Série harmonique

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En mathématiques, la série harmonique est une série de nombres réels. C'est la série des inverses des entiers naturels non nuls. Elle tire son nom par analogie avec la moyenne harmonique de la même façon que les séries arithmétiques et géométriques peuvent être mis en parallèle avec les moyennes arithmétiques et géométriques.

Elle fait partie de la famille plus large des séries de Riemann, qui sont utilisées comme séries de référence : la nature d'une série est souvent déterminée en la comparant à une série de Riemann et en utilisant les théorèmes de comparaison.

Définition[modifier | modifier le code]

Le terme général (u_n) de la série harmonique est défini par

\forall n \in \N^*,\ u_n=\frac{1}{n}

On note classiquement H_n la n-ième somme partielle de la série harmonique, qui est donc égal à

H_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}.

La série harmonique diverge[modifier | modifier le code]

Calcul des premiers termes[modifier | modifier le code]

En calculant les premières sommes partielles de la série harmonique, il apparaît que la suite de nombres obtenus est croissante, mais à croissance lente : on pourrait croire qu'il s'agit d'une série convergente.

Valeur de n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Valeur approchée de Hn 1 1,5 1,8 2,1 2,3 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,25 3,32 3,38 3,44 3,49 3,55 3,60

En fait, la série harmonique diverge, elle tend vers +∞.

Valeur de n 10 102 103 104 105 106 107 108 109
Valeur approchée de Hn 2,9 5,2 7,5 9,8 12,1 14,4 16,7 19,0 21,3

Dans le tableau ci-dessus, à chaque fois qu'on multiplie la valeur de n par 10, il semble qu'on rajoute une constante à Hn, de l'ordre de 2,3 ≃ ln(10). Ce comportement apparent est de type logarithmique en n. C'est bien ce qu'on obtient en faisant une étude asymptotique plus poussée.

Démonstrations de divergence[modifier | modifier le code]

La première démonstration de la divergence de la série harmonique est due à Nicole Oresme, parue dans Questiones super geometriam Euclidis (1360). Elle consiste à remarquer que :

H_4 = 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) \geq 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}
H_8 = 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right) \geq 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} +  \frac{1}{2}

et ainsi de suite, les H d'indice une puissance de 2 augmentant indéfiniment.

On peut aussi utiliser un raisonnement par l'absurde. Si la suite de terme général H_n convergeait vers une limite finie, la suite de terme général H_{2n}, en tant que suite extraite, convergerait vers la même limite, et donc la suite de terme général H_{2n}-H_n convergerait vers 0. Or, on peut minorer les termes de cette suite :

H_{2n}-H_{n} = \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} 
\geq \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{2n}=\frac{1}{2}.

Ainsi, la suite de terme général H_n ne peut converger vers une limite finie. En tant que suite croissante de réels, elle diverge donc vers +\infty.

On peut aussi comparer la série harmonique à une série télescopique bien choisie

v_n = \ln(n+1)-\ln n = \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\underset{+\infty}{\sim} \frac {1}{n}

Alors v_n est le terme général d'une série divergente, à termes positifs, donc par comparaison la série harmonique diverge elle aussi.

On peut aussi montrer le résultat à l'aide de la méthode de comparaison série-intégrale (c'est un peu ce qui est caché, d'ailleurs dans le choix « judicieux » de la série télescopique).

Développement asymptotique de Hn[modifier | modifier le code]

Tous les termes du développement asymptotique peuvent s'obtenir par la méthode de comparaison série-intégrale.

Équivalent de Hn[modifier | modifier le code]

\int_1^6\frac1t\mathrm dt\le H_5

On utilise l'encadrement suivant, lié à la décroissance de la fonction inverse

\int_n^{n+1}\frac1t\mathrm dt\le\frac1n\le\int_{n-1}^n\frac1t\mathrm dt.

En sommant de 1 à N l'inégalité de gauche et, pour celle de droite, en sommant de 2 à N et en ajoutant 1, on arrive à

\int_1^{N+1}\frac1t\mathrm dt\le H_N\le1+\int_1^N\frac1t\mathrm dt.

Puis, en calculant les deux membres et en constatant qu'ils sont tous deux équivalents à \ln N, on obtient :

 H_N \underset{+\infty}{\sim} \ln(N)

Second terme du développement asymptotique[modifier | modifier le code]

La suite \ (H_n-\ln (n)) admet une limite finie qui est traditionnellement notée \gamma et appelée constante d'Euler. On a donc la formule d'Euler

\ H_n = \ln (n)+\gamma +o(1),

Les 25 premiers chiffres du développement décimal de la constante d'Euler sont :

\gamma \simeq 0,5772156649015328606065120...

Pour la démonstration de la formule d'Euler, et la généralisation à d'autres séries, voir l'article comparaison série-intégrale.

Termes suivants du développement asymptotique[modifier | modifier le code]

La méthode est détaillée dans l'article comparaison série-intégrale ; les premiers termes du développement sont

\sum_{k=1}^n \frac1k= \ln(n)+\gamma+\frac1{2n}-\frac1{12n^2}+\frac1{120n^4}-\frac1{252n^6}+\frac1{240n^8}-\frac1{132n^{10}}+
O\left(\frac1{n^{12}}\right)

La série harmonique alternée[modifier | modifier le code]

Le terme général (u_n) de la série harmonique alternée est définie par

\forall n \in \N^*,\ u_n=\frac{(-1)^n}{n}

C'est donc une variante de la série harmonique. L'alternance des signes change tout puisque cette série converge, par le critère de convergence des séries alternées. On peut se servir de l'étude effectuée avec la série harmonique pour déterminer la nature et la somme de la série harmonique alternée.

En séparant termes pairs et impairs dans le calcul des sommes partielles, et en appliquant la formule d'Euler précédente, on prouve que la série harmonique alternée converge et a pour somme

-\ln 2 = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n}=-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{(-1)^n}{n}+\cdots

Démonstration détaillée : on décompose les sommes partielles d'ordre pair

\sum_{n=1}^{2N} \frac1{n}=\sum_{p=1}^{N} \frac{1}{2p}+\sum_{p=0}^{N-1} \frac{1}{2p+1}
\sum_{n=1}^{2N} \frac{(-1)^n}{n}=\sum_{p=1}^{N} \frac{1}{2p}-\sum_{p=0}^{N-1} \frac{1}{2p+1} =2\sum_{p=1}^{N} \frac{1}{2p}-\sum_{n=1}^{2N} \frac1{n}=H_N-H_{2N}

Une formule d'Euler pour chaque terme

\sum_{n=1}^{2N} \frac{(-1)^n}{n}=\ln N+\gamma+o(1)-(\ln 2N+\gamma+o(1)) =-\ln 2+o(1)

Pour conclure il faut encore signaler que si on prend une somme partielle d'ordre impair, elle a aussi pour limite - ln 2 (on ajoute en effet à la somme d'ordre pair précédente un terme qui tend vers 0).

Variante  : on peut utiliser la série de Mercator en \scriptstyle x=1 :

\forall x\in]-1,1],\quad\ln(1 + x)=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}.

Série harmonique et entier naturel[modifier | modifier le code]

Pour tout entier n \geq 2, H_n n'est jamais entier.

Plus généralement, d'après le théorème de Kürschák, la seule somme d'inverses d'entiers naturels consécutifs qui soit entière est H_1.

Représentation sous forme d'intégrale[modifier | modifier le code]

La série harmonique peut aussi se calculer à partir d'une intégrale simple, et par ce biais on peut obtenir un prolongement analytique sur \R :

H_n = \int_0^1 \frac{x^n-1}{x-1}\,\mathrm{d}x (en effet, comme le montre l'article Série géométrique, on a \frac{x^n-1}{x-1}=1+x+x^2+\dots+x^{n-1}).

Articles connexes[modifier | modifier le code]