Fonction W de Lambert

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Les deux branches de la fonction de Lambert sur l'ensemble ]– 1/e , +∞, [.

En mathématiques, et plus précisément en analyse, la fonction W de Lambert, nommée ainsi d'après Jean-Henri Lambert, et parfois aussi appelée la fonction Oméga, est la réciproque de la fonction de variable complexe f définie par f(w) = w e^w, c'est-à-dire que pour tous nombres complexes z et w, nous avons :

 z = w e ^ w \; \Longleftrightarrow \; w = W(z).

Puisque la fonction f n'est pas injective, W est une fonction multivaluée ou « multiforme » qui comprend deux branches pour les valeurs réelles x\geqslant -\frac1e. Une des branches, la branche principale, W_0 peut être prolongée analytiquement en dehors de ]−∞, – 1/e]. Pour tout nombre complexe z ∉ ]−∞, – 1/e], on a :

W_0(z) e^{W_0(z)} = z\,

.

Historique[modifier | modifier le code]

Lambert s'est intéressé à l'équation connue sous le nom d'équation transcendante de Lambert en 1758[1], ce qui conduisit à une note de Leonhard Euler en 1783[2] qui discutait le cas particulier de wew. La première description de la fonction W semble due à George Pólya et Gábor Szegő en 1925[3]. La fonction de Lambert fut « redécouverte » tous les dix ans environ dans des applications spécialisées, mais son importance ne fut pas vraiment appréciée avant les années 1990. Lorsqu'il fut annoncé que la fonction de Lambert donnait une solution exacte aux valeurs propres de l'énergie du système quantique correspondant au modèle décrit par l'opérateur de Dirac à puits double pour le cas de charges égales — un problème physique fondamental —, Corless et d'autres développeurs du système Maple firent une recherche bibliographique et découvrirent que cette fonction apparait un peu partout dans des applications pratiques[4].

Branches de la « fonction » de Lambert[modifier | modifier le code]

Représentation graphique de la branche W_0 de la fonction W de Lambert.
La partie supérieure de la courbe (y > −1) est la branche W_0 ; la partie inférieure (y < −1) est la branche W_{-1} définie pour x < 0.

Si nous nous limitons aux arguments réels x ≥ − 1/e, il existe une fonction et une seule W_0 à valeurs réelles \ge -1 telle que

x=f(W_0(x));
x=W_0(x)e^{W_0(x)};

c'est la branche principale de W dans ce domaine. La représentation graphique de W_0 figure à droite (on note généralement W_{-1} l'autre branche à valeurs réelles, c'est-à-dire la branche correspondant aux arguments x tels que -1/e\le x<0, et à valeurs \le -1).

Propriétés élémentaires[modifier | modifier le code]

Expression de eW(y)[modifier | modifier le code]

On a : W(y)e^{W(y)}=y, donc, si W désigne une des deux branches W_0 ou W_{-1} :

Si y ≠ 0, {e^{W(y)}}=\frac{y}{W(y)}.

Identités remarquables[modifier | modifier le code]

Qui découlent de la définition :

Qui découlent de l'inversion de f(ln(x)) :

  • W(x \cdot \ln x) = \ln x
  • W(x \cdot \ln x) = W(x) + \ln W(x)

Avec la tétration infinie d'Euler h(x) :

  • h(x) = \frac{W(-\ln(x))}{-\ln(x)}

Valeurs particulières[modifier | modifier le code]

Voici quelques valeurs remarquables de W, obtenues simplement en remarquant que f(0)=0, f(1)=e, f(-1)=-1/e, etc. :

  • W_0(0)=0\,
  • W_0(e)=1\,

On peut bien sûr obtenir de même des valeurs complexes de W (x) pour certains x< − 1/e; ainsi W\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\pm\frac{i\pi}{2}

La « fonction » W de Lambert ne peut pas être exprimée à l'aide de fonctions élémentaires.

Dérivée[modifier | modifier le code]

Si W désigne une des deux branches W_0 ou W_{-1}, la formule de dérivation des bijections réciproques montre que sa dérivée est :

pour \,x\neq -\frac1e, \quad W'(x)=\frac{1}{(1+W(x))e^{W(x)}}=\frac{1}{x+e^{W(x)}}\,
pour x ≠ 0 et \,x\neq -\frac1e, \quad W'(x)=\frac{W(x)}{x(1+W(x))},\qquad W_0'\left(0\right) = 1\,

ce qui a pour conséquence que chacune des deux branches de W satisfait l'équation différentielle :

x(1 + W) \frac{\mathrm dW}{\mathrm dx} = W pour x ≠ − 1/e ;

cette équation est d'ailleurs à variables séparables, et ses autres solutions sont toutes de la forme x\mapsto W(kx).

Primitives[modifier | modifier le code]

La fonction W (désignant une des deux branches W_0 ou W_{-1}), et beaucoup de fonctions impliquant W, peuvent être intégrées en utilisant le changement de variable w = W(x), i.e. x = we^w :


\int W(x)\,\mathrm dx = xW(x) -x +e^{W(x)} +C =
x \left( W(x) - 1 + \frac{1}{W(x)} \right) 
+ C

Méthodes de calcul de W0[modifier | modifier le code]

Par la série de Taylor[modifier | modifier le code]

Représentation de la branche principale W_0 de la fonction de Lambert dans le plan complexe (le code des couleurs utilisé est commenté précisément au début de l'article « Fonction zêta »).

La série de Taylor de W_0 au voisinage de 0 peut être obtenue par l'utilisation du théorème d'inversion de Lagrange et est donnée par


W_0 (x) =
\sum_{n=1}^\infty 
\frac{(-n)^{n-1}}{n!}\ x^n= x - x^2 + \frac 32 x^3 - \frac 83 x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \dotsb.

Le rayon de convergence est égal à 1/e. Cette série peut être prolongée en une fonction holomorphe définie en tout nombre complexe n'appartenant pas à l'intervalle réel ]−∞, – 1/e] ; cette fonction holomorphe est aussi appelée la branche principale de la fonction W de Lambert.

Comme limite d'une suite[modifier | modifier le code]

On peut calculer W_0(x) de manière itérative, en commençant avec une valeur initiale w_0 égale à 1 et en calculant les termes de la suite

w_{n+1}=xe^{-w_n}.

Si cette suite converge, on voit aisément que sa limite est W_0(x). On démontre que c'est en effet le cas si x \in [-e^{-1};e] :

\lim_{n\to+\infty}w_n =W_0(x).

Il est moins simple, mais beaucoup plus efficace, d'utiliser la méthode de Newton, partant de w_0=1, et posant

w_{n+1}=w_n-\frac{w_ne^{w_n} - x}{(1+w_n)e^{w_n}}\ ;

cette suite converge (très rapidement) vers W_0(x) pour tout x>1/e.

Développements asymptotiques de W0[modifier | modifier le code]

On a, pour x tendant vers +\infty, le développement asymptotique à trois termes suivant[7] :

W_0(x)=\ln x-\ln \ln x+\frac{\ln\ln x}{\ln x}+O\left(\left(\frac{\ln\ln x}{\ln x}\right)^2\right).

On a pour x tendant vers -1/e, le développement asymptotique de W_0 :

W_0(x)=\sqrt{2(e x+1)}-1 + o\left(\sqrt{x+\frac1e}\right).

Utilisation[modifier | modifier le code]

Beaucoup d'équations impliquant des exponentielles peuvent être résolues par l'utilisation de la fonction W. La stratégie générale est de déplacer toutes les instances de l'inconnue d'un côté de l'équation et de le faire ressembler à xe^x. À ce point la « fonction » W nous fournit les solutions :

  X e ^ X = Y \; \Longleftrightarrow \; X = W(Y)

(chaque valeur différente de la « fonction » W donne une solution différente).


Exemple 1[modifier | modifier le code]

Par exemple, pour résoudre l'équation 2^t = 5t, nous divisons par -\frac5{\ln 2}2^t pour obtenir  \frac{-\ln 2}{5}= -\ln(2)t e^{-\ln(2)t}. L'application de la « fonction » W donne alors −ln(2)t = W( −ln(2)/5), soit t = -\frac{W(-\ln(2)/5)}{\ln(2)}.

Comme -\frac{\ln 2}5<0, cette formule donne deux solutions réelles : t_0= -\frac{W_0(-\ln(2)/5)}{\ln(2)} et t_1= -\frac{W_{-1}(-\ln(2)/5)}{\ln(2)}.

Exemple 2[modifier | modifier le code]

Avec la « fonction » W de Lambert, on peut résoudre des équations du type x^x=z par :

\ln z=x\ln x=e^{\ln x}\,\ln x\Longleftrightarrow \ln(x)=W(\ln z),

donc

x=e^{W(\ln z)}=\frac{\ln(z)}{W(\ln z)}

Les solutions de l'équation : x \log_b \left(x\right) = a, équivalente à x^x=b^a,

sont données avec la « fonction » W de Lambert : x = e^{W(a \ln(b))}= \frac{a \ln(b)}{W(a \ln(b))}.

Exemple 3[modifier | modifier le code]

Quand une tétration complexe infinie converge : z^{z^{z^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}} \!, la « fonction » W de Lambert fournit la valeur de la limite réelle comme : c=e^{W(-\ln(z))}=\frac{W(-\ln(z))}{-\ln(z)}

où ln(z) représente la branche principale de la fonction logarithme complexe.

Exemple 4[modifier | modifier le code]

La bijection réciproque de g : x\mapsto x+e^x peut être obtenue explicitement : résolvant l'équation g(x)=x+e^x=y, on remarque d'abord qu'elle équivaut, en posant X=e^x, à Xe^X=e^y, et donc X=W_0(e^y), soit :

x=g^{-1}(y)=\ln W_0(e^y)=y-W_0(e^y).

Exemple 5[modifier | modifier le code]

La solution pour connaître la valeur du courant dans un circuit en série de diode/résistance peut être donnée par la fonction W de Lambert. Voir la modélisation d'une diode (en).

Diverses formules[modifier | modifier le code]

\int_{0}^{\pi} W_0\bigl( 2\cot^2(x) \bigr)\sec^2(x)\;\mathrm dx = 4\sqrt{\pi} (intégrale de Gauss en coordonnées polaires)

On obtient alors par changements de variable les égalités remarquables :

\int_{0}^{+\infty} W_0\left(\frac{1}{x^2}\right)\;\mathrm dx = \sqrt{2\pi}

\int_{0}^{+\infty} \frac{W_0(x)}{x\sqrt{x}}\mathrm dx = 2\sqrt{2\pi}.

Représentations[modifier | modifier le code]

Généralisations[modifier | modifier le code]

La fonction W de Lambert fournit des solutions exactes aux équations « algébriques-transcendantes » (en x) de la forme:

 e^{-c x} = a_o (x-r) ~~\quad\qquad\qquad\qquad\qquad(1)

ou a0, c et r sont des constantes réelles. La solution est  x = r + W( c e^{-c r}/a_o )/c.

Les généralisations de la fonction W de Lambert[8],[9],[10] incluent :

 e^{-c x} = a_o (x-r_1 ) (x-r_2 ) ~~\qquad\qquad(2)
r1 et r2 sont des constantes réelles, les racines du polynôme quadratique. Dans ce cas, la solution est une fonction avec un seul argument x mais les termes comme ri et ao sont des paramètres de la fonction. De ce point de vue, la généralisation ressemble à la série hypergéométrique et la fonction de Meijer G mais appartient pourtant à une « classe » différente de fonctions. Quand r1 = r2, chaque côté de (2) peut être factorisé et réduit à (1) et donc la solution se réduit à celle de la fonction standard de W.

L'équation (2) est celle gouvernant le champ d'un dilaton - par lequel est dérivée la métrique du système gravitationnel de deux corps dans les dimensions 1+1 (c’est-à-dire une dimension spatiale et une dimension temporelle) pour le cas des masses (au repos) inégales - ainsi que les valeurs propres de l'énergie du système quantique qui consiste du modèle décrit par l'opérateur de Dirac à puits double pour le cas de charges inégales en une dimension.

  • les solutions analytiques pour les valeurs propres de l'énergie d'un cas spécial de la version quantique du problème des trois corps, c’est-à-dire l’ion hydrogène moléculaire (en trois dimensions)[12].

La partie de droite de (1) (ou (2)) est maintenant un quotient de « polynômes » d'ordre infini en x :

 e^{-c x} = a_o \frac{\prod_{i=1}^{\infty} (x-r_i )}{ \prod_{i=1}^{\infty} (x-s_i)} \qquad \qquad\qquad(3)
ri et si sont des constantes réelles distinctes et x est une fonction de la valeur propre de l'énergie et la distance internucléaire R. L'équation (3) avec ces cas spécialisés et exprimés dans (1) et (2) correspond à une classe considérable d'équations à délai différentiel.

Les applications de la fonction W de Lambert dans les problèmes de la physique fondamentale ne sont pas épuisées même pour le cas standard exprimé dans (1), comme on vient de le voir dans les domaines de la physique atomique et moléculaire, ainsi qu'en optique[13].

Notes[modifier | modifier le code]

  1. (la) J. H. Lambert, « Observationes variae in mathesin puram », Acta Helveticae physico-mathematico-anatomico-botanico-medica, vol. III,‎ 1758, p. 128-168 (lire en ligne).
  2. (la) L. Euler, « De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus », Acta Acad. Scient. Petropol., vol. 2,‎ 1783, p. 29-51, réimprimée dans (la) L. Euler, Opera Omnia, Series Prima, vol. 6 : Commentationes Algebraicae, Leipzig, Teubner,‎ 1921 (lire en ligne), p. 350-369.
  3. (en) George Pólya et Gábor Szegő, Aufgaben und Lehrsätze der Analysis, Berlin, Springer-Verlag,‎ 1925.
  4. (en) R. M. Corless, G. H. Gonnet, D. E. G. Hare et D. J. Jeffrey, « Lambert's W function in Maple », The Maple Technical Newsletter (MapleTech), vol. 9,‎ 1993, p. 12-22.
  5. (en) http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/ProductLog/17/01/0001/
  6. (en) http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html
  7. On trouvera beaucoup plus de termes de ce développement dans (en) Trott, « Lambert W-Function », MathWorld
  8. (en) T. C. Scott et R. B. Mann, « General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function », AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 17, no 1,‎ avril 2006, p. 41-47 (lire en ligne)
  9. (en) T. C. Scott, G. Fee et J. Grotendorst, « Asymptotic series of Generalized Lambert W Function », SIGSAM (ACM Special Interest Group in Symbolic and Algebraic Manipulation), vol. 47, no 185,‎ 2013, p. 75–83 (lire en ligne)
  10. T. C. Scott, G. Fee, J. Grotendorst et W.Z. Zhang, « Numerics of the Generalized Lambert W Function », SIGSAM, vol. 48, no 2,‎ 2014, p. 42–56 (lire en ligne)
  11. (en) P. S. Farrugia, R. B. Mann et T. C. Scott, « N-body Gravity and the Schrödinger Equation », Class. Quantum Grav., vol. 24,‎ 2007, p. 4647-4659 (lire en ligne)
  12. (en) T. C. Scott, M. Aubert-Frécon et J. Grotendorst, « New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion », Chem. Phys., vol. 324,‎ 2006, p. 323-338 (lire en ligne)
  13. (en) T. C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini et J. D. Morgan III, « The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions », Phys. Rev. A, vol. 75,‎ 2007, p. 060101 (DOI 10.1103/PhysRevA.75.060101)

Références[modifier | modifier le code]

  • (en) R. M. Corless et al., « On the Lambert W function », Adv. Comput. Math., vol. 5,‎ 1996, p. 329-359 (lire en ligne) ou