Utilisateur:SARIAN Armen/Intégrales elliptiques

Les transformations de Landen transforment une intégrale elliptique (ou une fonction elliptique jacobienne) en une autre intégrale elliptique (ou une autre fonction elliptique jacobienne) de même forme, mais avec des variables différentes. Les transformations croissantes augmentent le module des fonctions elliptiques tandis que les transformations décroissantes le diminuent. Elles permettent d'effectuer plus rapidement les calculs numériques des fonctions elliptiques.

Historique

Cette transformation est l'œuvre initiale du mathématicien anglais John Landen (1719-1790) qui proposa en 1775 un changement de variable très réussi pour les intégrales et fonctions elliptiques.

Il a pu montrer que la longueur d'un arc d'hyperbole pouvait être exprimée par les longueurs des arcs de deux ellipses différentes. Chacune d’elles présente une excentricité qui peut être identifiée au module elliptique. La relation particulière entre les excentricités des deux ellipses que Landen découvrit plus tard porte son nom.

Cette transformation a été redécouverte indépendamment par Carl Friedrich Gauss. La forme actuelle de la transformation de Landen a été développée par Joseph-Louis Lagrange, Adrien-Marie Legendre et Gauss. En utilisant la transformation de Landen, Gauss a calculé la longueur de la lemniscate. En particulier, les travaux de Legendre ont joué un rôle majeur pour Niels Henrik Abel et Charles Gustave Jacob Jacobi dans leur développement des fonctions elliptiques.

Landen a découvert une nouvelle façon de calculer, et pas seulement les fonctions elliptiques. Son idée principale, selon laquelle la fonction calculée peut être représentée par une fonction de la même forme mais avec d'autres paramètres qui tendent vers certaines limites lors de la récursion, a ensuite été largement utilisée en mathématiques computationnelles. Cette transformation modulaire joue un rôle important dans les mathématiques modernes.

Définitions

Intégrales elliptiques

Les intégrales elliptiques de première, deuxième et troisième espèce s'écrivent respectivement souvent ainsi :

$F\left(\varphi ,k\right)=F\left(\sin \varphi ;k\right)=F\left(\varphi |k^{2}\right)=F\left(\varphi \setminus \arcsin k\right)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\int _{t=\sin \theta =0}^{\sin \varphi }{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}}$

$E(\varphi ,k)=E(\sin \varphi ;k)=E(\varphi |k^{2})=E(\varphi \setminus \arcsin k)=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta =\int _{t=\sin \theta =0}^{\sin \varphi }{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t$

$\Pi (n;\varphi ,k)=\Pi (n;\sin \varphi ;k)=\Pi (n;\varphi |k^{2})=\Pi (n;\varphi \setminus \arcsin k)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {1}{1-n\sin ^{2}\theta }}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\int _{t=\sin \theta =0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{1-nt^{2}}}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}}$

La forme de la première intégrale est appelée la forme trigonométrique ou la forme canonique de Legendre ; la forme de la deuxième intégrale est appelée la forme jacobienne. On appelle $k\in [0;1]$ le module, $m=k^{2}$ le paramètre, $k'={\sqrt {1-k^{2}}}$ le comodule, $\arcsin k$ l'angle modulaire, $\varphi$ l'amplitude et $n$ la caractéristique. Si $\varphi$ est quelconque, l'intégrale est dite incomplète, si $\varphi =\pi /2$, l'intégrale est dite complète.

Les intégrales elliptiques complètes de première et deuxième espèce sont respectivement :

$K\left(k\right)=F\left({\frac {\pi }{2}},k\right)$

$E\left(k\right)=E\left({\frac {\pi }{2}},k\right)$

On définit aussi $K'\left(k\right)=K\left(k'\right)$ et $E'\left(k\right)=E\left(k'\right)$.

Fonctions elliptiques jacobiennes

On appelle fonction amplitude de Jacobi la fonction réciproque de $F$, notée ${\rm {am}}$ :

$u=F\left(\varphi ,k\right)\Leftrightarrow \varphi ={\rm {am}}(u,k)$

Les trois fonctions jacobiennes de base (1827) sont :

• la fonction sinus de Jacobi : ${\rm {sn}}(u,k)=\sin({\rm {am}}(u,k))$
• la fonction cosinus de Jacobi : ${\rm {cn}}(u,k)=\cos({\rm {am}}(u,k))$
• la fonction delta de Jacobi : ${\rm {dn}}(u,k)=\Delta {\sqrt {1-k^{2}{\rm {sn}}(u,k)^{2}}}$

Gudermann (1838), puis Glaisher (1882) introduiront les neuf autres fonctions jacobiennes :

${\begin{aligned}{\rm {ns}}(u,k)&={\frac {1}{{\rm {sn}}(u,k)}},\quad {\rm {nc}}(u,k)={\frac {1}{{\rm {cn}}(u,k)}},\quad {\rm {nd}}(u,k)={\frac {1}{{\rm {dn}}(u,k)}},\\{\rm {sc}}(u,k)&={\frac {{\rm {sn}}(u,k)}{{\rm {cn}}(u,k)}},\quad {\rm {cs}}(u,k)={\frac {{\rm {cn}}(u,k)}{{\rm {sn}}(u,k)}},\\{\rm {sd}}(u,k)&={\frac {{\rm {sn}}(u,k)}{{\rm {dn}}(u,k)}},\quad {\rm {ds}}(u,k)={\frac {{\rm {dn}}(u,k)}{{\rm {sn}}(u,k)}},\\{\rm {cd}}(u,k)&={\frac {{\rm {cn}}(u,k)}{{\rm {dn}}(u,k)}},\quad {\rm {dc}}(u,k)={\frac {{\rm {dn}}(u,k)}{{\rm {cn}}(u,k)}}.\end{aligned}}$

Jacobi a aussi introduit :

• la coamplitude : ${\rm {coam}}(u,k)={\rm {am}}(K-u)(u,k)=\pi /2-{\rm {am}}(u,k)$
• la fonction epsilon de Jacobi : ${\mathcal {E}}(u,k)=\int _{0}^{u}\operatorname {dn} ^{2}(t,k)\,\mathrm {d} t$
• la fonction zn de Jacobi : $\operatorname {zn} (u,k)=\int _{0}^{u}\left[\operatorname {dn} (t,k)^{2}-{\frac {E(k)}{K(k)}}\right]\,\mathrm {d} t$
• la fonction zeta de Jacobi : $Z(\varphi ,k)=\operatorname {zn} (F(\varphi ,k),k)$

On a aussi :

• le gudermannian : ${\rm {gd}}(u)={\rm {am}}(u,1)=2\arctan \mathrm {e} ^{u}-\pi /2$
• la fonction correspondant à ${\rm {sn}}$ : ${\rm {sg}}(u)=\sin({\rm {gd}}(u))$
• la fonction correspondant à ${\rm {cn}}$ : ${\rm {cg}}(u)=\cos({\rm {gd}}(u))$.

Transformations de Landen des intégrales elliptiques de première espèce

Au sens large, la transformation de Landen désigne une transformation reposant sur le principe selon lequel la fonction calculée peut être représentée par une fonction de la même forme mais avec d'autres paramètres qui tendent vers certaines limites lors de la récursion ; tandis que la transformation de Landen à proprement parlé désigne la transformation qui utilise le changement de variable que Landen a proposé.

Les transformations changent le module $k=k_{0}$ en un autre module $k_{1}$ ou $k_{-1}$ en changeant la variable d'intégration $\theta =\theta _{0}$ en une nouvelle variable $\theta _{1}$ ou $\theta _{-1}$ définie ainsi :

• pour la transformation de Landen :

$\sin \left(2\theta _{n+1}-\theta _{n}\right)=k_{n}\sin \theta _{n}\quad \Leftrightarrow \quad \sin \theta _{n}={\frac {{\frac {2}{1+k_{n}}}\sin \theta _{n+1}\cos \theta _{n+1}}{\sqrt {1-\left({\frac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta _{n+1}}}}$

• pour la transformation gaussienne :

$\sin \theta _{n+1}={\frac {\left(1+k_{n}\right)\sin \theta _{n}}{1+k_{n}\sin ^{2}\theta _{n}}}\quad \Leftrightarrow \quad \sin \theta _{n}={\frac {{\frac {2}{1+k_{n}}}\sin \theta _{n+1}}{1+{\sqrt {1-\left({\frac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta _{n+1}}}}}$

Ainsi, pour la transformation de Landen comme pour la transformation gaussienne, on a les relations suivantes (on pose : $k'_{0}=k'$) :

${\begin{cases}&k_{n+1}&={\frac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}&={\frac {2{\sqrt[{4}]{1-k_{n}'^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}'^{2}}}}},&k_{n+1}'&={\frac {1-k_{n}}{1+k_{n}}}&={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n}'^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}'^{2}}}}}\\\Leftrightarrow &k_{n-1}&={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}&={\frac {1-k_{n}'}{1+k_{n}'}},&k_{n-1}'&={\frac {2{\sqrt[{4}]{1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}&={\frac {2{\sqrt {k_{n}'}}}{1+k_{n}'}}\end{cases}}$

Une transformation qui change $k_{n}$ en $k_{n+1}$ est une transformation croissante et une transformation qui change $k_{n}$ en $k_{n-1}$ est une transformation décroissante parce que :

${\begin{cases}k_{n}\leqslant 1\Rightarrow k_{n+1}\geqslant {\sqrt {k_{n}}}&\Rightarrow k_{n+1}\geqslant k_{n}\\k_{n-1}={\frac {k_{n}^{2}}{\left(1+k_{n}'\right)^{2}}}&\Rightarrow k_{n-1}\leqslant k_{n}\end{cases}}$

Transformation de Landen

Démonstration

Commençons par vérifier la réciprocité de :

$\sin \left(2\theta _{n+1}-\theta _{n}\right)=k_{n}\sin \theta _{n}\quad \Leftrightarrow \quad \sin \theta _{n}={\frac {{\frac {2}{1+k_{n}}}\sin \theta _{n+1}\cos \theta _{n+1}}{\sqrt {1-\left({\frac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta _{n+1}}}}$

On a :

$\sin \theta _{n}={\frac {\sin \left(2\theta _{n+1}\right)}{\sqrt {1+k_{n}^{2}+2k_{n}\cos \left(2\theta _{n+1}\right)}}}$

$\cos \theta _{n}={\frac {k_{n}+\cos \left(2\theta _{n+1}\right)}{\sqrt {1+k_{n}^{2}+2k_{n}\cos \left(2\theta _{n+1}\right)}}}$

$\tan \theta _{n}={\frac {\sin \left(2\theta _{n+1}\right)}{k_{n}+\cos \left(2\theta _{n+1}\right)}}$

En multipliant cette dernière égalité par $\cos \theta _{n}\left[k_{n}+\cos \left(2\theta _{n+1}\right)\right]$, on a bien : $\sin \left(2\theta _{n+1}-\theta _{n}\right)=k_{n}\sin \theta _{n}$. Ce changement de variable permet que l'angle transformé devienne plus petit que l'angle d'origine : $k_{n}\leqslant 1\Rightarrow 2\theta _{n+1}-\theta _{n}\leqslant \theta _{n}\Rightarrow \theta _{n+1}\leqslant \theta _{n}$.

Les grandeurs apparaissant dans l'intégrale elliptique de première espèce sont :

${\sqrt {1-k_{n}^{2}\sin ^{2}\theta _{n}}}={\sqrt {1-\sin ^{2}(2\theta _{n+1}-\theta _{n})}}=\cos \left(2\theta _{n+1}-\theta _{n}\right)={\frac {1+k_{n}\cos \left(2\theta _{n+1}\right)}{\sqrt {1+k_{n}^{2}+2k_{n}\cos \left(2\theta _{n+1}\right)}}}$

$\mathrm {d} \theta _{n}=\cos ^{2}\theta _{n}\,\mathrm {d} \tan \theta _{n}={\frac {2\left[1+k_{n}\cos \left(2\theta _{n+1}\right)\right]}{1+k_{n}^{2}+2k_{n}\cos \left(2\theta _{n+1}\right)}}\mathrm {d} \theta _{n+1}$

Ainsi :

${\mathrm {d} \theta _{n} \over {\sqrt {1-k_{n}^{2}\sin ^{2}\theta _{n}}}}={\frac {2}{1+k_{n}}}{\frac {\mathrm {d} \theta _{n+1}}{\sqrt {1-k_{n+1}^{2}\sin ^{2}\theta _{n+1}}}}$

Amplitude

Calculons l'amplitude $\varphi _{n+1}^{L}$ (on pose : $\varphi _{0}^{L}=\varphi$) :

$\sin ^{2}\varphi _{n}^{L}={\frac {1-\cos ^{2}(2\varphi _{n+1}^{L})}{1+k_{n}^{2}+2k_{n}\cos(2\varphi _{n+1}^{L})}}$

$\Rightarrow \cos ^{2}(2\varphi _{n+1}^{L})+2k_{n}\sin ^{2}\varphi _{n}^{L}\cos(2\varphi _{n+1}^{L})+k_{n}^{2}\sin ^{2}\varphi _{n}^{L}-1+\sin ^{2}\varphi _{n}^{L}=0$

$\Rightarrow \cos(2\varphi _{n+1}^{L})=-k_{n}\sin ^{2}\varphi _{n}^{L}\pm {\sqrt {k_{n}^{2}\sin ^{4}\varphi _{n}^{L}-k_{n}^{2}\sin ^{2}\varphi _{n}^{L}+1-\sin ^{2}\varphi _{n}^{L}}}\in \left[-1;+1\right]$

$\Rightarrow \cos(2\varphi _{n+1}^{L})=-k_{n}\sin ^{2}\varphi _{n}^{L}+\cos \varphi _{n}^{L}{\sqrt {1-k_{n}^{2}\sin ^{2}\varphi _{n}^{L}}}$

$\Rightarrow \varphi _{n+1}^{L}=\arcsin {\sqrt {\frac {1+k_{n}\sin ^{2}\varphi _{n}^{L}-\cos \varphi _{n}^{L}{\sqrt {1-k_{n}^{2}\sin ^{2}\varphi _{n}^{L}}}}{2}}}$

Calculons l'amplitude $\varphi _{n}^{L}$. Puisque $\varphi _{n+1}^{L}\in \left[{\frac {\varphi _{n}^{L}}{2}};\varphi _{n}^{L}\right]\Leftrightarrow \varphi _{n}^{L}\in \left[\varphi _{n+1}^{L};2\varphi _{n+1}^{L}\right]$, on a :

${\begin{cases}\varphi _{n+1}^{L}\in \left[0;{\frac {\pi }{2}}-{\frac {\arccos k_{n}}{2}}\right]&\Leftrightarrow \varphi _{n}^{L}\in \left[0;{\frac {\pi }{2}}\right]\\\varphi _{n+1}^{L}\in \left[{\frac {\pi }{2}}-{\frac {\arccos k_{n}}{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]&\Leftrightarrow \varphi _{n}^{L}\in \left[{\frac {\pi }{2}};\pi \right]\end{cases}}$

$\varphi _{n}^{L}=\arccos {\frac {k_{n}+\cos \left(2\varphi _{n+1}^{L}\right)}{\sqrt {1+k_{n}^{2}+2k_{n}\cos \left(2\varphi _{n+1}^{L}\right)}}}=\arccos {\frac {1-\left(1+k'_{n+1}\right)\sin ^{2}\varphi _{n+1}^{L}}{\sqrt {1-k_{n+1}^{2}\sin ^{2}\varphi _{n+1}^{L}}}}$

Si on utilise la notation de l'intégrale elliptique avec un point-virgule, on est obligé de décomposer l'intégrale en tronçons ne dépassant pas $\pi /2$ puisque cette notation ne permet que d'exprimer des intégrales elliptiques dont l'amplitude ne dépasse pas $\pi /2$ : si $\varphi _{n}^{L}\in \left]\pi /2;\pi \right]$, $F\left(\varphi _{n}^{L},k_{n}\right)=2K\left(k_{n}\right)-F\left(\pi -\varphi _{n}^{L},k_{n}\right)=2K\left(k_{n}\right)-F\left(\sin \varphi _{n}^{L};k_{n}\right)$.

Autre formulation

Si $k_{n}$, $k_{n+1}'$, $\varphi _{n}^{L}$ et $\varphi _{n+1}^{L}$ sont tels que $\left(1+k_{n}\right)\left(1+k_{n+1}'\right)=2$ et $\tan \left(\varphi _{n}^{L}-\varphi _{n+1}^{L}\right)=k_{n+1}'\tan \varphi _{n+1}^{L}$, alors la transformation de Landen stipule que :

$F\left(\varphi _{n}^{L},k_{n}\right)={\frac {2}{1+k_{n}}}F\left(\varphi _{n+1}^{L},k_{n+1}\right)=(1+k_{n+1}')F\left(\varphi _{n+1}^{L},k_{n+1}\right)$

La transformation de Landen peut donc être exprimée soit en fonction de son module elliptique $k$, soit en fonction de son comodule $k'$.

En effet :

• En réécrivant $\sin \left(2\varphi _{n+1}^{L}-\varphi _{n}^{L}\right)=k_{n}\sin \varphi _{n}^{L}$ :

$\sin \varphi _{n+1}^{L}\cos \left(\varphi _{n+1}^{L}-\varphi _{n}^{L}\right)+\cos \varphi _{n+1}^{L}\sin \left(\varphi _{n+1}^{L}-\varphi _{n}^{L}\right)=k_{n}\sin \left(\varphi _{n}^{L}-\varphi _{n+1}^{L}\right)\cos \varphi _{n+1}^{L}+k_{n}\cos \left(\varphi _{n}^{L}-\varphi _{n+1}^{L}\right)\sin \varphi _{n+1}^{L}$

et en divisant par $\cos \varphi _{n+1}^{L}\cos \left(\varphi _{n+1}^{L}-\varphi _{n}^{L}\right)$, on a :

$\tan \varphi _{n+1}^{L}-\tan \left(\varphi _{n}^{L}-\varphi _{n+1}^{L}\right)=k_{n}\tan \left(\varphi _{n}^{L}-\varphi _{n+1}^{L}\right)+k_{n}\tan \varphi _{n+1}^{L}$

ce qui donne :

$\tan \left(\varphi _{n}^{L}-\varphi _{n+1}^{L}\right)=k_{n+1}'\tan \varphi _{n+1}^{L}\Rightarrow {\frac {\tan \varphi _{n}^{L}-\tan \varphi _{n+1}^{L}}{1+\tan \varphi _{n}^{L}\tan \varphi _{n+1}^{L}}}=k_{n+1}'\tan \varphi _{n+1}^{L}\Rightarrow \tan \varphi _{n}^{L}={\frac {\left(1+k_{n+1}'\right)\tan \varphi _{n+1}^{L}}{1-k_{n+1}'\tan ^{2}\varphi _{n+1}^{L}}}$

• De plus, on a :

$\left(1+k_{n}\right)\left(1+k_{n+1}'\right)=2$

Transformation gaussienne

Démonstration

Commençons par vérifier la réciprocité de :

$\sin \theta _{n+1}={\frac {\left(1+k_{n}\right)\sin \theta _{n}}{1+k_{n}\sin ^{2}\theta _{n}}}\quad \Leftrightarrow \quad \sin \theta _{n}={\frac {{\frac {2}{1+k_{n}}}\sin \theta _{n+1}}{1+{\sqrt {1-\left({\frac {2{\sqrt {k}}_{n}}{1+k_{n}}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta _{n+1}}}}}$

On a bien :

$\sin \theta _{n}={\frac {\frac {2\sin \theta _{n}}{1+k_{n}\sin ^{2}\theta _{n}}}{1+{\sqrt {1-\left({\frac {2{\sqrt {k}}_{n}}{1+k_{n}}}\right)^{2}{\frac {\left(1+k_{n}\right)^{2}\sin ^{2}\theta _{n}}{\left(1+k_{n}\sin ^{2}\theta _{n}\right)^{2}}}}}}}={\frac {\frac {2\sin \theta _{n}}{1+k_{n}\sin ^{2}\theta _{n}}}{1+{\frac {1-k_{n}\sin ^{2}\theta _{n}}{1+k_{n}\sin ^{2}\theta _{n}}}}}=\sin \theta _{n}$

Les grandeurs apparaissant dans l'intégrale elliptique de première espèce sont :

${\sqrt {1-k_{n}^{2}\sin ^{2}\theta _{n}}}={\frac {\sqrt {\left(1+k_{n}-k_{n}\cos ^{2}\theta _{n}\right)^{2}-\left(1+k_{n}\right)^{2}+\left(1+k_{n}\right)^{2}\cos ^{2}\theta _{n}}}{\cos \theta _{n}}}={\frac {\sqrt {\left(1+k_{n}\sin ^{2}\theta _{n}\right)^{2}-\left(1+k_{n}\right)^{2}\sin ^{2}\theta _{n}}}{\cos \theta _{n}}}$

$\mathrm {d} \theta _{n+1}={\frac {\mathrm {d} \sin \theta _{n+1}}{\cos \theta _{n+1}}}={\frac {\left(1+k_{n}\sin ^{2}\theta _{n}\right)\left({1+k_{n}}\right)\cos \theta _{n}-2k_{n}\left({1+k_{n}}\right)\sin ^{2}\theta _{n}\cos \theta _{n}}{\cos \theta _{n+1}\left(1+k_{n}\sin ^{2}\theta _{n}\right)^{2}}}\mathrm {d} \theta _{n}={\frac {\left(1-k_{n}\sin ^{2}\theta _{n}\right)\left({1+k_{n}}\right)\cos \theta _{n}}{\left(1+k_{n}\sin ^{2}\theta _{n}\right){\sqrt {\left(1+k_{n}\sin ^{2}\theta _{n}\right)^{2}-\left(1+k_{n}\right)^{2}\sin ^{2}\theta _{n}}}}}\mathrm {d} \theta _{n}$

On a alors :

${\frac {\mathrm {d} \theta _{n}}{\sqrt {1-k_{n}^{2}\sin ^{2}\theta _{n}}}}={\frac {\left(1+k_{n}\sin ^{2}\theta _{n}\right)\mathrm {d} \theta _{n+1}}{\left(1-k_{n}\sin ^{2}\theta _{n}\right)\left(1+k_{n}\right)}}={\frac {\mathrm {d} \theta _{n+1}}{\left(1+k_{n}\right){\sqrt {1-{\frac {4k_{n}\sin ^{2}\theta _{n}}{\left(1+k_{n}\sin ^{2}\theta _{n}\right)^{2}}}}}}}={\frac {\mathrm {d} \theta _{n+1}}{\left(1+k_{n}\right){\sqrt {1-\left({\frac {2{\sqrt {k}}_{n}}{1+k_{n}}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta _{n+1}}}}}$

Amplitude

Calculons l'amplitude $\varphi _{n+1}$ (on pose : $\varphi _{0}^{G}=\varphi$) :

$\varphi _{n+1}^{G}=\arcsin {\frac {\left(1+k_{n}\right)\sin \varphi _{n}^{G}}{1+k_{n}\sin ^{2}\varphi _{n}^{G}}}$

Calculons l'amplitude $\varphi _{n}^{G}$ :

$\varphi _{n}^{G}=\arcsin {\frac {2\sin \varphi _{n+1}^{G}}{1+k_{n}+{\sqrt {1+k_{n}^{2}+2k_{n}\cos \left(2\varphi _{n+1}^{G}\right)}}}}=\arcsin {\frac {\left(1+k'_{n+1}\right)\sin \varphi _{n+1}^{G}}{1+{\sqrt {1-k_{n+1}^{2}\sin ^{2}\varphi _{n+1}^{G}}}}}$

Itération

Transformation de Landen

${\begin{array}{ccc}[0;\pi ]&\to &[0;\pi /2]\\\varphi _{n}^{L}&\mapsto &\varphi _{n+1}^{L}\end{array}}$
Cliquer pour voir et modifier le graphique.

Transformation de Gauss

${\begin{array}{ccc}[0;\pi /2]&\to &[0;\pi /2]\\\varphi _{n}^{G}&\mapsto &\varphi _{n+1}^{G}\end{array}}$
Cliquer pour voir et modifier le graphique.

$\varphi _{n+1}^{L}\left(\varphi _{n}^{L}\right)$ et $\varphi _{n+1}^{G}\left(\varphi _{n}^{G}\right)$ pour $k_{n}\in [0;1]$ par pas de $0{,}05$. La courbe rouge correspond au cas $k_{n}=0{,}8$.

En répétant plusieurs fois de suite la transformation de Landen ou gaussienne, on aura $k_{\infty }\rightarrow 1$ si on utilise la transformation croissante, et $k_{-\infty }\rightarrow 0$ si on utilise la transformation décroissante. $\varphi$ évolue ainsi : $k_{n}\nearrow \,\Rightarrow \varphi _{n}^{L/G}\searrow$ et $k_{-n}\searrow \,\Rightarrow \varphi _{-n}^{L/G}\nearrow$. Lorsque le module est égal à 0 ou 1, l'intégrale elliptique peut être calculée analytiquement :

$F\left(\varphi ,0\right)=\varphi$

$F\left(\varphi ,1\right)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}=\operatorname {artanh} \sin \varphi ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+\sin \varphi }{1-\sin \varphi }}=\ln {\frac {1+\sin \varphi }{\cos \varphi }}=\ln {\frac {\cos {\frac {\varphi }{2}}+\sin {\frac {\varphi }{2}}}{\cos {\frac {\varphi }{2}}-\sin {\frac {\varphi }{2}}}}=\ln {\frac {1+\tan {\frac {\varphi }{2}}}{1-\tan {\frac {\varphi }{2}}}}=\ln \tan \left({\frac {\varphi }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)$

Si l'on part d'un module $k$ et d'une amplitude $\varphi$ arbitraires, une intégrale elliptique générale de première espèce peut être calculée numériquement ainsi :

• Pour la transformation de Landen :

${\begin{aligned}F\left(\varphi ,k\right)&={2 \over 1+k}F\left(\varphi _{1}^{L},k_{1}\right)&=&{2 \over 1+k}{2 \over 1+k_{1}}F\left(\varphi _{2}^{L},k_{2}\right)&=&{2 \over 1+k_{0}}\cdots {2 \over 1+k_{n-1}}F\left(\varphi _{n}^{L},k_{n}\right)\\&={\frac {k_{1}}{\sqrt {k}}}F\left(\varphi _{1}^{L},k_{1}\right)&=&{\frac {k_{1}}{\sqrt {k}}}{\frac {k_{2}}{\sqrt {k_{1}}}}F\left(\varphi _{2}^{L},k_{2}\right)&=&{\frac {k_{n}{\sqrt {k_{0}\cdots k_{n-1}}}}{k}}F\left(\varphi _{n}^{L},k_{n}\right)\\&={1+k_{-1} \over 2}F\left(\varphi _{-1}^{L},k_{-1}\right)&=&{1+k_{-1} \over 2}{1+k_{-2} \over 2}F\left(\varphi _{-2}^{L},k_{-2}\right)&=&{1+k_{-1} \over 2}\cdots {1+k_{-n} \over 2}F\left(\varphi _{-n}^{L},k_{-n}\right)\\&={\frac {\sqrt {k_{-1}}}{k}}F\left(\varphi _{-1}^{L},k_{-1}\right)&=&{\frac {\sqrt {k_{-1}}}{k}}{\frac {\sqrt {k_{-2}}}{k_{-1}}}F\left(\varphi _{-2}^{L},k_{-2}\right)&=&{\frac {k_{-n}}{k{\sqrt {k_{-1}\cdots k_{-n}}}}}F\left(\varphi _{-n}^{L},k_{-n}\right)\end{aligned}}$

$F\left(\varphi ,k\right)=\ln \tan \left({\frac {\varphi _{\infty }^{L}}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{1+k_{n}}}=\ln \tan \left({\frac {\varphi _{\infty }^{L}}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right){\frac {\sqrt {\prod _{n=0}^{\infty }k_{n}}}{k}}=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }\varphi _{-n}^{L}\prod _{i=1}^{n}{\frac {1+k_{-i}}{2}}=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }\varphi _{-n}^{L}{\frac {k_{-n}}{k{\sqrt {\prod _{i=1}^{n}k_{-i}}}}}$

• Pour la transformation gaussienne :

${\begin{aligned}F\left(\varphi ,k\right)&={1 \over 1+k}F\left(\varphi _{1}^{G},k_{1}\right)&=&{1 \over 1+k}{1 \over 1+k_{1}}F\left(\varphi _{2}^{G},k_{2}\right)&=&{1 \over 1+k_{0}}\cdots {1 \over 1+k_{n-1}}F\left(\varphi _{n}^{G},k_{n}\right)\\&={\frac {k_{1}}{2{\sqrt {k}}}}F\left(\varphi _{1}^{G},k_{1}\right)&=&{\frac {k_{1}}{2{\sqrt {k}}}}{\frac {k_{2}}{2{\sqrt {k}}_{1}}}F\left(\varphi _{2}^{G},k_{2}\right)&=&{\frac {k_{n}{\sqrt {k_{0}\cdots k_{n-1}}}}{2^{n}k}}F\left(\varphi _{n}^{G},k_{n}\right)\\&=\left(1+k_{-1}\right)F\left(\varphi _{-1}^{G},k_{-1}\right)&=&\left(1+k_{-1}\right)\left(1+k_{-2}\right)F\left(\varphi _{-2}^{G},k_{-2}\right)&=&\left(1+k_{-1}\right)\cdots \left(1+k_{-n}\right)F\left(\varphi _{-n}^{G},k_{-n}\right)\\&={\frac {2{\sqrt {k_{-1}}}}{k}}F\left(\varphi _{-1}^{G},k_{-1}\right)&=&{\frac {2{\sqrt {k_{-1}}}}{k}}{\frac {2{\sqrt {k_{-2}}}}{k_{-1}}}F\left(\varphi _{-2}^{G},k_{-2}\right)&=&{\frac {2^{n}k_{-n}}{k{\sqrt {k_{-1}\cdots k_{-n}}}}}F\left(\varphi _{-n}^{G},k_{-n}\right)\end{aligned}}$

$F\left(\varphi ,k\right)=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }\ln \tan \left({\frac {\varphi _{n}^{G}}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\prod _{i=0}^{n}{\frac {1}{1+k_{i}}}=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }\ln \tan \left({\frac {\varphi _{n}^{G}}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right){\frac {\sqrt {\prod _{i=0}^{n}k_{n}}}{2^{n}k}}=\varphi _{-\infty }^{G}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+k_{-n}\right)=\varphi _{-\infty }^{G}\lim \limits _{n\rightarrow \infty }{\frac {2^{n}k_{-n}}{k{\sqrt {\prod _{i=1}^{n}k_{-i}}}}}$

où $\varphi _{\infty }^{L}$, $\varphi _{-\infty }^{L}$, $\varphi _{\infty }^{G}$ et $\varphi _{-\infty }^{G}$ sont les valeurs asymptotiques de l'amplitude transformée. On remarquera que $\varphi _{-n}^{L}$ double à chaque itération lorsque $n\to \infty$.

Les convergences de $k_{n}$ et $k_{-n}$ sont quadratiques : $-\lg \left({1-k_{n}}\right)$ et $-\lg k_{-n}$ doublent à peu près à chaque itération, ce qui signifie que peu d'itérations suffisent : $k=0{,}1\Rightarrow 1-k_{5}<10^{-14}$, $k=10^{-100}\Rightarrow 1-k_{11}<10^{-14}$, $k=0{,}9\Rightarrow k_{-5}<10^{-14}$ et $k=1-10^{-14}\Rightarrow k_{-8}<10^{-14}$.

L'intégrale elliptique complète de première espèce est :

$K(k)=F\left({\frac {\pi }{2}},k\right)={\frac {1+k_{-1}}{2}}F\left(\pi ,k_{-1}\right)=\left(1+k_{-1}\right)K\left(k_{-1}\right)=(1+k_{-1})(1+k_{-2})K\left(k_{-2}\right)={\frac {\pi }{2}}\prod _{n=1}^{\infty }(1+k_{-n})$

On a :

$K\left(k_{n+1}\right)=\left(1+k_{n}\right)K\left(k_{n}\right)\Rightarrow K\left({\frac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}\right)=\left(1+k_{n}\right)K\left(k_{n}\right)\Rightarrow K\left({\frac {2{\sqrt {k_{n}'}}}{1+k_{n}'}}\right)=\left(1+k_{n}'\right)K\left(k_{n}'\right)\Rightarrow K\left(k_{n-1}'\right)=\left(1+k_{n}'\right)K\left(k_{n}'\right)\Rightarrow$

$K\left(k_{n}'\right)=\left(1+k_{n+1}'\right)K\left(k_{n+1}'\right)$

$\Rightarrow 2{\frac {K\left(k_{n}'\right)}{K\left(k_{n}\right)}}={\frac {K\left(k'_{n-1}\right)}{K\left(k_{n-1}\right)}}$

Transformations de Landen des intégrales elliptiques de deuxième espèce

Démonstration

On pose (avec $a>b$) :

${\begin{cases}F\left(a,b,\varphi \right)=\int \limits _{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta }}}\\E\left(a,b,\varphi \right)=\int \limits _{0}^{\varphi }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta \end{cases}}$ et ${\begin{cases}a_{n-1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\\b_{n-1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}}\\c_{n-1}={\frac {a_{n}-b_{n}}{2}}\end{cases}}$

Le module devient $k_{n}={\sqrt {1-\left({\frac {b_{n}}{a_{n}}}\right)^{2}}}={\frac {c_{n}}{a_{n}}}$, si bien que $k_{n-1}={\frac {a_{n}-b_{n}}{a_{n}+b_{n}}}$. On a $a_{n}^{2}=b_{n}^{2}+c_{n}^{2}$. $a_{-1}$ et $b_{-1}$ sont respectivement la moyenne arithmétique et géométrique de $a$ et $b$. Si la transformation est itérée plusieurs fois, alors les paramètres $a_{-i}$ et $b_{-i}$ convergent très rapidement vers une valeur commune, même s’ils sont initialement d’ordres de grandeur différents. La valeur limite est appelée moyenne arithmético-géométrique de $a$ et $b$ et notée $\operatorname {AGM} (a,b)$ ou $M(a,b)$. On a alors $a_{-\infty }=b_{-\infty }=\operatorname {AGM} \left(a,b\right)$. On a :

${\frac {2}{1+k_{n-1}}}{\frac {\mathrm {d} \theta _{n}}{\sqrt {1-k_{n}^{2}\sin ^{2}\theta _{n}}}}={\mathrm {d} \theta _{n-1} \over {\sqrt {1-k_{n-1}^{2}\sin ^{2}\theta _{n-1}}}}\Rightarrow {\frac {2\mathrm {d} \theta _{n}}{\sqrt {a_{n}^{2}\cos ^{2}\theta _{n}+b_{n}^{2}\sin ^{2}\theta _{n}}}}={\frac {\mathrm {d} \theta _{n-1}}{\sqrt {a_{n-1}^{2}\cos ^{2}\theta _{n-1}+b_{n-1}^{2}\sin ^{2}\theta _{n-1}}}}$

et :

$\cos(2\theta _{n}^{L})=-k_{n-1}\sin ^{2}\theta _{n-1}^{L}+\cos \theta _{n-1}^{L}{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}\sin ^{2}\theta _{n-1}^{L}}}$

$\Rightarrow {\begin{cases}2\cos ^{2}\theta _{n}^{L}=1-k_{n-1}\sin ^{2}\theta _{n-1}^{L}+\cos \theta _{n-1}^{L}{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}\sin ^{2}\theta _{n-1}^{L}}}\\2\sin ^{2}\theta _{n}^{L}=1+k_{n-1}\sin ^{2}\theta _{n-1}^{L}-\cos \theta _{n-1}^{L}{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}\sin ^{2}\theta _{n-1}^{L}}}\end{cases}}$

${\begin{aligned}\Rightarrow 2a_{n}^{2}\cos ^{2}\theta _{n}^{L}+2b_{n}^{2}\sin ^{2}\theta _{n}^{L}&=\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right)\left(\cos ^{2}\theta _{n-1}^{L}+\sin ^{2}\theta _{n-1}^{L}\right)-\left(a_{n}^{2}-b_{n}^{2}\right)k_{n-1}\sin ^{2}\theta _{n-1}^{L}+\left(a_{n}^{2}-b_{n}^{2}\right)\cos \theta _{n-1}^{L}{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}\sin ^{2}\theta _{n-1}^{L}}}\\&=4\left(a_{n-1}^{2}\cos ^{2}\theta _{n-1}^{L}+b_{n-1}^{2}\sin ^{2}\theta _{n-1}^{L}\right)-2b_{n-1}^{2}+4c_{n-1}\cos ^{2}\theta _{n-1}^{L}{\sqrt {a_{n-1}^{2}\cos ^{2}\theta _{n-1}^{L}+b_{n-1}^{2}\sin ^{2}\theta _{n-1}^{L}}}\end{aligned}}$

En intégrant, on obtient :

$F\left(a_{n},b_{n},\varphi _{n}^{L}\right)={\frac {1}{2}}F\left(a_{n-1},b_{n-1},\varphi _{n-1}^{L}\right)={\frac {1}{2^{m}}}F\left(a_{n-m},b_{n-m},\varphi _{n-m}^{L}\right)$

$E\left(a_{n},b_{n},\varphi _{n}^{L}\right)=E\left(a_{n-1},b_{n-1},\varphi _{n-1}^{L}\right)-{\frac {b_{n-1}^{2}}{2}}E\left(a_{n-1},b_{n-1},\varphi _{n-1}^{L}\right)+c_{n-1}\sin \varphi _{n-1}^{L}$

$\Rightarrow E\left(\varphi _{n}^{L},k_{n}\right)={\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}E\left(\varphi _{n-1}^{L},k_{n-1}\right)-{\frac {b_{n-1}^{2}}{2a_{n}a_{n-1}}}E\left(\varphi _{n-1}^{L},k_{n-1}\right)+{\frac {c_{n-1}}{a_{n}}}\sin \varphi _{n-1}^{L}$

$\Rightarrow E\left(\varphi _{n}^{L},k_{n}\right)={\frac {1+k_{n}'}{2}}E\left(\varphi _{n-1}^{L},k_{n-1}\right)-{\frac {k_{n}'}{1+k_{n}'}}E\left(\varphi _{n-1}^{L},k_{n-1}\right)+{\frac {1-k_{n}'}{2}}\sin \varphi _{n-1}^{L}$

$\Rightarrow E\left(\varphi _{n}^{L},k_{n}\right)={\frac {1}{1+k_{n-1}}}E\left(\varphi _{n-1}^{L},k_{n-1}\right)-{\frac {1-k_{n-1}}{2}}F\left(\varphi _{n-1}^{L},k_{n-1}\right)+{\frac {k_{n-1}\sin \varphi _{n-1}^{L}}{1+k_{n-1}}}$

On fera attention comme précédemment si on utilise les notations avec un point-virgule.

Itération

${\begin{aligned}E\left(a,b,\varphi \right)-a^{2}F\left(a,b,\varphi \right)&=E\left(a_{-1},b_{-1},\varphi _{-1}^{L}\right)-a_{-1}^{2}F\left(a_{-1},b_{-1},\varphi _{-1}^{L}\right)+\left(a_{-1}^{2}-{\frac {a^{2}}{2}}-{\frac {b_{-1}^{2}}{2}}\right)F\left(a_{-1},b_{-1},\varphi _{-1}^{L}\right)+c_{-1}\sin \varphi _{-1}^{L}\\&=E\left(a_{-1},b_{-1},\varphi _{-1}^{L}\right)-a_{-1}^{2}F\left(a_{-1},b_{-1},\varphi _{-1}^{L}\right)-a_{-1}c_{-1}F\left(a_{-1},b_{-1},\varphi _{-1}^{L}\right)+c_{-1}\sin \varphi _{-1}^{L}\\&=E\left(a_{-1},b_{-1},\varphi _{-1}^{L}\right)-a_{-1}^{2}F\left(a_{-1},b_{-1},\varphi _{-1}^{L}\right)-2a_{-1}c_{-1}F\left(a,b,\varphi \right)+c_{-1}\sin \varphi _{-1}^{L}\\&=E\left(a_{-2},b_{-2},\varphi _{-2}^{L}\right)-a_{-2}^{2}F\left(a_{-2},b_{-2},\varphi _{-2}^{L}\right)-2a_{-1}c_{-1}F\left(a,b,\varphi \right)-4a_{-2}c_{-2}F\left(a,b,\varphi \right)+c_{-1}\sin \varphi _{-1}^{L}+c_{-2}\sin \varphi _{-2}^{L}\\&=\operatorname {AGM} \left(a,b\right)\varphi _{-\infty }^{L}-\operatorname {AGM} \left(a,b\right)\varphi _{-\infty }^{L}-\sum \limits _{n=1}^{\infty }2^{n}a_{-n}c_{-n}F\left(a,b,\varphi \right)+\sum \limits _{n=1}^{\infty }c_{-n}\sin \varphi _{-n}^{L}\\&=-\sum \limits _{n=1}^{\infty }2^{n}a_{-n}c_{-n}F\left(a,b,\varphi \right)+\sum \limits _{n=1}^{\infty }c_{-n}\sin \varphi _{-n}^{L}\end{aligned}}$

$E\left(a,b,\varphi \right)=\left[a^{2}-\sum \limits _{n=1}^{\infty }2^{n}a_{-n}c_{-n}\right]F\left(a,b,\varphi \right)+\sum \limits _{n=1}^{\infty }c_{-n}\sin \varphi _{-n}^{L}$

${\begin{aligned}E\left(\varphi ,k\right)&=\left[1-\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n}a_{-n}c_{-n}}{a^{2}}}\right]F\left(\varphi ,k\right)+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{-n}}{a}}\sin \varphi _{-n}^{L}\\&=\left[1-{\frac {2a_{-1}c_{-1}}{a^{2}}}-{\frac {2a_{-1}c_{-1}}{a^{2}}}{\frac {2a_{-2}c_{-2}}{a_{-1}c_{-1}}}-{\frac {2a_{-1}c_{-1}}{a^{2}}}{\frac {2a_{-2}c_{-2}}{a_{-1}c_{-1}}}{\frac {2a_{-3}c_{-3}}{a_{-2}c_{-2}}}-\cdots \right]F\left(\varphi ,k\right)+\scriptstyle {\frac {c_{-1}}{a}}\displaystyle \sin \varphi _{-1}^{L}+\scriptstyle {\frac {a_{-1}}{a}}{\frac {c_{-2}}{a_{-1}}}\displaystyle \sin \varphi _{-2}^{L}+\scriptstyle {\frac {a_{-1}}{a}}{\frac {a_{-2}}{a_{-1}}}{\frac {c_{-3}}{a_{-2}}}\displaystyle \sin \varphi _{-3}^{L}+\cdots \\&=\left[1-{\frac {k^{2}}{2}}\left(1+{\frac {k_{-1}}{2}}+{\frac {k_{-1}k_{-2}}{4}}+{\frac {k_{-1}k_{-2}k_{-3}}{8}}+\cdots \right)\right]F\left(\varphi ,k\right)+\scriptstyle {\frac {k_{-1}}{1+k_{-1}}}\displaystyle \sin \varphi _{-1}^{L}+\scriptstyle {\frac {1}{1+k_{-1}}}{\frac {k_{-2}}{1+k_{-2}}}\displaystyle \sin \varphi _{-2}^{L}+\scriptstyle {\frac {1}{1+k_{-1}}}{\frac {1}{1+k_{-2}}}{\frac {k_{-3}}{1+k_{-3}}}\displaystyle \sin \varphi _{-3}^{L}+\cdots \\&=\left[1-{\frac {k^{2}}{2}}\left(\sum \limits _{n=0}^{\infty }\prod \limits _{i=1}^{n}{\frac {k_{-i}}{2^{n}}}\right)\right]F\left(\varphi ,k\right)+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {k_{-n}}{\prod \limits _{i=1}^{n}\left(1+k_{-i}\right)}}\sin \varphi _{-n}^{L}\\&=\left[1-{\frac {k^{2}}{2}}\left(1+{\frac {k_{-1}}{2}}+{\frac {k_{-1}k_{-2}}{4}}+{\frac {k_{-1}k_{-2}k_{-3}}{8}}+\cdots \right)\right]F\left(\varphi ,k\right)+\scriptstyle k_{-1}{\frac {k}{2{\sqrt {k_{-1}}}}}\displaystyle \sin \varphi _{-1}^{L}+\scriptstyle k_{-2}{\frac {k}{2{\sqrt {k_{-1}}}}}{\frac {k_{-1}}{2{\sqrt {k_{-2}}}}}\displaystyle \sin \varphi _{-2}^{L}+\scriptstyle k_{-3}{\frac {k}{2{\sqrt {k_{-1}}}}}{\frac {k_{-1}}{2{\sqrt {k_{-2}}}}}{\frac {k_{-2}}{2{\sqrt {k_{-3}}}}}\displaystyle \sin \varphi _{-3}^{L}+\cdots \\&=\left[1-{\frac {k^{2}}{2}}\left(1+{\frac {k_{-1}}{2}}+{\frac {k_{-1}k_{-2}}{4}}+{\frac {k_{-1}k_{-2}k_{-3}}{8}}+\cdots \right)\right]F\left(\varphi ,k\right)+k\left[\scriptstyle {\frac {\sqrt {k_{-1}}}{2}}\displaystyle \sin \varphi _{-1}^{L}+\scriptstyle {\frac {\sqrt {k_{-1}k_{-2}}}{4}}\displaystyle \sin \varphi _{-2}^{L}+\scriptstyle {\frac {\sqrt {k_{-1}k_{-2}k_{-3}}}{8}}\displaystyle \sin \varphi _{-3}^{L}+\cdots \right]\\&=\left[1-{\frac {k^{2}}{2}}\left(\sum \limits _{n=0}^{\infty }\prod \limits _{i=1}^{n}{\frac {k_{-i}}{2^{n}}}\right)\right]F\left(\varphi ,k\right)+k\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\sqrt {\prod \limits _{i=1}^{n}k_{-i}}}{2^{n}}}\sin \varphi _{-n}^{L}\end{aligned}}$

L'intégrale elliptique complète de deuxième espèce est :

$E\left(k\right)=\left[1-{\frac {k^{2}}{2}}\left(\sum \limits _{n=0}^{\infty }\prod \limits _{i=1}^{n}{\frac {k_{-i}}{2^{n}}}\right)\right]K\left(k\right)$

Moyenne arithmético-géométrique

On remarque une formule de Gauss :

$F\left(a,b,\pi /2\right)={\frac {1}{2}}F\left(a_{-1},b_{-1},\pi \right)=F\left(a_{-1},b_{-1},\pi /2\right)=F\left({\frac {a+b}{2}},{\sqrt {ab}},\pi /2\right)$

Donc, on a :

$F\left(a,b,\pi /2\right)={\frac {\pi }{2\operatorname {AGM} (a,b)}}={\frac {1}{a}}K\left({\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}\right)={\frac {2}{a+b}}K\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)\Leftrightarrow \operatorname {AGM} (a,b)={\frac {\pi a}{2K\left({\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}\right)}}={\frac {\pi \left(a+b\right)}{4K\left({\frac {a-b}{a+b}}\right)}}$

En opérant $a\rightarrow 1$ et $b\rightarrow k$, on a :

$K(k)={\frac {\pi }{2\operatorname {AGM} (1,{\sqrt {1-k^{2}}})}}={\frac {\pi }{2\operatorname {AGM} (1+k,1-k)}}$

Transformations de Landen des intégrales elliptiques de troisième espèce

On a aussi une transformation de Landen des intégrales elliptiques de troisième espèce.

Transformation de Landen des fonctions elliptiques jacobiennes

Le module elliptique initial est $0<k<1$. La transformée de Landen croissante augmente le paramètre et la transformée de Landen décroissante diminue le paramètre. En répétant la transformation de Landen croissante, le paramètre converge vers 1 et la fonction elliptique se rapproche d'une fonction hyperbolique. En répétant la transformation de Landen décroissante, le paramètre converge vers 0 et la fonction elliptique se rapproche d'une fonction trigonométrique. Cette propriété rend la transformée de Landen utile pour les calculs numériques de fonctions elliptiques. On utilise ici la transformation de Landen pour la transformation croissante des fonctions elliptiques jacobiennes et la transformation de Gauss pour leur transformation décroissante.

Démonstration de la transformation croissante

$\operatorname {sn} \left(u_{n},k_{n}\right)={\frac {{\frac {2}{1+k_{n}}}\operatorname {sn} \left(u_{n+1},k_{n+1}\right)\operatorname {cn} \left(u_{n+1},k_{n+1}\right)}{\sqrt {1-\left({\frac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}\right)^{2}\operatorname {sn} ^{2}\left(u_{n+1},k_{n+1}\right)}}}={\frac {{\frac {2}{1+k_{n}}}\operatorname {sn} \left({\tfrac {1+k_{n}}{2}}u_{n},{\tfrac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}\right)\operatorname {cn} \left({\tfrac {1+k_{n}}{2}}u_{n},{\tfrac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}\right)}{\operatorname {dn} \left({\tfrac {1+k_{n}}{2}}u_{n},{\tfrac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}\right)}}$

$\operatorname {cn} \left(u_{n},k_{n}\right)={\sqrt {1-\operatorname {sn} ^{2}\left(u_{n},k_{n}\right)}}={\frac {1-{\tfrac {2}{1+k_{n}}}\operatorname {sn} ^{2}\left({\tfrac {1+k_{n}}{2}}u_{n},{\tfrac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}\right)}{\operatorname {dn} \left({\tfrac {1+k_{n}}{2}}u_{n},{\tfrac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}\right)}}={\frac {\operatorname {dn} ^{2}\left({\tfrac {1+k_{n}}{2}}u_{n},{\tfrac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}\right)-{\tfrac {1-k_{n}}{1+k_{n}}}}{{\tfrac {2k_{n}}{1+k_{n}}}\operatorname {dn} \left({\tfrac {1+k_{n}}{2}}u_{n},{\tfrac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}\right)}}$

$\operatorname {dn} \left(u_{n},k_{n}\right)={\sqrt {1-k_{n}^{2}\operatorname {sn} ^{2}\left(u_{n},k_{n}\right)}}={\frac {1-{\tfrac {2k_{n}}{1+k_{n}}}\operatorname {sn} ^{2}\left({\tfrac {1+k_{n}}{2}}u_{n},{\tfrac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}\right)}{\operatorname {dn} \left({\tfrac {1+k_{n}}{2}}u_{n},{\tfrac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}\right)}}={\frac {\operatorname {dn} ^{2}\left({\tfrac {1+k_{n}}{2}}u_{n},{\tfrac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}\right)+{\tfrac {1-k_{n}}{1+k_{n}}}}{{\tfrac {2}{1+k_{n}}}\operatorname {dn} \left({\tfrac {1+k_{n}}{2}}u_{n},{\tfrac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}\right)}}$

Démonstration de la transformation décroissante

En opérant les transformations $u_{n}\rightarrow {\frac {u_{n}}{1+k_{n}}}$ et $k_{n}\rightarrow {\tfrac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}$ au sein de $\operatorname {sn} \left((1+k_{n})u_{n},{\tfrac {2{\sqrt {k_{n}}}}{1+k_{n}}}\right)=\operatorname {sn} \left(u_{n+1},k_{n+1}\right)={\frac {\left(1+k_{n}\right)\operatorname {sn} \left(u_{n},k_{n}\right)}{1+k_{n}\operatorname {sn} ^{2}\left(u_{n},k_{n}\right)}}$, on a :

$\operatorname {sn} \left(u_{n},k_{n}\right)={\frac {{\tfrac {2}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}\operatorname {sn} \left({\tfrac {1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{2}}u_{n},{\tfrac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}\right)}{1+{\tfrac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}\operatorname {sn} ^{2}\left({\tfrac {1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{2}}u_{n},{\tfrac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}\right)}}$

$\operatorname {cn} \left(u_{n},k_{n}\right)={\sqrt {1-\operatorname {sn} ^{2}\left(u_{n},k_{n}\right)}}={\frac {\operatorname {cn} \left({\tfrac {1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{2}}u_{n},{\tfrac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}\right)\operatorname {dn} \left({\tfrac {1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{2}}u_{n},{\tfrac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}\right)}{1+{\tfrac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}\operatorname {sn} ^{2}\left({\tfrac {1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{2}}u_{n},{\tfrac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}\right)}}$

$\operatorname {dn} \left(u_{n},k_{n}\right)={\sqrt {1-k_{n}^{2}\operatorname {sn} ^{2}\left(u_{n},k_{n}\right)}}={\frac {1-{\tfrac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}\operatorname {sn} ^{2}\left({\tfrac {1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{2}}u_{n},{\tfrac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}\right)}{1+{\tfrac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}\operatorname {sn} ^{2}\left({\tfrac {1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{2}}u_{n},{\tfrac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}\right)}}={\frac {\operatorname {dn} ^{2}\left({\tfrac {1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{2}}u_{n},{\tfrac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}\right)-{\tfrac {2{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}}{{\tfrac {2}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}-\operatorname {dn} ^{2}\left({\tfrac {1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{2}}u_{n},{\tfrac {1-{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n}^{2}}}}}\right)}}$

Conversion de nombres imaginaires

La transformation de Landen croissante et la transformation de Landen décroissante sont alternées par la transformation imaginaire.

$\operatorname {sn} \left(iu,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)=i\operatorname {sc} \left(u,k\right)={\frac {i\operatorname {sn} \left(u,k\right)}{\operatorname {cn} \left(u,k\right)}}$

En utilisant la transformation de Landen croissante, on a :

${\frac {i\operatorname {sn} \left(u,k\right)}{\operatorname {cn} \left(u,k\right)}}={\frac {\frac {{\tfrac {2i}{1+k}}\operatorname {sn} \left({\tfrac {1+k}{2}}u,{\tfrac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)\operatorname {cn} \left({\tfrac {1+k}{2}}u,{\tfrac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)}{\operatorname {dn} \left({\tfrac {1+k}{2}}u,{\tfrac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)}}{\frac {\operatorname {dn} ^{2}\left({\tfrac {1+k}{2}}u,{\tfrac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)-{\tfrac {1-k}{1+k}}}{{\tfrac {2k}{1+k}}\operatorname {dn} \left({\tfrac {1+k}{2}}u,{\tfrac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)}}}={\frac {{\tfrac {4ki}{(1+k)^{2}}}\operatorname {sn} \left({\tfrac {1+k}{2}}u,{\tfrac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)\operatorname {cn} \left({\tfrac {1+k}{2}}u,{\tfrac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)}{\operatorname {dn} ^{2}\left({\tfrac {1+k}{2}}u,{\tfrac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)-{\tfrac {1-k}{1+k}}}}$

En utilisant la transformation imaginaire, on a :

$\operatorname {sn} \left(iu,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)={\frac {{\tfrac {4k}{(1+k)^{2}}}\operatorname {sc} \left({\tfrac {1+k}{2}}iu,{\tfrac {1-k}{1+k}}\right)\operatorname {nc} \left({\tfrac {1+k}{2}}iu,{\tfrac {1-k}{1+k}}\right)}{\operatorname {dc} ^{2}\left({\tfrac {1+k}{2}}iu,{\tfrac {1-k}{1+k}}\right)-{\tfrac {1-k}{1+k}}}}={\frac {{\tfrac {4k}{(1+k)^{2}}}\operatorname {sn} \left({\tfrac {1+k}{2}}iu,{\tfrac {1-k}{1+k}}\right)}{\operatorname {dn} ^{2}\left({\tfrac {1+k}{2}}iu,{\tfrac {1-k}{1+k}}\right)-{\tfrac {1-k}{1+k}}\operatorname {cn} ^{2}\left({\tfrac {1+k}{2}}iu,{\tfrac {1-k}{1+k}}\right)}}={\frac {{\tfrac {2}{1+k}}\operatorname {sn} \left({\tfrac {1+k}{2}}iu,{\tfrac {1-k}{1+k}}\right)}{1+{\tfrac {1-k}{1+k}}\operatorname {sn} ^{2}\left({\tfrac {1+k}{2}}iu,{\tfrac {1-k}{1+k}}\right)}}$

En opérant $\mathrm {i} u\rightarrow u$ et ${\sqrt {1-k^{2}}}\rightarrow k$, on a :

${\begin{aligned}\operatorname {sn} \left(u,k\right)&={\frac {{\tfrac {2}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\operatorname {sn} \left({\tfrac {1+{\sqrt {1-k^{2}}}}{2}}u,{\tfrac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)}{1+{\tfrac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\operatorname {sn} ^{2}\left({\tfrac {1+{\sqrt {1-k^{2}}}}{2}}u,{\tfrac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)}}\end{aligned}}$

Il s'agit d'une transformation de Landen décroissante.

Transformations de degré supérieur

Les transformations de modules suivantes peuvent être effectuées à l'aide des Amplitudinis Sine et des Amplitudinis Delta :

$K(k)\equiv {\frac {3\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K(k),k\right]}{2-\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K(k),k\right]}}K\left\{k^{3}\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K(k),k\right]^{4}\right\}$

$K(k)\equiv {\frac {5}{1+2\operatorname {dn} \left[{\tfrac {2}{5}}K(k),k\right]+2\operatorname {dn} \left[{\tfrac {4}{5}}K(k),k\right]}}K\left\{k^{5}\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{5}}K(k),k\right]^{4}\operatorname {sn} \left[{\tfrac {3}{5}}K(k),k\right]^{4}\right\}$

$K(k)\equiv {\frac {7}{1+2\operatorname {dn} \left[{\tfrac {2}{7}}K(k),k\right]+2\operatorname {dn} \left[{\tfrac {4}{7}}K(k),k\right]+2\operatorname {dn} \left[{\tfrac {6}{7}}K(k),k\right]}}K\left\{k^{7}\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{7}}K(k),k\right]^{4}\operatorname {sn} \left[{\tfrac {3}{7}}K(k),k\right]^{4}\operatorname {sn} \left[{\tfrac {5}{7}}K(k),k\right]^{4}\right\}$

Ici, la fonction sinus de Jacobi $\operatorname {sn} \left[{\tfrac {1}{3}}K(k),k\right]$ est solution de l'équation $k^{2}x^{4}-2k^{2}x^{3}+2x-1=0$.

Globalement, la formule suivante s'applique à toutes les valeurs $n\in \mathbb {N}$ et $0\leqslant k\leqslant 1$ :

$K(k)\equiv {\frac {n}{\sum \limits _{a=1}^{n}\operatorname {dn} \left[{\frac {2a}{n}}K(k),k\right]}}K\left\{k^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} \left[{\frac {2a-1}{n}}K(k),k\right]^{2}\right\}$

Récapitulatif

Intégrales elliptiques de première espèce

Transformations de Landen des intégrales elliptiques de première espèce

	Transformation croissante	Transformation décroissante
Landen	$\textstyle F\left(\varphi ,k\right)={\frac {2}{1+k}}F\left(\arcsin {\sqrt {\frac {1+k\sin ^{2}\varphi -\cos \varphi {\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}{2}}},{\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)$	$\textstyle F\left(\varphi ,k\right)={\frac {1}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}F\left(\arccos {\frac {1-\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)\sin ^{2}\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}},{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)$
Gauss	$\textstyle F\left(\varphi ,k\right)={\frac {1}{1+k}}F\left(\arcsin {\frac {(1+k)\sin \varphi }{1+k\sin ^{2}\varphi }},{\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)$	$\textstyle F\left(\varphi ,k\right)={\frac {2}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}F\left(\arcsin {\frac {\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)\sin \varphi }{1+{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}},{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)$

$F\left(\varphi ,k\right)=\ln \tan \left({\frac {\varphi _{\infty }^{L}}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{1+k_{n}}}=\ln \tan \left({\frac {\varphi _{\infty }^{L}}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right){\frac {\sqrt {\prod _{n=0}^{\infty }k_{n}}}{k}}=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }\varphi _{-n}^{L}\prod _{i=1}^{n}{\frac {1+k_{-i}}{2}}=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }\varphi _{-n}^{L}{\frac {k_{-n}}{k{\sqrt {\prod _{i=1}^{n}k_{-i}}}}}$

$F\left(\varphi ,k\right)=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }\ln \tan \left({\frac {\varphi _{n}^{G}}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\prod _{i=0}^{n}{\frac {1}{1+k_{i}}}=\lim \limits _{n\rightarrow \infty }\ln \tan \left({\frac {\varphi _{n}^{G}}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right){\frac {\sqrt {\prod _{i=0}^{n}k_{n}}}{2^{n}k}}=\varphi _{-\infty }^{G}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+k_{-n}\right)=\varphi _{-\infty }^{G}\lim \limits _{n\rightarrow \infty }{\frac {2^{n}k_{-n}}{k{\sqrt {\prod _{i=1}^{n}k_{-i}}}}}$

Intégrales elliptiques de deuxième espèce

Transformations de Landen des intégrales elliptiques de deuxième espèce

Transformation décroissante

Landen

$\textstyle E\left(\varphi ,k\right)={\frac {1+{\sqrt {1-k^{2}}}}{2}}E\left(\arccos {\frac {1-\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)\sin ^{2}\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}},{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)-{\frac {\sqrt {1-k^{2}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}F\left(\arccos {\frac {1-\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)\sin ^{2}\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}},{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)+{\frac {k^{2}\sin \left(2\varphi \right)}{4{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}$

$E\left(\varphi ,k\right)=\left[1-{\frac {k^{2}}{2}}\left(\sum \limits _{n=0}^{\infty }\prod \limits _{i=1}^{n}{\frac {k_{-i}}{2^{n}}}\right)\right]F\left(\varphi ,k\right)+k\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\sqrt {\prod \limits _{i=1}^{n}k_{-i}}}{2^{n}}}\sin \varphi _{-n}^{L}$

Fonctions elliptiques jacobiennes de base

Transformations de Landen d'une fonction elliptique

Transformation croissante (Landen)	Transformation décroissante (Gauss)
$\operatorname {sn} \left(u,k\right)={\frac {{\tfrac {2}{1+k}}\operatorname {sn} \left({\tfrac {1+k}{2}}u,{\tfrac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)\operatorname {cn} \left({\tfrac {1+k}{2}}u,{\tfrac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)}{\operatorname {dn} \left({\tfrac {1+k}{2}}u,{\tfrac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)}}$	$\operatorname {sn} \left(u,k\right)={\frac {{\tfrac {2}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\operatorname {sn} \left({\tfrac {1+{\sqrt {1-k^{2}}}}{2}}u,{\tfrac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)}{1+{\tfrac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\operatorname {sn} ^{2}\left({\tfrac {1+{\sqrt {1-k^{2}}}}{2}}u,{\tfrac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)}}$
$\operatorname {cn} \left(u,k\right)={\frac {\operatorname {dn} ^{2}\left({\tfrac {1+k}{2}}u,{\tfrac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)-{\tfrac {1-k}{1+k}}}{{\tfrac {2k}{1+k}}\operatorname {dn} \left({\tfrac {1+k}{2}}u,{\tfrac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)}}$	$\operatorname {cn} \left(u,k\right)={\frac {\operatorname {cn} \left({\tfrac {1+{\sqrt {1-k^{2}}}}{2}}u,{\tfrac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)\operatorname {dn} \left({\tfrac {1+{\sqrt {1-k^{2}}}}{2}}u,{\tfrac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)}{1+{\tfrac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\operatorname {sn} ^{2}\left({\tfrac {1+{\sqrt {1-k^{2}}}}{2}}u,{\tfrac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)}}$
$\operatorname {dn} \left(u,k\right)={\frac {\operatorname {dn} ^{2}\left({\tfrac {1+k}{2}}u,{\tfrac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)+{\tfrac {1-k}{1+k}}}{{\tfrac {2}{1+k}}\operatorname {dn} \left({\tfrac {1+k}{2}}u,{\tfrac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\right)}}$	$\operatorname {dn} \left(u,k\right)={\frac {{\tfrac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}-\left(1-\operatorname {dn} ^{2}\left({\tfrac {1+{\sqrt {1-k^{2}}}}{2}}u,{\tfrac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)\right)}{{\tfrac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}+\left(1-\operatorname {dn} ^{2}\left({\tfrac {1+{\sqrt {1-k^{2}}}}{2}}u,{\tfrac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)\right)}}$

Propriétés

Développement limité

Intégrale elliptique complète de première espèce

L’intégrale elliptique complète de première espèce, $\forall k^{2}\in ]-\infty ;1[$, est :

${\begin{aligned}K(k)&=\int \limits _{\theta =0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}\,\mathrm {d} \theta ={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[P_{2n}\left(0\right)\right]^{2}k^{2n}\\&={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {\operatorname {CBC} \left(n\right)}{2^{2n}}}\right]^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {C_{2n}^{n}}{2^{2n}}}\right]^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\frac {\left(2n\right)!}{2^{2n}n!^{2}}}\right]^{2}k^{2n}\end{aligned}}$

où :

• $P_{n}\left(x\right)$ sont les polynômes de Legendre ;
• $\operatorname {CBC} \left(n\right)$ sont les coefficients binomiaux centraux ;
• $C_{n}^{p}$ sont les coefficients binomiaux ;
• $n!!$ est la double factorielle ;
• $n!$ est la factorielle.

Démonstration

On démontre par récurrence que, pour $i\in \mathbb {N}$, on a :

$\partial _{k^{i}}^{i}{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {\sum \limits _{j=0}^{\lfloor {i/2}\rfloor }2^{j}j!\left[C_{\lfloor {i/2}\rfloor }^{j}\right]^{2}\left[\prod \limits _{m=1}^{\lfloor \left(i+1\right)/2\rfloor }(2m-1)^{1+\left[m>j+\left(i-2\lfloor {i/2}\rfloor \right)\right]}\right]k^{2j+\left(i-2\lfloor {i/2}\rfloor \right)}\sin ^{i+2j+\left(i-2\lfloor {i/2}\rfloor \right)}\theta }{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{\left(2i+1\right)/2}}}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases}i{\text{ pair }}&:\partial _{k^{i}}^{i}{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {\sum \limits _{j=0}^{i/2}2^{j}j!\left[C_{i/2}^{j}\right]^{2}\left[\prod \limits _{m=1}^{i/2}(2m-1)^{1+\left[m>j\right]}\right]k^{2j}\sin ^{i+2j}\theta }{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{\left(2i+1\right)/2}}}\\i{\text{ impair }}&:\partial _{k^{i}}^{i}{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {\sum \limits _{j=0}^{\left(i-1\right)/2}2^{j}j!\left[C_{\left(i-1\right)/2}^{j}\right]^{2}\left[\prod \limits _{m=1}^{\left(i+1\right)/2}(2m-1)^{1+\left[m>j+1\right]}\right]k^{2j+1}\sin ^{i+2j+1}\theta }{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{\left(2i+1\right)/2}}}\end{cases}}$

car pour $i=0$ et $i=1$, on a :

${\begin{cases}\partial _{k^{0}}^{0}{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}&={\frac {\sum \limits _{j=0}^{0}\left[\prod \limits _{m=1}^{0}(2m-1)^{1+\left[m>0\right]}\right]}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{1/2}}}\\\partial _{k^{1}}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}&={\frac {\sum \limits _{j=0}^{0}\left[\prod \limits _{m=1}^{1}(2m-1)^{1+\left[m>1\right]}\right]k\sin ^{2}\theta }{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{3/2}}}\end{cases}}$

et, pour $i=i+1$, si $i$ est pair, on a :

${\begin{aligned}\partial _{k^{i+1}}^{i+1}{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}&={\frac {\left[{\begin{matrix}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)\sum \limits _{j=0}^{i/2}2^{j}j!\left[C_{i/2}^{j}\right]^{2}\left(2j\right)\left[\prod \limits _{m=1}^{i/2}(2m-1)^{1+\left[m>j\right]}\right]k^{2j-1}\sin ^{i+2j}\theta \\+\left(2i+1\right)k\sin ^{2}\theta \sum \limits _{j=0}^{i/2}2^{j}j!\left[C_{i/2}^{j}\right]^{2}\left[\prod \limits _{m=1}^{i/2}(2m-1)^{1+\left[m>j\right]}\right]k^{2j}\sin ^{i+2j}\theta \end{matrix}}\right]}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{\left(2i+3\right)/2}}}\\&={\frac {\left[{\begin{matrix}\sum \limits _{j=0}^{i/2}2^{j}j!\left[C_{i/2}^{j}\right]^{2}\left(2j\right)\left[\prod \limits _{m=1}^{i/2}(2m-1)^{1+\left[m>j\right]}\right]k^{2j-1}\sin ^{i+2j}\theta \\+\sum \limits _{j=0}^{i/2}2^{j}j!\left[C_{i/2}^{j}\right]^{2}\left(2i-2j+1\right)\left[\prod \limits _{m=1}^{i/2}(2m-1)^{1+\left[m>j\right]}\right]k^{2j+1}\sin ^{i+2j+2}\theta \end{matrix}}\right]}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{\left(2i+3\right)/2}}}\\&={\frac {\left[{\begin{matrix}\sum \limits _{j'=j-1=0}^{i/2-1}2^{j'+1}\left(j'+1\right)!\left[C_{i/2}^{j'+1}\right]^{2}\left(2j'+2\right)\left[\prod \limits _{m=1}^{i/2}(2m-1)^{1+\left[m>j'+1\right]}\right]k^{2j'+1}\sin ^{i+2j'+2}\theta \\+\sum \limits _{j=0}^{i/2}2^{j}j!\left[C_{i/2}^{j}\right]^{2}\left(2i-2j+1\right)\left[\prod \limits _{m=1}^{i/2}(2m-1)^{1+\left[m>j\right]}\right]k^{2j+1}\sin ^{i+2j+2}\theta \end{matrix}}\right]}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{\left(2i+3\right)/2}}}\\&={\frac {\left[{\begin{matrix}\sum \limits _{j=0}^{i/2-1}2^{j}j!\left[C_{i/2}^{j}\right]^{2}\left[\left[{\frac {i/2-j}{j+1}}\right]^{2}\left(2j+2\right)^{2}+\left(2i-2j+1\right)\left(2j+1\right)\right]\left[\prod \limits _{m=1}^{i/2}(2m-1)^{1+\left[m>j+1\right]}\right]k^{2j+1}\sin ^{i+2j+2}\theta \\+\sum \limits _{j=i/2}^{i/2}2^{j}j!\left[C_{i/2}^{j}\right]^{2}\left(i+1\right)\left[\prod \limits _{m=1}^{i/2}(2m-1)^{1+\left[m>j+1\right]}\right]k^{2j+1}\sin ^{i+2j+2}\theta \end{matrix}}\right]}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{\left(2i+3\right)/2}}}\\&={\frac {\left[{\begin{matrix}\sum \limits _{j=0}^{i/2-1}2^{j}j!\left[C_{i/2}^{j}\right]^{2}\left[\left(i-2j\right)^{2}+\left(2i-2j+1\right)\left(2j+1\right)\right]\left[\prod \limits _{m=1}^{i/2}(2m-1)^{1+\left[m>j+1\right]}\right]k^{2j+1}\sin ^{i+2j+2}\theta \\+\sum \limits _{j=i/2}^{i/2}2^{j}j!\left[C_{i/2}^{j}\right]^{2}\left(i+1\right)\left[\prod \limits _{m=1}^{i/2}(2m-1)^{1+\left[m>j+1\right]}\right]k^{2j+1}\sin ^{i+2j+2}\theta \end{matrix}}\right]}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{\left(2i+3\right)/2}}}\\&={\frac {\left[{\begin{matrix}\sum \limits _{j=0}^{i/2-1}2^{j}j!\left[C_{i/2}^{j}\right]^{2}\left(i+1\right)^{2}\left[\prod \limits _{m=1}^{i/2}(2m-1)^{1+\left[m>j+1\right]}\right]k^{2j+1}\sin ^{i+2j+2}\theta \\+\sum \limits _{j=i/2}^{i/2}2^{j}j!\left[C_{i/2}^{j}\right]^{2}\left(i+1\right)\left[\prod \limits _{m=1}^{i/2}(2m-1)^{1+\left[m>j+1\right]}\right]k^{2j+1}\sin ^{i+2j+2}\theta \end{matrix}}\right]}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{\left(2i+3\right)/2}}}\\&={\frac {\sum \limits _{j=0}^{i/2}2^{j}j!\left[C_{i/2}^{j}\right]^{2}\left[\prod \limits _{m=1}^{i/2+1}(2m-1)^{1+\left[m>j+1\right]}\right]k^{2j+1}\sin ^{i+2j+2}\theta }{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{\left(2i+3\right)/2}}}\end{aligned}}$

et si i est impair, on a :

${\begin{aligned}\partial _{k^{i+1}}^{i+1}{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}&={\frac {\left[{\begin{matrix}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)\sum \limits _{j=0}^{\left(i-1\right)/2}2^{j}j!\left[C_{\left(i-1\right)/2}^{j}\right]^{2}\left(2j+1\right)\left[\prod \limits _{m=1}^{\left(i+1\right)/2}(2m-1)^{1+\left[m>j+1\right]}\right]k^{2j}\sin ^{i+2j+1}\theta \\+\left(2i+1\right)k\sin ^{2}\theta \sum \limits _{j=0}^{\left(i-1\right)/2}2^{j}j!\left[C_{\left(i-1\right)/2}^{j}\right]^{2}\left[\prod \limits _{m=1}^{\left(i+1\right)/2}(2m-1)^{1+\left[m>j+1\right]}\right]k^{2j+1}\sin ^{i+2j+1}\theta \end{matrix}}\right]}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{\left(2i+3\right)/2}}}\\&={\frac {\left[{\begin{matrix}\sum \limits _{j=0}^{\left(i-1\right)/2}2^{j}j!\left[C_{\left(i-1\right)/2}^{j}\right]^{2}\left(2j+1\right)\left[\prod \limits _{m=1}^{\left(i+1\right)/2}(2m-1)^{1+\left[m>j+1\right]}\right]k^{2j}\sin ^{i+2j+1}\theta \\+\sum \limits _{j=0}^{\left(i-1\right)/2}2^{j}j!\left[C_{\left(i-1\right)/2}^{j}\right]^{2}\left(2i-2j\right)\left[\prod \limits _{m=1}^{\left(i+1\right)/2}(2m-1)^{1+\left[m>j+1\right]}\right]k^{2j+2}\sin ^{i+2j+3}\theta \end{matrix}}\right]}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{\left(2i+3\right)/2}}}\\&={\frac {\left[{\begin{matrix}\sum \limits _{j=0}^{\left(i-1\right)/2}2^{j}j!\left[C_{\left(i-1\right)/2}^{j}\right]^{2}\left(2j+1\right)\left[\prod \limits _{m=1}^{\left(i+1\right)/2}(2m-1)^{1+\left[m>j+1\right]}\right]k^{2j}\sin ^{i+2j+1}\theta \\+\sum \limits _{j'=j+1=1}^{\left(i+1\right)/2}2^{j'-1}\left(j'-1\right)!\left[C_{\left(i-1\right)/2}^{j'-1}\right]^{2}\left(2i-2j'+2\right)\left[\prod \limits _{m=1}^{\left(i+1\right)/2}(2m-1)^{1+\left[m>j'\right]}\right]k^{2j'}\sin ^{i+2j'+1}\theta \end{matrix}}\right]}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{\left(2i+3\right)/2}}}\\&={\frac {\left[{\begin{matrix}\left[\prod \limits _{m=1}^{\left(i+1\right)/2}(2m-1)^{1+\left[m>0\right]}\right]\sin ^{i+1}\theta \\+\sum \limits _{j=1}^{\left(i-1\right)/2}2^{j}j!\left[C_{\left(i+1\right)/2}^{j}\right]^{2}\left[\left[{\frac {\left(i+1\right)/2-j}{\left(i+1\right)/2}}\right]^{2}+\left[{\frac {j}{\left(i+1\right)/2}}\right]^{2}{\frac {1}{2j}}\left(2i-2j+2\right)\right]\left[\prod \limits _{m=1}^{\left(i+1\right)/2}(2m-1)^{1+\left[m>j\right]}\right]k^{2j}\sin ^{i+2j+1}\theta \\+\sum \limits _{j=\left(i+1\right)/2}^{\left(i+1\right)/2}2^{j}j!\left[C_{\left(i+1\right)/2}^{j}\right]^{2}\left[{\frac {j}{\left(i+1\right)/2}}\right]^{2}{\frac {1}{2j}}\left(2i-2j+2\right)\left[\prod \limits _{m=1}^{\left(i+1\right)/2}(2m-1)^{1+\left[m>j\right]}\right]k^{2j}\sin ^{i+2j+1}\theta \end{matrix}}\right]}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{\left(2i+3\right)/2}}}\\&={\frac {\left[{\begin{matrix}\left[\prod \limits _{m=1}^{\left(i+1\right)/2}(2m-1)^{1+\left[m>0\right]}\right]\sin ^{i+1}\theta \\+\sum \limits _{j=1}^{\left(i-1\right)/2}2^{j}j!\left[C_{\left(i+1\right)/2}^{j}\right]^{2}{\frac {\left(i+1-2j\right)^{2}+2j\left(2i-2j+2\right)}{\left(i+1\right)^{2}}}\left[\prod \limits _{m=1}^{\left(i+1\right)/2}(2m-1)^{1+\left[m>j\right]}\right]k^{2j}\sin ^{i+2j+1}\theta \\+\sum \limits _{j=\left(i+1\right)/2}^{\left(i+1\right)/2}2^{j}j!\left[C_{\left(i+1\right)/2}^{j}\right]^{2}{\frac {2j\left(2i-2j+2\right)}{\left(i+1\right)^{2}}}\left[\prod \limits _{m=1}^{\left(i+1\right)/2}(2m-1)^{1+\left[m>j\right]}\right]k^{2j}\sin ^{i+2j+1}\theta \end{matrix}}\right]}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{\left(2i+3\right)/2}}}\\&={\frac {\sum \limits _{j=0}^{\left(i+1\right)/2}2^{j}j!\left[C_{\left(i+1\right)/2}^{j}\right]^{2}\left[\prod \limits _{m=1}^{\left(i+1\right)/2}(2m-1)^{1+\left[m>j\right]}\right]k^{2j}\sin ^{i+2j+1}\theta }{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{\left(2i+3\right)/2}}}\end{aligned}}$

Donc :

${\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\sum \limits _{i=0}^{\infty }{\frac {\left[\prod \limits _{m=1}^{i}\left(2m-1\right)^{2}\right]\sin ^{2i}\theta k^{2i}}{\left(2i\right)!}}=\sum \limits _{i=0}^{\infty }{\frac {\left(2i\right)!}{2^{2i}i!^{2}}}k^{2i}\sin ^{2i}\theta =\sum \limits _{i=0}^{\infty }{\frac {C_{2i}^{i}}{2^{2i}}}k^{2i}\sin ^{2i}\theta$

car :

$\lim \limits _{i\to \infty }{\frac {\left(2i\right)!}{2^{2i}i!^{2}}}=\prod \limits _{i=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{2i}}\right)=\mathrm {e} ^{\sum \limits _{i=0}^{\infty }\ln \left(1-{\frac {1}{2i}}\right)}=\mathrm {e} ^{\lambda _{i_{0}}+\sum \limits _{i=i_{0}}^{\infty }\ln \left(1-{\frac {1}{2i}}\right)}\sim \mathrm {e} ^{\lambda _{i_{0}}-\sum \limits _{i=i_{0}}^{\infty }{\frac {1}{2i}}}\sim \mathrm {e} ^{\lambda _{i_{0}}-\left[{\frac {\ln {i}}{2}}\right]_{i_{0}}^{\infty }}\sim 0$

On a enfin :

${\begin{aligned}\int \limits _{\theta =0}^{\pi /2}\sin ^{2n}x\,\mathrm {d} \theta &=\int \limits _{\theta =0}^{\pi /2}\left({\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}}{2i}}\right)^{2n}\,\mathrm {d} \theta =\int \limits _{\theta =0}^{\pi /2}\sum \limits _{j=0}^{2n}C_{2n}^{j}{\frac {\left(-1\right)^{j}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \left(2n-2j\right)x}}{2^{2n}\left(-1\right)^{n}}}\,\mathrm {d} \theta \\&=\int \limits _{\theta =0}^{\pi /2}{\frac {1}{2^{2n}}}\left[\sum \limits _{j=0}^{n-1}\left(-1\right)^{j}C_{2n}^{j}{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \left(2n-2j\right)x}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \left(2n-2j\right)x}}{\left(-1\right)^{n}}}+C_{2n}^{n}\right]\mathrm {d} \theta \\&=\int \limits _{\theta =0}^{\pi /2}\left[\sum \limits _{j=0}^{n-1}{\frac {\left(-1\right)^{n+j}C_{2n}^{j}\cos \left[\left(2n-2j\right)x\right]}{2^{2n-1}}}+{\frac {C_{2n}^{n}}{2^{2n}}}\right]\mathrm {d} \theta \\&=\left[\sum \limits _{j=0}^{n-1}{\frac {\left(-1\right)^{n+j+1}C_{2n}^{j}\sin \left[\left(2n-2j\right)x\right]}{2^{2n-1}\left(2n-2j\right)}}+{\frac {C_{2n}^{n}}{2^{2n}}}\theta \right]_{\theta =0}^{\pi /2}={\frac {\pi }{2}}{\frac {C_{2n}^{n}}{2^{2n}}}\end{aligned}}$

Si $k^{2}<0$, en utilisant la transformation de Landen ou gaussienne décroissante, on se ramène dès la première itération à une forme où $k\in ]0;1[$ :

$K\left(\mathrm {i} k\right)=\int \limits _{\theta =0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1+k^{2}\sin ^{2}\theta }}}\,\mathrm {d} \theta ={\frac {2}{1+{\sqrt {1+k^{2}}}}}K\left({\frac {{\sqrt {1+k^{2}}}-1}{{\sqrt {1+k^{2}}}+1}}\right)$

Intégrale elliptique complète de deuxième espèce

L’intégrale elliptique complète de deuxième espèce, $\forall k^{2}\in ]-\infty ;1]$, est :

${\begin{aligned}E(k)&=\int \limits _{\theta =0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta ={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{1-2n}}\left[P_{2n}\left(0\right)\right]^{2}k^{2n}\\&={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{1-2n}}\left[{\frac {\operatorname {CBC} \left(n\right)}{2^{2n}}}\right]^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{1-2n}}\left[{\frac {C_{2n}^{n}}{2^{2n}}}\right]^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{1-2n}}\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{1-2n}}\left[{\frac {\left(2n\right)!}{2^{2n}n!^{2}}}\right]^{2}k^{2n}\end{aligned}}$

Démonstration

On démontre par récurrence que, pour $i\in \mathbb {N} \setminus \left\{0;1\right\}$, on a :

$\partial _{k^{i}}^{i}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}={\frac {\sum \limits _{j=0}^{\lfloor {i/2}\rfloor }-{\frac {\lfloor {i/2}\rfloor -j}{\lfloor {i/2}\rfloor \left[i-1+\left(i-2\lfloor {i/2}\rfloor \right)\right]}}2^{j}j!\left[C_{\lfloor {i/2}\rfloor }^{j}\right]^{2}\left[\prod \limits _{m=1}^{\lfloor \left(i+1\right)/2\rfloor }(2m-1)^{1+\left[m>j+\left(i-2\lfloor {i/2}\rfloor \right)\right]}\right]k^{2j+\left(i-2\lfloor {i/2}\rfloor \right)}\sin ^{i+2j+\left(i-2\lfloor {i/2}\rfloor \right)}\theta }{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{\left(2i-1\right)/2}}}$

$\Leftrightarrow {\begin{cases}i{\text{ pair }}&:\partial _{k^{i}}^{i}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}={\frac {\sum \limits _{j=0}^{i/2}-{\frac {{\frac {i}{2}}-j}{{\frac {i}{2}}\left(i-1\right)}}2^{j}j!\left[C_{i/2}^{j}\right]^{2}\left[\prod \limits _{m=1}^{i/2}(2m-1)^{1+\left[m>j\right]}\right]k^{2j}\sin ^{i+2j}\theta }{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{\left(2i-1\right)/2}}}\\i{\text{ impair }}&:\partial _{k^{i}}^{i}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}={\frac {\sum \limits _{j=0}^{\left(i-1\right)/2}-{\frac {{\frac {i-1}{2}}-j}{{\frac {i-1}{2}}i}}2^{j}j!\left[C_{\left(i-1\right)/2}^{j}\right]^{2}\left[\prod \limits _{m=1}^{\left(i+1\right)/2}(2m-1)^{1+\left[m>j+1\right]}\right]k^{2j+1}\sin ^{i+2j+1}\theta }{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{\left(2i-1\right)/2}}}\end{cases}}$

car pour $i=2$ et $i=3$, on a :

${\begin{cases}\partial _{k^{2}}^{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}&={\frac {-\sin ^{2}\theta }{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{3/2}}}=\partial _{k}{\frac {-k\sin ^{2}\theta }{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{1/2}}}={\frac {-\sin ^{2}\theta \left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)+k^{2}\sin ^{4}\theta }{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{3/2}}}\\\partial _{k^{3}}^{3}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}&={\frac {-3k\sin ^{4}\theta }{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{5/2}}}=\partial _{k}{\frac {-\sin ^{2}\theta }{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{3/2}}}\end{cases}}$

et, pour $i=i+1$, si $i$ est pair, on a :

${\begin{aligned}\partial _{k^{i+1}}^{i+1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}&={\frac {\left[{\begin{matrix}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)\sum \limits _{j=0}^{i/2}-{\frac {{\frac {i}{2}}-j}{{\frac {i}{2}}\left(i-1\right)}}2^{j}j!\left[C_{i/2}^{j}\right]^{2}\left(2j\right)\left[\prod \limits _{m=1}^{i/2}(2m-1)^{1+\left[m>j\right]}\right]k^{2j-1}\sin ^{i+2j}\theta \\+\left(2i-1\right)k\sin ^{2}\theta \sum \limits _{j=0}^{i/2}-{\frac {{\frac {i}{2}}-j}{{\frac {i}{2}}\left(i-1\right)}}2^{j}j!\left[C_{i/2}^{j}\right]^{2}\left[\prod \limits _{m=1}^{i/2}(2m-1)^{1+\left[m>j\right]}\right]k^{2j}\sin ^{i+2j}\theta \end{matrix}}\right]}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{\left(2i+1\right)/2}}}\\&={\frac {\left[{\begin{matrix}\sum \limits _{j=0}^{i/2}-{\frac {{\frac {i}{2}}-j}{{\frac {i}{2}}\left(i-1\right)}}2^{j}j!\left[C_{i/2}^{j}\right]^{2}\left(2j\right)\left[\prod \limits _{m=1}^{i/2}(2m-1)^{1+\left[m>j\right]}\right]k^{2j-1}\sin ^{i+2j}\theta \\+\left(2i-2j-1\right)\sum \limits _{j=0}^{i/2}-{\frac {{\frac {i}{2}}-j}{{\frac {i}{2}}\left(i-1\right)}}2^{j}j!\left[C_{i/2}^{j}\right]^{2}\left[\prod \limits _{m=1}^{i/2}(2m-1)^{1+\left[m>j\right]}\right]k^{2j+1}\sin ^{i+2j+2}\theta \end{matrix}}\right]}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{\left(2i+1\right)/2}}}\\&={\frac {\left[{\begin{matrix}\sum \limits _{j'=j-1=0}^{i/2-1}-{\frac {{\frac {i}{2}}-j'-1}{{\frac {i}{2}}\left(i-1\right)}}2^{j'+1}\left(j'+1\right)!\left[C_{i/2}^{j'+1}\right]^{2}\left(2j'+2\right)\left[\prod \limits _{m=1}^{i/2}(2m-1)^{1+\left[m>j'+1\right]}\right]k^{2j'+1}\sin ^{i+2j'+2}\theta \\+\left(2i-2j-1\right)\sum \limits _{j=0}^{i/2}-{\frac {{\frac {i}{2}}-j}{{\frac {i}{2}}\left(i-1\right)}}2^{j}j!\left[C_{i/2}^{j}\right]^{2}\left[\prod \limits _{m=1}^{i/2}(2m-1)^{1+\left[m>j\right]}\right]k^{2j+1}\sin ^{i+2j+2}\theta \end{matrix}}\right]}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{\left(2i+1\right)/2}}}\\&={\frac {\left[{\begin{matrix}\sum \limits _{j=0}^{i/2-1}-{\frac {{\frac {i}{2}}-j}{{\frac {i}{2}}\left(i-1\right)}}2^{j}j!\left[C_{i/2}^{j}\right]^{2}\left[{\frac {{\frac {i}{2}}-j-1}{{\frac {i}{2}}-j}}\left[{\frac {i/2-j}{j+1}}\right]^{2}4\left(j+1\right)^{2}+\left(2i-2j-1\right)\left(2j+1\right)\right]\left[\prod \limits _{m=1}^{i/2}(2m-1)^{1+\left[m>j+1\right]}\right]k^{2j+1}\sin ^{i+2j+2}\theta \\+\sum \limits _{j=i/2}^{i/2}-{\frac {{\frac {i}{2}}-j}{{\frac {i}{2}}\left(i-1\right)}}2^{j}j!\left[C_{i/2}^{j}\right]^{2}\left(2i-2j-1\right)\left[\prod \limits _{m=1}^{i/2}(2m-1)^{1+\left[m>j+1\right]}\right]k^{2j+1}\sin ^{i+2j+2}\theta \end{matrix}}\right]}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{\left(2i+1\right)/2}}}\\&={\frac {\left[{\begin{matrix}\sum \limits _{j=0}^{i/2-1}-{\frac {{\frac {i}{2}}-j}{{\frac {i}{2}}\left(i-1\right)}}2^{j}j!\left[C_{i/2}^{j}\right]^{2}\left(i^{2}-1\right])\left[\prod \limits _{m=1}^{i/2}(2m-1)^{1+\left[m>j+1\right]}\right]k^{2j+1}\sin ^{i+2j+2}\theta \\+\sum \limits _{j=i/2}^{i/2}-{\frac {{\frac {i}{2}}-j}{{\frac {i}{2}}\left(i-1\right)}}2^{j}j!\left[C_{i/2}^{j}\right]^{2}\left(i-1\right)\left[\prod \limits _{m=1}^{i/2}(2m-1)^{1+\left[m>j+1\right]}\right]k^{2j+1}\sin ^{i+2j+2}\theta \end{matrix}}\right]}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{\left(2i+1\right)/2}}}\\&={\frac {\sum \limits _{j=0}^{i/2}-{\frac {{\frac {i}{2}}-j}{{\frac {i}{2}}\left(i+1\right)}}2^{j}j!\left[C_{i/2}^{j}\right]^{2}\left[\prod \limits _{m=1}^{i/2+1}(2m-1)^{1+\left[m>j+1\right]}\right]k^{2j+1}\sin ^{i+2j+2}\theta }{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{\left(2i+1\right)/2}}}\end{aligned}}$

et si i est impair, on a :

${\begin{aligned}\partial _{k^{i+1}}^{i+1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}&={\frac {\left[{\begin{matrix}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)\sum \limits _{j=0}^{\left(i-1\right)/2}-{\frac {{\frac {i-1}{2}}-j}{{\frac {i-1}{2}}i}}2^{j}j!\left[C_{\left(i-1\right)/2}^{j}\right]^{2}\left(2j+1\right)\left[\prod \limits _{m=1}^{\left(i+1\right)/2}(2m-1)^{1+\left[m>j+1\right]}\right]k^{2j}\sin ^{i+2j+1}\theta \\+\left(2i-1\right)k\sin ^{2}\theta \sum \limits _{j=0}^{\left(i-1\right)/2}-{\frac {{\frac {i-1}{2}}-j}{{\frac {i-1}{2}}i}}2^{j}j!\left[C_{\left(i-1\right)/2}^{j}\right]^{2}\left[\prod \limits _{m=1}^{\left(i+1\right)/2}(2m-1)^{1+\left[m>j+1\right]}\right]k^{2j+1}\sin ^{i+2j+1}\theta \end{matrix}}\right]}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{\left(2i+1\right)/2}}}\\&={\frac {\left[{\begin{matrix}\sum \limits _{j=0}^{\left(i-1\right)/2}-{\frac {{\frac {i-1}{2}}-j}{{\frac {i-1}{2}}i}}2^{j}j!\left[C_{\left(i-1\right)/2}^{j}\right]^{2}\left(2j+1\right)\left[\prod \limits _{m=1}^{\left(i+1\right)/2}(2m-1)^{1+\left[m>j+1\right]}\right]k^{2j}\sin ^{i+2j+1}\theta \\+\sum \limits _{j=0}^{\left(i-1\right)/2}-{\frac {{\frac {i-1}{2}}-j}{{\frac {i-1}{2}}i}}2^{j}j!\left[C_{\left(i-1\right)/2}^{j}\right]^{2}\left(2i-2j-2\right)\left[\prod \limits _{m=1}^{\left(i+1\right)/2}(2m-1)^{1+\left[m>j+1\right]}\right]k^{2j+2}\sin ^{i+2j+3}\theta \end{matrix}}\right]}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{\left(2i+1\right)/2}}}\\&={\frac {\left[{\begin{matrix}\sum \limits _{j=0}^{\left(i-1\right)/2}-{\frac {{\frac {i-1}{2}}-j}{{\frac {i-1}{2}}i}}2^{j}j!\left[C_{\left(i-1\right)/2}^{j}\right]^{2}\left(2j+1\right)\left[\prod \limits _{m=1}^{\left(i+1\right)/2}(2m-1)^{1+\left[m>j+1\right]}\right]k^{2j}\sin ^{i+2j+1}\theta \\+\sum \limits _{j'=j+1=1}^{\left(i+1\right)/2}-{\frac {{\frac {i-1}{2}}-j'+1}{{\frac {i-1}{2}}i}}2^{j'-1}\left(j'-1\right)!\left[C_{\left(i-1\right)/2}^{j'-1}\right]^{2}\left(2i-2j'\right)\left[\prod \limits _{m=1}^{\left(i+1\right)/2}(2m-1)^{1+\left[m>j'\right]}\right]k^{2j'}\sin ^{i+2j'+1}\theta \end{matrix}}\right]}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{\left(2i+1\right)/2}}}\\&={\frac {\left[{\begin{matrix}\sum \limits _{j=0}^{\left(i-1\right)/2}-{\frac {{\frac {i+1}{2}}-j}{{\frac {i+1}{2}}i}}2^{j}j!\left[C_{\left(i+1\right)/2}^{j}\right]^{2}\left[{\frac {\left(i+1\right)/2-j}{\left(i+1\right)/2}}\right]^{2}{\frac {{\frac {i+1}{2}}i}{{\frac {i+1}{2}}-j}}{\frac {{\frac {i-1}{2}}-j}{{\frac {i-1}{2}}i}}\left[\prod \limits _{m=1}^{\left(i+1\right)/2}(2m-1)^{1+\left[m>j\right]}\right]k^{2j}\sin ^{i+2j+1}\theta \\+\sum \limits _{j=1}^{\left(i+1\right)/2}-{\frac {{\frac {i+1}{2}}-j}{{\frac {i+1}{2}}i}}2^{j}j!\left[C_{\left(i+1\right)/2}^{j}\right]^{2}\left[{\frac {j}{\left(i+1\right)/2}}\right]^{2}{\frac {{\frac {i+1}{2}}i}{{\frac {i+1}{2}}-j}}{\frac {{\frac {i-1}{2}}-j+1}{{\frac {i-1}{2}}i}}{\frac {i-j}{j}}\left[\prod \limits _{m=1}^{\left(i+1\right)/2}(2m-1)^{1+\left[m>j\right]}\right]k^{2j}\sin ^{i+2j+1}\theta \end{matrix}}\right]}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{\left(2i+1\right)/2}}}\\&={\frac {\left[{\begin{matrix}\sum \limits _{j=0}^{\left(i-1\right)/2}-{\frac {{\frac {i+1}{2}}-j}{{\frac {i+1}{2}}i}}2^{j}j!\left[C_{\left(i+1\right)/2}^{j}\right]^{2}{\frac {\left(i-2j+1\right)\left(i-2j-1\right)}{i^{2}-1}}\left[\prod \limits _{m=1}^{\left(i+1\right)/2}(2m-1)^{1+\left[m>j\right]}\right]k^{2j}\sin ^{i+2j+1}\theta \\+\sum \limits _{j=1}^{\left(i+1\right)/2}-{\frac {{\frac {i+1}{2}}-j}{{\frac {i+1}{2}}i}}2^{j}j!\left[C_{\left(i+1\right)/2}^{j}\right]^{2}{\frac {4j\left(i-j\right)}{i^{2}-1}}\left[\prod \limits _{m=1}^{\left(i+1\right)/2}(2m-1)^{1+\left[m>j\right]}\right]k^{2j}\sin ^{i+2j+1}\theta \end{matrix}}\right]}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{\left(2i+1\right)/2}}}\\&={\frac {\sum \limits _{j=0}^{\left(i+1\right)/2}-{\frac {{\frac {i+1}{2}}-j}{{\frac {i+1}{2}}i}}2^{j}j!\left[C_{\left(i+1\right)/2}^{j}\right]^{2}\left[\prod \limits _{m=1}^{\left(i+1\right)/2}(2m-1)^{1+\left[m>j\right]}\right]k^{2j}\sin ^{i+2j+1}\theta }{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\theta \right)^{\left(2i+1\right)/2}}}\end{aligned}}$

Donc :

${\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}=1+\sum \limits _{i=1}^{\infty }{\frac {\left[\prod \limits _{m=1}^{i}\left(2m-1\right)^{2}\right]\sin ^{2i}\theta k^{2i}}{\left(1-2i\right)\left(2i\right)!}}=\sum \limits _{i=0}^{\infty }{\frac {\left(2i\right)!}{\left(1-2i\right)2^{2i}i!^{2}}}k^{2i}\sin ^{2i}\theta =\sum \limits _{i=0}^{\infty }{\frac {C_{2i}^{i}}{\left(1-2i\right)2^{2i}}}k^{2i}\sin ^{2i}\theta$

car :

$\lim \limits _{i\to \infty }{\frac {\left(2i\right)!}{\left(1-2i\right)2^{2i}i!^{2}}}=0$

Si $k^{2}<0$, en utilisant la transformation de Landen décroissante, on se ramène dès la première itération à une forme où $k\in ]0;1[$ :

$E\left(\mathrm {i} k\right)=\int \limits _{\theta =0}^{\pi /2}{\sqrt {1+k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta =\left(1+{\sqrt {1+k^{2}}}\right)E\left({\frac {{\sqrt {1+k^{2}}}-1}{{\sqrt {1+k^{2}}}+1}}\right)-{\sqrt {1+k^{2}}}K\left(k\right)$

Théorème d'addition

Intégrale elliptique incomplète de première espèce

L'intégrale elliptique incomplète de première espèce a le théorème d'addition suivant :

$F\left(\varphi _{1},k\right)+F\left(\varphi _{2},k\right)=F\left(\arctan \left(\tan \varphi _{1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\right)+\arctan \left(\tan \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}\right),k\right)$

Démonstration

Une démonstration s'appuie sur le théorème suivant :

$f(\varphi _{2})=g(\varphi _{2})\Leftrightarrow {\begin{cases}f(0)=g(0)\\{\text{et }}\partial _{\varphi _{2}}f(\varphi _{2})=\partial _{\varphi _{2}}g(\varphi _{2})\end{cases}}$

L'équation est vraie pour $\varphi _{2}=0$. Il reste alors à démontrer que :

${\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}&={\frac {\partial _{\varphi _{2}}\left[\arctan \left(\tan \varphi _{1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\right)+\arctan \left(\tan \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}\right)\right]}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\left[\arctan \left(\tan \varphi _{1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\right)+\arctan \left(\tan \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}\right]\right)}}}\\&={\frac {{\frac {-k^{2}\tan \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{2}}{\left[1+\tan ^{2}\varphi _{1}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)\right]{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}}+{\frac {\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}{\left[1+\tan ^{2}\varphi _{2}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\right)\right]\cos ^{2}\varphi _{2}}}}{\sqrt {1-k^{2}\left[{\frac {\tan \varphi _{1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}+\tan \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}}{{\sqrt {1+\tan ^{2}\varphi _{1}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)}}{\sqrt {1+\tan ^{2}\varphi _{2}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\right)}}}}\right]^{2}}}}\\&={\frac {\frac {-k^{2}\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{2}+{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\right){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}}{\sqrt {1-k^{2}\left[{\frac {\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}+\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}}{1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\right]^{2}}}}\\&={\frac {\frac {-k^{2}\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{2}+{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}{\sqrt {\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)^{2}-k^{2}\cos ^{2}\varphi _{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)-k^{2}\cos ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\right)-2k^{2}\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}\\&={\frac {\frac {-k^{2}\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{2}+{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}{\sqrt {1-k^{2}\left(\sin ^{2}\varphi _{1}+\sin ^{2}\varphi _{2}\right)+k^{4}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\left(\cos ^{2}\varphi _{1}+\cos ^{2}\varphi _{2}+\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)-2k^{2}\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}\\&={\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}\end{aligned}}$

On a ensuite :

${\begin{aligned}\arctan \left(\tan \varphi _{1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\right)+\arctan \left(\tan \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}\right)\\=\arcsin {\frac {\tan \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}+\tan \varphi _{1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}{{\sqrt {1+\tan ^{2}\varphi _{1}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)}}{\sqrt {1+\tan ^{2}\varphi _{2}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\right)}}}}\\=\arcsin {\frac {\cos \varphi _{1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}\sin \varphi _{2}+\cos \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\sin \varphi _{1}}{1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\\=\arccos {\frac {1-\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}{1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\end{aligned}}$

On a ensuite, selon les circonstances (c.-à-d. en tenant compte du fait que $\arcsin x\in [-\pi /2;\pi /2]$ et $\arccos x\in [0;\pi ]$) :

${\begin{aligned}F\left(\varphi _{1},k\right)+F\left(\varphi _{2},k\right)&=F\left(\arctan \left(\tan \varphi _{1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\right)+\arctan \left(\tan \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}\right),k\right)\\&=F\left(\arcsin {\frac {\cos \varphi _{1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}\sin \varphi _{2}+\cos \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\sin \varphi _{1}}{1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}}},k\right)\\&=F\left(\arccos {\frac {1-\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}{1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}}},k\right)\end{aligned}}$

Intégrale elliptique incomplète de deuxième espèce

L'intégrale elliptique incomplète de deuxième espèce a le théorème d'addition suivant :

$\textstyle E\left(\varphi _{1},k\right)+E\left(\varphi _{2},k\right)=\left[{\begin{aligned}E\left(\arctan \left(\tan \varphi _{1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\right)+\arctan \left(\tan \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}\right),k\right)\\+{\frac {k^{2}\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\left(\cos \varphi _{1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}\sin \varphi _{2}+\cos \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\sin \varphi _{1}\right)}{1-k^{2}\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}}}\end{aligned}}\right]$

Démonstration

On procède de la même façon : L'équation est vraie pour $\varphi _{2}=0$. Il reste alors à démontrer que :

$\textstyle {\begin{aligned}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}&={\frac {\left[{\begin{matrix}\left(-k^{2}\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{2}+{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\right)^{2}\\+k^{2}\sin \varphi _{1}\left[{\begin{matrix}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)\\\times \left[{\begin{matrix}\cos \varphi _{2}\left[\sin \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)+\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\right]\\+\sin \varphi _{2}\left[{\begin{matrix}-\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)-k^{2}\sin \varphi _{1}\cos ^{2}\varphi _{2}\sin \varphi _{2}\\+\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\end{matrix}}\right]\end{matrix}}\right]\\+2k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\cos \varphi _{2}\sin ^{2}\varphi _{2}\left[\sin \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)+\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\right]\end{matrix}}\right]\end{matrix}}\right]}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)^{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}}\\&={\frac {\left[{\begin{matrix}\left(-k^{2}\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{2}+{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\right)^{2}\\+k^{2}\sin \varphi _{1}\left[{\begin{matrix}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)\\\times \left[{\begin{matrix}\sin \varphi _{1}\left(\cos ^{2}\varphi _{2}-\sin ^{2}\varphi _{2}\right)-k^{2}\sin \varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\left(2\cos ^{2}\varphi _{2}-\sin ^{2}\varphi _{2}\right)\\+2\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\end{matrix}}\right]\\+2k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\cos \varphi _{2}\sin ^{2}\varphi _{2}\left[\sin \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)+\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\right]\end{matrix}}\right]\end{matrix}}\right]}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)^{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}}\\&={\frac {\left[{\begin{matrix}\left(-k^{2}\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{2}+{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\right)^{2}\\+k^{2}\sin \varphi _{1}\left[{\begin{matrix}\sin \varphi _{1}\left(\cos ^{2}\varphi _{2}-\sin ^{2}\varphi _{2}\right)\\+k^{2}\left[\sin \varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\left(\sin ^{2}\varphi _{1}-2\cos ^{2}\varphi _{2}+\sin ^{2}\varphi _{2}\right)\right]\\-k^{4}\sin ^{3}\varphi _{1}\sin ^{6}\varphi _{2}\\+2\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\end{matrix}}\right]\end{matrix}}\right]}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)^{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}}\\&={\frac {\left[{\begin{matrix}k^{4}\cos ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{1}\cos ^{2}\varphi _{2}\sin ^{2}\varphi _{2}+\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\right)\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)\\+k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\left(\cos ^{2}\varphi _{2}-\sin ^{2}\varphi _{2}\right)\\+k^{4}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\left(\sin ^{2}\varphi _{1}-2\cos ^{2}\varphi _{2}+\sin ^{2}\varphi _{2}\right)\\-k^{6}\sin ^{4}\varphi _{1}\sin ^{6}\varphi _{2}\end{matrix}}\right]}{\left(1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)^{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}}\\&={\frac {\left[{\begin{matrix}1+k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}\left(-2\sin ^{2}\varphi _{1}-1\right)\\+k^{4}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\left(\sin ^{2}\varphi _{1}-\cos ^{2}\varphi _{2}+2\sin ^{2}\varphi _{2}+1-\sin ^{2}\varphi _{1}-\sin ^{2}\varphi _{2}+\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}\right)\\-k^{6}\sin ^{4}\varphi _{1}\sin ^{6}\varphi _{2}\end{matrix}}\right]}{\left(1-2k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}+k^{4}\sin ^{4}\varphi _{1}\sin ^{4}\varphi _{2}\right){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}}\\&={\frac {1+k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}\left(-2\sin ^{2}\varphi _{1}-1\right)+k^{4}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{4}\varphi _{2}\left(2+\sin ^{2}\varphi _{1}\right)-k^{6}\sin ^{4}\varphi _{1}\sin ^{6}\varphi _{2}}{\left(1-2k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}+k^{4}\sin ^{4}\varphi _{1}\sin ^{4}\varphi _{2}\right){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}}\\&={\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\end{aligned}}$

On a ensuite, selon les circonstances (c.-à-d. en tenant compte du fait que $\arcsin x\in [-\pi /2;\pi /2]$ et $\arccos x\in [0;\pi ]$) :

$\textstyle {\begin{aligned}E\left(\varphi _{1},k\right)+E\left(\varphi _{2},k\right)&=\left[{\begin{aligned}E\left(\arctan \left(\tan \varphi _{1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\right)+\arctan \left(\tan \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}\right),k\right)\\+{\frac {k^{2}\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\left(\cos \varphi _{1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}\sin \varphi _{2}+\cos \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\sin \varphi _{1}\right)}{1-k^{2}\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}}}\end{aligned}}\right]\\&=\left[{\begin{aligned}E\left(\arcsin {\frac {\cos \varphi _{1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}\sin \varphi _{2}+\cos \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\sin \varphi _{1}}{1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}}},k\right)\\+{\frac {k^{2}\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\left(\cos \varphi _{1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}\sin \varphi _{2}+\cos \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\sin \varphi _{1}\right)}{1-k^{2}\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}}}\end{aligned}}\right]\\&=\left[{\begin{aligned}E\left(\arccos {\frac {1-\cos \varphi _{1}\sin \varphi _{1}\cos \varphi _{2}\sin \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}{1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}\sin ^{2}\varphi _{2}}},k\right)\\+{\frac {k^{2}\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\left(\cos \varphi _{1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}\sin \varphi _{2}+\cos \varphi _{2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}\sin \varphi _{1}\right)}{1-k^{2}\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}}}\end{aligned}}\right]\end{aligned}}$

Références

• (ja) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en japonais intitulé « ランデン変換 » (voir la liste des auteurs).

• (no) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en norvégien intitulé « Landens_transformasjon » (voir la liste des auteurs).

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Landen's_transformation » (voir la liste des auteurs).

• (ru) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en russe intitulé « Преобразование_Ландена » (voir la liste des auteurs).

• (de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Elliptische_Integrale » (voir la liste des auteurs).

• (zh) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en chinois intitulé « 椭圆积分 » (voir la liste des auteurs).

• Louis V. King On The Direct Numerical Calculation Of Elliptic Functions And Integrals (Cambridge University Press, 1924)
• Transformation de Landen
• Transformation de Gauss
• Manuel de fonctions mathématiques
• Notes mathématiques de Paramanand, Transformation de Landen. Blog mathématique.
• Cayley A. Un traité élémentaire sur les fonctions elliptiques . — G. Bell et fils, 1895.
• Almkvist G. , Berndt B.Gauss, Landen, Ramanujan, la moyenne arithmétique-géométrique, les ellipses, π et le Ladies Diary // The American Mathematical Monthly. - 1988. - Vol. 95 , P. 7 . - P. 585-608 . - ISSN 0002-9890. - DOI : 10.1080/00029890.1988.11972055
• Milne-Thomson L. Ch. 17. Intégrales elliptiques // Manuel de fonctions spéciales avec formules, graphiques et tableaux / Ed. M. Abramowitz et I. Stigan ; langue anglaise, édité par V. A. Ditkin et L. N. Karamzina. - M. : Nauka, 1979. - P. 401-441. — 832 p. — 50 000 exemplaires.
• Korn G., Korn T. // Manuel de mathématiques destiné aux scientifiques et ingénieurs. M. : Nauka, 1977.
• Sikorsky Yu. S. Éléments de la théorie des fonctions elliptiques : Avec application à la mécanique. — Éd. 2e, rév. - M. : Kom Book, 2006. - 368 p.