Test de condensation de Cauchy

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
Aller à : navigation, rechercher

En analyse mathématique, le test de condensation de Cauchy, dû à Augustin Louis Cauchy[1], est un critère de convergence pour les séries : pour toute suite réelle positive décroissante (an), on a

et plus précisément

Démonstration[modifier | modifier le code]

En groupant les termes par « paquets de taille 2k » (comme dans la preuve par Oresme de la divergence de la série harmonique), on a d'une part

et d'autre part

Exemples d'applications[modifier | modifier le code]

Pour tout réel positif α,

  • la série de Riemanna même comportement que sa « série condensée »Cette dernière est une série géométrique, qui converge si et seulement si α > 1 ;
  • la série de Bertrandconverge si et seulement si sa « condensée »converge, c'est-à-dire (d'après l'étude de la série de Riemann) si α > 1 ;
  • il en est de même pour la sérieetc[2].

Généralisation[modifier | modifier le code]

On peut remplacer les puissances de 2 par celles de n'importe quel entier strictement supérieur à 1[2]. Plus généralement, Jan Cornelis Kluyver (de)[3] a montré en 1909[4] que pour toute suite réelle positive décroissante (an), les séries

sont simultanément convergentes ou divergentes, pour toutes suites d'entiers positifs (nk) et (Nk) telles que (nk) soit strictement croissante et ((nk+1nk)/Nk) et (Nk+1/Nk) soient bornées. (Schlömilch avait établi[5] le cas particulier nk = k2, Nk = k.)

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. A.-L. Cauchy, Cours d'Analyse (en), 1821 — Œuvres complètes, 2e série, t. 3, 1897, chap. VI, § 2 [lire en ligne].
  2. a et b Émile Borel, Leçons sur les séries à termes positifs, Gauthier-Villars, (lire en ligne), p. 3-6.
  3. (en) « Jan Cornelis Kluyver », sur proofwiki.org.
  4. Thorild Dahlgren (sv), Sur le théorème de condensation de Cauchy, Lund, (lire en ligne), chap. III, p. 48-49.
  5. (de) O. Schlömilch, « Ueber die gleichzeitige Convergenz oder Divergenz zweier Reihen », Zeitschr. f. Math. u. Phys., vol. 18, no 4,‎ , p. 425-426 (lire en ligne).