Théorème de Cauchy (groupes)

Pour les articles homonymes, voir Théorème de Cauchy.

En mathématiques, le théorème de Cauchy fournit l'existence d'éléments d'ordre diviseur premier du cardinal d'un groupe fini. Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien Augustin Louis Cauchy.

Théorème de Cauchy — Soit G un groupe fini et p un diviseur premier du cardinal n de G. Alors il existe dans G au moins un élément d'ordre p.

Démonstration

Comme $p$ est premier, il suffit de montrer l'existence d'un élément $\zeta$ non neutre tel que ${\zeta}^{p}=e$. On pose

$E= \{(g)=(g_1,\ldots,g_p) \in G^p\ /\ g_1\cdot g_2\cdots g_p = e \}.$

$E$ est en bijection avec $G^{p-1}$:

Remarquons alors que

$(g_1,\ldots,g_p) \in E \Rightarrow g_2\cdots g_p \cdot g_1=e .$

On peut donc définir $\sigma: E \rightarrow E,\ (g_1,\ldots,g_p) \rightarrow (g_2,\ldots,g_p,g_1)$ qui engendre un groupe de permutations circulaires $\sigma^{\mathbb N} = \{\sigma^1,\dots,\sigma^p \}$ agissant sur $E$ via $\phi: \Z/p\Z \times E \rightarrow E,\ ( \bar k,(g_1,\dots,g_p)) \rightarrow (g_{1+k\mod p},\dots,g_{p+k\mod p})$.

Les orbites $\Z/p\Z \cdot (g)$ de $\phi$ sont de cardinaux divisant $p$,et elles partitionnent $E$ avec $a$ le nombre d'orbites réduites à un élément et $b$ celui des orbites à $p$ éléments, il est donc clair que

$a + pb =\# E=n^{p-1}.$

Par suite $p$ divise $a$, donc $a$ est strictement plus grand que 1. Il existe donc un élément $(h_1,...,h_p)\in E$ autre que $(e,\dots,e)$ tel que

$(h_1,\dots,h_p)=(h_2,\dots,h_1)=\dots=(h_p,\dots,h_{p-1})$

c'est-à-dire

$h_1=h_2=\dots=h_p.$

Finalement

$h_1 \cdots h_p= h_1 \cdots h_1=h_1^p=e.$

Ceci achève la preuve.

Remarque. Cette démonstration est due à James McKay. (James McKay, « Another proof of Cauchy's group theorem », American Mathematical Monthly, vol. 66 (1959), p. 119.)

Remarque: L'égalité $a + pb =\# E=n^{p-1}$ prouve un peu plus: Si on appelle $q$ le nombre d'éléments d'ordre $p$, on a $a=1+q$ et de l'égalité ci-dessus on déduit que "le nombre d'éléments d'ordre $p$ est congru à -1 modulo $p$."

Voir aussi

• Théorèmes de Sylow

Liens externes

• (en) Une démonstration du théorème de Cauchy par récurrence sur l'ordre du groupe
• (en) Quelques applications du théorème de Cauchy