Loxodromie

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Comparaison entre les trajectoires loxodromique (bleue) et orthodromique (rouge) entre Paris et New-York, sur une carte en projection de Mercator
Comparaison entre les trajectoires loxodromique (jaune) et orthodromique (rouge) entre Paris et New-York, sur la sphère terrestre.

Une loxodromie (du grec lox(o)- et -dromie course oblique), (en anglais rhumb line), est une courbe qui coupe les méridiens d'une sphère sous un angle constant. C'est la trajectoire suivie par un navire qui suit un cap constant.

Une route loxodromique est représentée sur une carte marine ou aéronautique en projection de Mercator par une ligne droite mais ne représente pas la distance la plus courte entre deux points. En effet, la route la plus courte, appelée route orthodromique ou orthodromie, est un grand cercle de la sphère.

La loxodromie est une trajectoire à route vraie constante. Elle doit son nom au géomètre portugais Pedro Nunes, qui le premier l'a distinguée d'un cercle (c 1537)[1].

Loxodrome.svg

Navigation loxodromique[modifier | modifier le code]

Le problème posé est celui de la détermination de la route et de la distance loxodromique entre deux points. Il s'agit donc du problème inverse de la navigation à l'estime.

  • si les deux points A et B sont peu éloignés, on peut se contenter de formules approchées (latitude moyenne) :

M\, étant la distance parcourue à la route R_v ou R_f\, , \varphi_A , G_A\, et \varphi_B , G_B\, les coordonnées géographiques (latitude, longitude) des points A et B, et \varphi_m = \frac{\varphi_A + \varphi_B}{2}\, :

\tan R_v = \frac{G_B - G_A}{\varphi_B - \varphi_A} \cos \varphi_m\,
et : M = \frac{\varphi_B - \varphi_A}{\cos R_v}\,
ces formules approchées restent précises à 1 mille marin près pour M < 375\, milles ( rappel : 1 mille = 1 minute d'arc ; soit 1 radian = 180*60/Pi = 3437,746770 minutes ; par ailleurs, il est convenu que la distance correspondant à 1 minute d'arc, s'appelle un mille marin et vaut 40 007,864 km (soit le périmètre polaire de la Terre)/360/60 = 1,852 km.
  • formules exactes (latitudes croissantes de la projection de Mercator) :
\tan R_v = - \frac{G_B - G_A}{\lambda_B - \lambda_A}\,
et : M = \frac{\varphi_B - \varphi_A}{\cos R_v}\,
\lambda \, est appelée la latitude croissante et vaut, en radians :
\lambda = \ln \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{\varphi}{2})\, qui est la fonction de Gudermann inverse.

Les formules exactes ne sont pas valables pour les R_v proches de 90° et 270° car elles conduiraient à une division par zéro. Dans ces cas il est prévu dans les calculs nautiques d'utiliser le sinus pour calculer la distance. (Rfq > 89°). Rf_q étant la route fond par quart, elle est indiquée par un angle variant de 0° à 90° dans un quadrant en partant du nord ou du sud puis en tournant vers l'est ou vers l'ouest de l'angle indiqué.

N89E = 089°; N89W = 271°; S89E = 091°; S89W = 269°

M = -\frac{\left|(G_B - G_A)\right| \cos \varphi_m}{ \sin Rf_q}

Démonstration mathématique[modifier | modifier le code]

Sur le globe terrestre, les loxodromies correspondent (lorsqu'elles ne sont pas « dégénérées », c'est-à-dire lorsque l'angle initial donné n'est pas nul) à des spirales s'enroulant autour du pôle (le pôle Nord si l'angle initial et dans ]0, \pi[ et que le déplacement se fait dans le sens des latitudes croissantes).

Soit à déterminer une équation de la loxodromie et à calculer la longueur parcourue à cap constant \alpha\in\,]0, \pi[.

Références[modifier | modifier le code]

  1. Stevin, Harriot l'ont étudiée (c.1580) : c'est un des premiers cas d'« intégration difficile » connus

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]