Test de condensation de Cauchy

En analyse mathématique, le test de condensation de Cauchy, démontré par Augustin Louis Cauchy, est un critère de convergence pour les séries : pour toute suite réelle positive décroissante (a_n), on a

$S:=\sum _{n\geq 1}a_{n}<+\infty {\text{ si et seulement si }}T:=\sum _{k\geq 0}2^{k}a_{2^{k}}<+\infty$

et plus précisément

$S\leq T\leq 2S$.

Exemples d'applications

Pour tout réel positif α,

• la série de Riemann$\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{\alpha }}}$a même comportement que sa « série condensée »$\sum _{k\geq 0}2^{k}{\frac {1}{(2^{k})^{\alpha }}}=\sum _{k\geq 0}(2^{1-\alpha })^{k}.$Cette dernière est une série géométrique, qui converge si et seulement si α > 1.
  Pour α = 1, c'est la preuve par Oresme de la divergence de la série harmonique ;
• la série de Bertrand$\sum _{n\geq 2}{1 \over n\,(\ln n)^{\alpha }}$converge si et seulement si sa « condensée »$\sum _{k\geq 1}{2^{k} \over 2^{k}\,(\ln(2^{k}))^{\alpha }}=\sum _{k\geq 1}{1 \over (k\ln 2)^{\alpha }}$converge, c'est-à-dire (d'après l'étude de la série de Riemann) si α > 1 ;
• il en est de même pour la série$\sum _{n\geq 3}{1 \over n\,\ln n\,(\ln \ln n)^{\alpha }},$etc.

Généralisation

On peut remplacer les puissances de 2 par celles de n'importe quel entier strictement supérieur à 1. Plus généralement, Jan Cornelis Kluyver (de) a montré en 1909 que pour toute suite réelle positive décroissante (a_n), les séries

$\sum a_{n},\quad \sum (n_{k+1}-n_{k})a_{n_{k}},\quad \sum (n_{k}-n_{k-1})a_{n_{k}}\quad {\rm {et}}\quad \sum N_{k}a_{n_{k}}$

sont simultanément convergentes ou divergentes, pour toutes suites d'entiers positifs (n_k) et (N_k) telles que (n_k) soit strictement croissante et ((n_k+1 – n_k)/N_k) et (N_k+1/N_k) soient bornées. (Schlömilch avait établi le cas particulier n_k = k², N_k = k.)