Formule intégrale de Cauchy

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La formule intégrale de Cauchy est un point essentiel de l'analyse complexe. Elle exprime le fait que la valeur en un point d'une fonction holomorphe est complètement déterminée par les valeurs qu'elle prend sur un chemin fermé contenant (c'est-à-dire entourant) ce point. Elle peut aussi être utilisée pour exprimer sous forme d'intégrales toutes les dérivées d'une fonction holomorphe.

Expression[modifier | modifier le code]

Soient

On a alors la formule suivante :

f(z)\cdot Ind_\gamma (z) = {1 \over 2\pi i} \int_\gamma {f(\xi) \over \xi-z}~\mathrm d\xi

Indγ(z) désigne l'indice du point z par rapport au chemin γ. Cette formule est particulièrement utile dans le cas où γ est un cercle C orienté positivement, contenant z et inclus dans U. En effet, l'indice de z par rapport à C vaut alors 1, d'où :

f(z) = {1 \over 2\pi i} \int_C {f(\xi) \over \xi-z}~\mathrm d\xi.

Cette formule montre que la valeur en un point d'une fonction holomorphe est entièrement déterminée par les valeurs de cette fonction sur n'importe quel cercle entourant ce point ; un résultat analogue, la propriété de la moyenne (en), est vraie pour les fonctions harmoniques.

Principale conséquence[modifier | modifier le code]

Montrons que ceci implique que f est développable en série entière sur U : soit a\in U, r>0 tel que D(a,r)\subset U.

Soit z\in D(a,r), et \gamma le cercle de centre a et de rayon r orienté positivement paramétré par \theta\in[0,2\pi].

On a pour tout \theta\in[0,2\pi] : \left|\frac{z-a}{\gamma(\theta)-a}\right|=\frac{|z-a|}{r}<1,
ce qui prouve la convergence uniforme sur [0,2\pi] de la série de terme général \frac{(z-a)^n}{(\gamma(\theta)-a)^{n+1}} vers

\frac{1}{\gamma(\theta)-a}\cdot\frac{1}{1-\frac{z-a}{\gamma(\theta)-a}}=\frac{1}{\gamma(\theta)-z},

et comme f\circ \gamma est continue sur [0,2\pi] compact, donc bornée, on a convergence uniforme de la série

\sum_{n=0}^\infty f(\gamma(\theta))\cdot\frac{(z-a)^n}{(\gamma(\theta)-a)^{n+1}} sur [0,2\pi],
ce qui permet d'effectuer une inversion des signes somme et intégrale : on a ainsi pour tout z dans D(a,r):

f(z) = \sum _{n=0}^\infty c_n(z-a)^n avec c_n= {1 \over 2\pi i} \int_\gamma {f(\xi) \over (\xi-a)^{n+1}}\, d\xi

et donc f est analytique sur U. On a supposé dans la démonstration que U était connexe, mais le fait d'être analytique étant une propriété locale, on peut généraliser l'énoncé précédent et affirmer que toute fonction holomorphe sur un ouvert U quelconque est analytique sur U.

De la formule de Taylor réelle (et du théorème du prolongement analytique), on peut identifier les coefficients de la formule de Taylor avec les coefficients précédents et obtenir ainsi cette formule explicite des dérivées n-ièmes de f en a:

f^{(n)}(a) = {n! \over 2\pi i} \int_\gamma {f(\xi) \over (\xi-a)^{n+1}}\, d\xi.

Démonstration de la formule[modifier | modifier le code]

On définit une fonction g par :

g(\xi)=\begin{cases} \frac{f(\xi)-f(z)}{\xi-z}& \text{si }\xi\neq z,\\ f'(z)& \text{si }\xi=z.\end{cases}

Cette fonction est continue sur U et holomorphe sur U\{z0}. On peut donc lui appliquer le théorème intégral de Cauchy :

\int_\gamma g(\xi)~\mathrm d\xi=0.

En remplaçant g(ξ) par sa valeur et en utilisant l'expression intégrale de l'indice, on obtient le résultat voulu.

Autres conséquences[modifier | modifier le code]

Cette formule a de nombreuses applications, outre le fait de montrer que toute fonction holomorphe est analytique, et permet notamment de montrer le théorème des résidus.

Article connexe[modifier | modifier le code]

Méthodes de calcul d'intégrales de contour (en)

Référence[modifier | modifier le code]

Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]