Projection gnomonique

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La projection gnomonique transforme les grands cercles en droites

En géométrie et en cartographie, une projection gnomonique est une projection cartographique azimutale transformant les grands cercles en lignes droites ; le trajet le plus court entre deux points de la sphère correspond donc à celui sur la carte.

Définition géométrique[modifier | modifier le code]

Projection gnomonique de la Terre centrée au pôle nord
Projection gnomonique équatoriale (centrée sur le méridien de Greenwich)
Projection gnomonique oblique (centrée sur le Japon)

La projection gnomonique de la sphère de centre C sur un de ses plans tangents (au point T) est la transformation qui associe à chaque point A de la sphère l'intersection P de la droite CA avec ce plan. La projection n'est pas définie pour les points du grand cercle parallèle au plan tangent[1] ; en cartographie, on ne représente ainsi que le demi-hémisphère pour lequel A est situé entre C et P. ; on dit que la projection est centrée en T, et c'est en ce point que la déformation de la projection est la plus faible.

Comme chaque grand cercle de la sphère est l'intersection de celle-ci avec un plan passant par le centre, sa projection est l'intersection de ce plan avec le plan tangent, et donc une ligne droite ; c'est en particulier le cas des méridiens et de l'équateur.

  • Si le point de tangence est l'un des pôles (comme sur la projection ci-contre), les méridiens passent par le centre et sont régulièrement espacés ; l'équateur est rejeté à l'infini. Les parallèles deviennent des cercles concentriques
  • Si le point de tangence est sur l'équateur, les méridiens sont des droites parallèles, mais non régulièrement espacées, et l'équateur devient une droite perpendiculaire aux méridiens. Les autres parallèles sont représentés comme des arcs d'hyperboles.
  • Dans les autres cas, les méridiens sont des (demi-)droites partant toutes du pôle, mais non régulièrement espacées ; la droite représentant l'équateur n'est orthogonale qu'à l'un de ces méridiens (ce qui montre que la projection gnomonique n'est pas une transformation conforme) ; enfin, les autres parallèles peuvent, suivant leur position, être représentés par des ellipses, des hyperboles ou des paraboles.

Comme pour toutes les projections azimutales, les angles au point de tangence sont conservés. La distance sur la carte à partir de ce point est une fonction r(d) de la distance réelle d, donnée par

 r(d) = R\,\tan (d/R)\,,

R est le rayon terrestre. L'échelle radiale est :

 r'(d) = \frac{1}{\cos^2(d/R)}

et l'échelle transversale est :

 \frac{1}{\cos(d/R)}\ ;

les deux échelles augmentent en s'éloignant du centre, mais l'échelle radiale augmente plus vite.

Historique et applications[modifier | modifier le code]

La projection gnomonique serait la plus ancienne projection cartographique ; elle aurait été développée par Thalès[réf. nécessaire] au VIe siècle av. J.-C.. La pointe de l'ombre d'un cadran solaire (ou gnomon) trace les mêmes hyperboles que celles formées par les parallèles d'une carte gnomonique, d'où son nom.

Les projections gnomoniques sont utilisées en sismologie, parce que les ondes sismiques tendent à se propager le long de grands cercles. Elles sont aussi utilisées en navigation pour la radiogoniométrie, les signaux radios se propageant également le long de grands cercles. Il en est de même des météorites, c'est pourquoi l'Atlas gnomonique Brno 2000.0 est l'ensemble de cartes stellaires que recommande l'IMO (en) pour les observations visuelles de météorites.

En 1946, Buckminster Fuller breveta une méthode de projection similaire (il s'agit en fait du recollement de plusieurs projections gnomoniques) dans sa version cuboctaédrale de la Dymaxion Map. Il en publia une version icosaédrale en 1954, intitulée AirOcean World Map, qui est celle à laquelle il est le plus souvent fait référence actuellement.

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Il est possible de généraliser cette transformation en ajoutant au plan tangent une droite à l'infini (image de ce grand cercle), le transformant en un plan projectif

Références[modifier | modifier le code]


  • (en) Snyder, John P., Map Projections - A Working Manual. U.S. Geological Survey Professional Paper 1395, United States Government Printing Office, Washington, D.C,‎ 1987 Cet article peut être téléchargé à partir des pages de l'USGS

Liens externes[modifier | modifier le code]