Analogues de la factorielle

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En mathématiques, la fonction factorielle est la fonction, définie de N dans N, qui a un entier n associe le produit des nombres entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à n. Elle est notée n! . Pour exemple, 7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 5040.

Aussi, de nombreuses fonctions analogues à la fonction factorielle ont été définies ; cette page recense les variantes les plus fréquemment rencontrées.


Primorielle[modifier | modifier le code]

La fonction primorielle est semblable à la fonction factorielle, mais n'associe à n que le produit des nombres premiers inférieurs ou égaux à n. Elle est notée n# ou P(n). Pour exemple, P(7) = 2 × 3 × 5 × 7 = 210.

Multifactorielles[modifier | modifier le code]

Afin d'alléger l'écriture, une notation courante est d'utiliser plusieurs points d'exclamation pour noter une fonction multifactorielle, le produit d'un facteur sur deux (n!!), sur trois (n!!!) ou plus.

n!!, la double factorielle de n, est définie de façon récurrente par :


  n!!=
  \left\{
   \begin{matrix}
    1,\qquad\quad\ &&\mbox{si }n=0\mbox{ ou }n=1;
   \\
    n((n-2)!!)&&\mbox{si }n\ge2.\qquad\qquad
   \end{matrix}
  \right.

Ainsi : n!! = n \times (n-2) \times (n-4) \times \cdots

Les premières valeurs de n!! pour n \in \mathbb{N} sont 1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, … (suite A006882 de l'OEIS).

Certaines identités découlent de la définition :

n! = n!! (n-1)!!
(2n)!! = 2^n n!
(2n+1)!! = \frac{(2n+1)!}{(2n)!!} = \frac{(2n+1)!}{2^n n!}
(2n-1)!! = \frac{(2n)!}{(2n)!!} = \frac{(2n)!}{2^n n!}
\Gamma \left( n + \frac{1}{2} \right) = \sqrt{\pi} \frac{(2n-1)!!}{2^n}

Il faut faire attention de ne pas interpréter n!! comme la factorielle de n!, qui serait écrite (n!)! et est un nombre largement plus grand. Certains mathématiciens ont suggéré la notation alternative n!2 pour la double factorielle et d'une façon similaire n!k pour les autres multifactorielles, mais cet usage ne s'est pas répandu.

La double factorielle est la variante la plus commune, mais il est possible de définir de façon similaire la triple factorielle, etc. De façon générale, la ke multifactorielle, notée n!k, est définie de façon récurrente par :


  n!_{k}=
  \left\{
   \begin{matrix}
    1,\qquad\qquad\ &&\mbox{si }0\le n<k;
   \\
    n(n-k)!_{k},&&\mbox{si }n\ge k.\quad\ \ \,
   \end{matrix}
  \right.

Hyperfactorielle[modifier | modifier le code]

L'hyperfactorielle de n, notée H(n), est définie par :


  H(n)
  =\prod_{k=1}^n k^k
  =1^1\cdot2^2\cdot3^3\cdots(n-1)^{n-1}\cdot n^n.

Pour n = 1, 2, 3, 4,... les valeurs de H(n) sont 1, 4, 108, 27 648,... (suite A002109 de l'OEIS).

La fonction hyperfactorielle est semblable à la fonction factorielle, mais produit de plus grands nombres. Sa croissance est en revanche comparable.

Superfactorielle[modifier | modifier le code]

Neil Sloane et Simon Plouffe ont défini la superfactorielle en 1995 comme le produit des n premières factorielles :


  \mathrm{sf}(n)
  =\prod_{k=1}^n k! =\prod_{k=1}^n k^{n-k+1}
  =1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdots(n-1)^2\cdot n^1.

Par exemple, la superfactorielle de 4 est :

 \mathrm{sf}(4)=1! \times 2! \times 3! \times 4!=288 \,

La suite des superfactorielles débute (depuis n = 0) par :

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, ... voir (suite A000178 de l'OEIS)

L'idée fut étendue en 2000 par Henry Bottomley à la superduperfactorielle, produit des n premières superfactorielles, débutant (depuis n = 0) par :

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, ... voir (suite A055462 de l'OEIS)

puis, par récurrence, à n'importe quelle factorielle de niveau supérieur, où la factorielle de niveau m de n est le produit des n premières factorielles de niveau m-1, c’est-à-dire, en notant f(n,m) la factorielle de n de niveau m :

\mathrm{f}(n,m) = \mathrm{f}(n-1,m)\mathrm{f}(n,m-1)
  =\prod_{k=1}^n k^{n-k+m-1 \choose n-k}

\mathrm{f}(n,0)=n pour n>0 et \mathrm{f}(0,m)=1.

Superfactorielle (définition alternative)[modifier | modifier le code]

Clifford Pickover, dans son livre Keys to Infinity (1995), définit la superfactorielle de n, notée n$ ($ étant un signe factoriel ! portant un S superposé), comme :

n\$\equiv \begin{matrix} \underbrace{ n!^{{n!}^{{\cdot}^{{\cdot}^{{\cdot}^{n!}}}}}} \\ n! \end{matrix},

ou, en utilisant la notation de Knuth :

n\$=(n!)\uparrow\uparrow(n!) \,.

Les premiers éléments de la suite des superfactorielles sont :

1\$=1
2\$=2^2=4
3\$=6\uparrow\uparrow6=6^{6^{6^{6^{6^6}}}} \! \approx 8.02\times 10^{6050}

Sous-factorielle[modifier | modifier le code]

La fonction sous-factorielle, notée !n, sert à calculer le nombre de permutations possible de n objets distincts de manière à ce qu'aucun objet ne se trouve à sa place.

Par exemple, il existe !n façon de glisser n lettres dans n enveloppes affranchies et adressées de manière à ce qu'aucune des lettres ne soit dans la bonne enveloppe.

Il existe différentes façons de calculer la sous-factorielle

!n = n! \sum_{k=0}^n \frac {(-1)^k}{k!}


!n = \frac{\Gamma (n+1, -1)}{e}

\Gamma est la fonction gamma incomplète et e la base du logarithme népérien.

!n = \left [ \frac {n!}{e} \right ]

Où [x] désigne l'entier le plus proche de x

!n = !(n-1)\;n + (-1)^n
!n = (n-1)\;(!(n-1)+!(n-2))
!n = (n-1)\; a_{n-2} avec \;a_0 = a_1 = 1 et a_n = n\;a_{n-1} + (n-1)\;a_{n-2} (suite A000255 de l'OEIS)

Les premières valeurs de cette fonction sont :

!1 = 0
!2 = 1
!3 = 2
!4 = 9
!5 = 44
!6 = 265
!7 = 1854
!8 = 14833
!9 = 133496
!10 = 1334961
!11 = 14684570
!12 = 176214841
!13 = 2290792932

Factorielle de Fibonacci[modifier | modifier le code]

Une factorielle de Fibonacci ou fibonarielle, notée n!_F est définie par[1] :

n!_F=\prod_{k=1}^n F_k, où F_k est un nombre de Fibonacci, avec 0!_F=1

Les plus petites fibonarielles sont : 1, 1, 2, 6, 30, 240, 3 120, 65 520, etc.

Voir suite A003266 de l'OEIS pour davantage de valeurs.

La suite des fibonarielles est asymptotique à une fonction du nombre d'or : n!_F \sim C \frac {\phi^{n . (n+1)/2}} {5^{n/2}},

C est la constante factorielle de Fibonacci C = \prod_{k=1}^\infty (1-a^k), avec a=-\frac{1}{\phi^2} et où \phi est encore le nombre d'or.

Une valeur approchée tronquée de la constante C est 1,226 742 010 720 (voir suite A062073 de l'OEIS pour davantage de décimales).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. mathworld.wolfram.com MathWorld : Fibonorial.

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]