Formule intégrale de Cauchy

Pour les articles homonymes, voir Cauchy.

La formule intégrale de Cauchy est un point essentiel de l'analyse complexe. Elle exprime le fait que la valeur en un point d'une fonction holomorphe est complètement déterminée par les valeurs qu'elle prend sur un chemin fermé contenant (c'est-à-dire entourant) ce point. Elle peut aussi être utilisée pour exprimer sous forme d'intégrales toutes les dérivées d'une fonction holomorphe.

Expression

Supposons que U soit un ouvert connexe du plan complexe $\mathbb C$, que $f:U\rightarrow \mathbb C$ soit une fonction holomorphe sur U. Soit $\gamma$ un chemin fermé inclus dans U, soit enfin z n'appartenant pas à ce chemin. On a alors la formule suivante:

$f(z)\cdot Ind_\gamma (z) = {1 \over 2\pi i} \int_\gamma {f(\xi) \over \xi-z}\, d\xi$

où $Ind_\gamma (z)$ désigne l'indice du point $z$ par rapport au chemin $\gamma$. Cette formule est particulièrement utile dans le cas où $\gamma$ est un cercle C orienté positivement, contenant z et inclus dans U. En effet, l'indice de $z$ par rapport à C vaut alors $1$, d'où :

$f(z) = {1 \over 2\pi i} \int_C {f(\xi) \over \xi-z}\, d\xi$

Principale conséquence

Montrons que ceci implique que f est développable en série entière sur U : soit $a\in U$, $r>0$ tel que$D(a,r)\subset U$.

Soit $z\in D(a,r)$, et $\gamma$ le cercle de centre a et de rayon r orienté positivement paramétré par $\theta\in[0,2\pi]$.

On a pour tout $\theta\in[0,2\pi]$ : $\left|\frac{z-a}{\gamma(\theta)-a}\right|=\frac{|z-a|}{r}<1$,
ce qui prouve la convergence uniforme sur $[0,2\pi]$ de la série de terme général $\frac{(z-a)^n}{(\gamma(\theta)-a)^{n+1}}$ vers

$\frac{1}{\gamma(\theta)-a}\cdot\frac{1}{1-\frac{z-a}{\gamma(\theta)-a}}=\frac{1}{\gamma(\theta)-z}$,

et comme $f\circ \gamma$ est continue sur $[0,2\pi]$ compact, donc bornée, on a convergence uniforme de la série

$\sum_{n=0}^\infty f(\gamma(\theta))\cdot\frac{(z-a)^n}{(\gamma(\theta)-a)^{n+1}}$ sur $[0,2\pi]$,
ce qui permet d'effectuer une inversion des signes somme et intégrale : on a ainsi pour tout z dans D(a,r):

$f(z) = \sum _{n=0}^\infty c_n(z-a)^n$ avec $c_n= {1 \over 2\pi i} \int_\gamma {f(\xi) \over (\xi-a)^{n+1}}\, d\xi$

et donc f est analytique sur U. On a supposé dans la démonstration que U était connexe, mais le fait d'être analytique étant une propriété locale, on peut généraliser l'énoncé précédent et affirmer que toute fonction holomorphe sur un ouvert U quelconque est analytique sur U.

On remarque aussi que, en donnant une expression aux coefficients du développement de f, cette formule explicite les dérivées n-ièmes de f en a:

$f^{(n)}(a) = {n! \over 2\pi i} \int_\gamma {f(\xi) \over (\xi-a)^{n+1}}\, d\xi$.

Démonstration de la formule

Pour montrer la formule en un $z_0$ donné, on définit une fonction $g$ par :

$g(z)=\begin{cases} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}, & \text{si }z\neq z_0 \\ f'(z_0), & \text{si }z=z_0.\end{cases}$

Cette fonction $g$ est holomorphe sur $U$.

En effet, $g$ est clairement holomorphe sur $U$ privé de $z_0$. De plus,

$\frac{g(z)-g(z_0)}{z-z_0}=\frac{f(z)-f(z_0)-f'(z_0)(z-z_0)}{(z-z_0)^2}$ tend vers $f''(z_0)$ lorsque $z$ tend vers $z_0$, donc $g$ est aussi holomorphe en $z_0$.

Il suffit alors de lui appliquer le théorème intégral de Cauchy et de développer le résultat obtenu.

Autres conséquences

Cette formule a de nombreuses applications, outre le fait de montrer que toute fonction holomorphe est analytique, et permet notamment de montrer le principe du maximum et le théorème des résidus.

Article connexe

Intégrale de contour (en)