|u_{n_{0}}-y|<1$ . On note $\varphi (0)$ un tel entier.
Supposons $\varphi$ définie jusqu'au rang $n$ , la propriété 1 appliquée à $\varepsilon ={\frac {1}{n+1}}$ , nous fournit au moins un entier $k>\varphi (n)$ tel que $|u_{k}-y|<{\frac {1}{n+1}}$ . On peut alors noter $\varphi (n+1)$ un tel entier.
Il est maintenant clair que la sous-suite ainsi construite converge vers $y$ , ce qui achève la démonstration.

Exemples

La suite ((–1)ⁿ) admet 1 et –1 comme valeurs d'adhérence. En effet, les termes pairs sont constants à 1 et les termes impairs constants à –1.
La suite (sin(n)) admet l'intervalle [–1, 1] comme ensemble de valeurs d'adhérence. Ceci résulte du fait que ℤ + 2 $π$ ℤ est dense dans ℝ.
La suite ((–1)ⁿn) n'admet pas de valeur d'adhérence dans ℝ. Mais dans la droite réelle achevée, la même suite admet $+\infty$ et $-\infty$ comme valeurs d'adhérence.
La suite ((–1)ⁿn + n) admet 0 comme unique valeur d'adhérence mais ne converge pas. Dans la droite réelle achevée, la même suite admet $+\infty$ et 0 comme valeurs d'adhérence.

Cas général

La notion de valeur d'adhérence d'une suite dans un espace topologique généralise celle de valeur d'adhérence d'une suite réelle sous sa formulation propriété 2, laquelle signifiait, dit informellement, que chaque intervalle ]y – ε, y + ε[ contient « une infinité de termes » de la suite.

Définitions

Soient E un espace topologique, (u_n)_n∈ℕ une suite d'éléments de E et y un élément de E. On dit que y est une valeur d'adhérence de la suite (u_n) si, pour tout voisinage V de y, il existe une infinité d'indices n tels que u_n appartienne à V. Ceci équivaut à dire que y est dans l'adhérence de chacun des ensembles {u_n, n ≥ N}. Intuitivement, la suite repasse aussi près que l'on veut de la valeur d'adhérence pour des indices arbitrairement grands. (C'est une condition plus forte que de demander que y soit adhérent à l'image de la suite, i.e. à {u_n, n ≥ 0}.)

Une condition évidemment suffisante mais non nécessaire est que tout voisinage de y contienne une infinité^[1] de valeurs de la suite, c'est-à-dire que y soit un point d'accumulation de l'image.

Une autre condition suffisante est l'existence d'une sous-suite de (u_n) qui converge vers y. Cette dernière condition est également nécessaire si l'espace E est métrisable ou plus généralement à bases dénombrables de voisinages^[2] : la démonstration est calquée sur celle du cas réel.

Plus généralement^[3], si f est une application d'un ensemble A dans un espace topologique E et si ℱ est un filtre sur A, on dit qu'un élément y de E est une valeur d'adhérence de f suivant ℱ s'il est adhérent au filtre image, c'est-à-dire si y est adhérent aux images par f de tous les éléments de ℱ. Le cas des suites correspond au filtre de Fréchet sur ℕ. Un autre cas important^[4] est celui du filtre des voisinages d'un point a de A, si A est muni d'une topologie : on dit alors que y est une valeur d'adhérence de f au point a (si a est seulement un point adhérent à A dans un espace topologique ambiant, on remplace les voisinages de a par leur trace sur A^[5]).

Exemples

Les valeurs d'adhérence au point 0 de la fonction numérique x ↦ sin(1/x) sont tous les réels compris entre –1 et 1 (voir Courbe sinus du topologue).
Dans l'espace d'Arens-Fort — qui est l'ensemble ℕ² muni d'une topologie particulière — le point (0, 0) est valeur d'adhérence de toute suite exhaustive d'éléments de ℕ²\{(0, 0)} mais n'est limite d'aucune sous-suite.

Ensemble des valeurs d'adhérence

Les exemples montrent que l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite peut être vide ou avoir un ou plusieurs éléments, voire une infinité.

Cet ensemble F est toujours fermé. En effet, la formulation ensembliste de la définition est

F=\bigcap _{N\in \mathbb {N} }{\overline {\left\{u_{n}\mid n\geq N\right\}}}

(où A désigne l'adhérence de A), ce qui montre que F est fermé, comme intersection de fermés.

Dans un espace dénombrablement compact, cet ensemble est toujours non vide et s'il est réduit à un élément y alors la suite converge vers y. Dans un espace quasi-compact, cette non-vacuité et cette condition suffisante de convergence s'étendent à un filtre quelconque.

Dans le cas d'une suite à valeurs dans ℝ, le plus petit et le plus grand élément de ce fermé sont respectivement les limites inférieure et supérieure de la suite.

Notes et références

↑ Lorsque E est un espace T₁, en particulier lorsque c'est un espace séparé (comme la plupart des espaces topologiques usuels), il suffit pour cela que tout voisinage de y contienne au moins un u_n distinct de y. La définition peut donc, dans un tel espace, se reformuler en : les valeurs d'adhérence d'une suite sont les points limites de son image, ainsi que les valeurs qu'elle prend une infinité de fois.
↑ Cette condition est aussi nécessaire dans un espace T₁ de Fréchet-Urysohn. Elle de l'est pas dans l'espace d'Arens, qui est normal mais seulement séquentiel.
↑ N. Bourbaki, Éléments de mathématique, livre III : Topologie générale [détail des éditions], p. TG I.48.
↑ Bourbaki, p. TG I.49.
↑ Bourbaki, p. TG I.50.

Articles connexes

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[1] Lorsque E est un espace T₁, en particulier lorsque c'est un espace séparé (comme la plupart des espaces topologiques usuels), il suffit pour cela que tout voisinage de y contienne au moins un u_n distinct de y. La définition peut donc, dans un tel espace, se reformuler en : les valeurs d'adhérence d'une suite sont les points limites de son image, ainsi que les valeurs qu'elle prend une infinité de fois.

[2] Cette condition est aussi nécessaire dans un espace T₁ de Fréchet-Urysohn. Elle de l'est pas dans l'espace d'Arens, qui est normal mais seulement séquentiel.

[3] N. Bourbaki, Éléments de mathématique, livre III : Topologie générale [détail des éditions], p. TG I.48.

[4] Bourbaki, p. TG I.49.

[5] Bourbaki, p. TG I.50.

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