Théorème de Müntz
Le théorème de Müntz-Szász est un résultat fondamental de la théorie de l'approximation, conjecturé en 1912 par Sergeï Bernstein[1] et démontré en 1914 par Herman Müntz[2]. En 1916, Otto Szász l'a étendu à des exposants complexes et en a fourni une preuve plus simple[3].
Pour I un segment quelconque de ℝ, le théorème de Weierstrass assure que toute fonction continue de I dans ℂ est limite uniforme d'une suite de polynômes.
Le théorème de Müntz-Szász est une généralisation du théorème de Weierstrass, dans le cas où le segment I est positif, avec un ensemble d'« exposants de monômes » différent de celui des entiers naturels, mais satisfaisant une condition analogue à celle de la divergence de la série harmonique.
Énoncé
Soient :
- une suite strictement croissante de réels strictement positifs ;
- I = [a, b] avec 0 ≤ a < b ;
- C(I) l'espace vectoriel normé des fonctions continues de I dans (muni de la norme de la convergence uniforme) ;
- F le sous-ensemble des fonctions x ↦ xλn, auxquelles on adjoint, si a = 0, la fonction constante 1.
Alors, les assertions suivantes sont équivalentes :
- F est total dans C(I), (c'est-à-dire que le sous-espace vectoriel qu'il engendre est dense).
- La suite satisfait :
Démonstration du sens indirect
Nous allons démontrer que l'hypothèse est suffisante pour que soit total dans . La preuve suivante[4] (pour I = [0, 1]) nécessite l'hypothèse supplémentaire[5] λn → +∞ mais « a deux avantages distincts par rapport à la majorité des preuves connues du même résultat : elle est à la fois constructive et courte[6]. »
Les hypothèses sont donc : et il suffit (d'après le théorème de Weierstrass) de montrer que pour tout entier m > 0, il existe une suite de fonctions Pn(x), combinaisons linéaires (à coefficients complexes) des xλk, telle que la différence Qn(x) := xm – Pn(x) converge uniformément vers 0 sur [0, 1]. On définit par récurrence une telle suite en posant : On vérifie facilement (par récurrence) que :
- chaque Qn est la différence de xm et d'une combinaison linéaire des xλk pour k ≤ n ;
- en notant ║ ║ la norme de la convergence uniforme sur [0, 1],ou encore, en appliquant le logarithme :
Puisque λn → +∞, on a l'équivalent Par comparaison des séries, on en déduit que ln║Qn║ → –∞, c'est-à-dire ║Qn║ → 0.
Notes et références
- S. Bernstein, « Sur les recherches récentes relatives à la meilleure approximation des fonctions continues par les polynômes », dans Proc. 5th ICM, vol. 1, (lire en ligne), p. 256-266.
- (de) Ch. H. Müntz, « Über den Approximationssatz von Weierstraß », dans C. Carathéodory, G. Hessenberg, E. Landau et L. Lichtenstein , Mathematische Abhandlungen Hermann Amandus Schwarz zu seinem fünfzigjährigen Doktorjubiläum, Springer, (lire en ligne), p. 303-312.
- (de) O. Szász, « Über die Approximation stetiger Funktionen durch lineare Aggregate von Potenzen », Math. Ann., vol. 77, , p. 482-496 (lire en ligne).
- (en) Manfred von Golitschek, « A short proof of Müntz Theorem », J. Approx. Theory, vol. 39, , p. 394-395 (DOI 10.1016/0021-9045(83)90083-7).
- Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions], 1978, th. 15.26, p. 294, donne une démonstration sans cette hypothèse, à l'aide d'un théorème sur la répartition des zéros d'une fonction holomorphe bornée sur un disque.
- (en) José María Almira, « Müntz type theorems I », Surveys in Approximation Theory, vol. 3, , p. 152-194 (arXiv 0710.3570).