Équicontinuité

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En analyse, une famille de fonctions est dite équicontinue si toutes les fonctions sont continues et ont des variations sensiblement équivalentes sur un voisinage donné.

Par exemple, si une suite de fonctions continues converge simplement vers une fonction, cette fonction n'est pas forcément continue (un contre-exemple est donné par la famille de fonctions définies sur [0, 1] par xxn). Cependant, si cette suite est équicontinue, alors on peut conclure que la limite est continue.

Définitions[modifier | modifier le code]

Soit (fi)iI une famille de fonctions de E dans F.

Cas des espaces métriques[modifier | modifier le code]

Dans le cas particulier où E est F sont des espaces métriques, la famille (fi)iI est dite

  • équicontinue au point xE si\forall \varepsilon > 0\quad\exists\delta> 0\quad\forall y\in B(x,\delta)\quad\forall i \in I\quad d(f_i(x),f_i(y))\le\varepsilon,
  • équicontinue si elle est équicontinue en tout point de E,
  • uniformément équicontinue si\forall \varepsilon> 0\quad\exists\delta> 0\quad\forall x\in E\quad\forall y\in B(x,\delta)\quad\forall i\in I\quad d(f_i(x),f_i(y))\le\varepsilon.

À titre de comparaison, la quantification de la phrase suivante : « les fonctions fi sont toutes continues » s'écrit : \forall i\in I\quad\forall x\in E\quad\forall\varepsilon>0\quad\exists\delta>0\quad\forall y\in B\left(x,\delta\right)\quad d\left(f_i(x),f_i(y)\right)\le\varepsilon.

Tout dépend de l'ordre des quantificateurs : pour la continuité, δ dépend de ε, de x et de i. Pour l'équicontinuité, δ dépend seulement de ε et de x, alors que l'équicontinuité uniforme, la plus forte, ne fait dépendre δ que de ε.

Cas général[modifier | modifier le code]

Lorsque E est un espace topologique et F un espace uniforme, la famille (fi)iI est dite

  • équicontinue au point x si :pour tout entourage V de F, il existe un voisinage U de x tel que, pour tout yU et tout iI, (fi(y), fi(x)) ∈ V,
  • équicontinue si elle est équicontinue en tout point de E.
  • Lorsque E est un espace uniforme, la famille est dite uniformément équicontinue si :pour tout entourage V de F, il existe un entourage U de E tel que, pour tout \left( x,x^{\prime }\right) \in U et pour tout iI, \left( f\left( x\right) ,f\left( x^{\prime }\right) \right) \in V.

Dans tout ce qui précède, on peut remplacer la famille (fi)iI par l'ensemble {fi | iI}. On parlera donc d'un ensemble d'applications équicontinu en un point, ou équicontinu, ou uniformément équicontinu.

Interprétation[modifier | modifier le code]

Étant donnée la famille (fi)iI, on peut considérer l'application de l'espace E dans l'ensemble FI qui à tout xE associe la famille (fi(x))iI.

L'équicontinuité (resp. l'équicontinuité uniforme) de la famille (fi)iI équivaut à la continuité (resp. à la continuité uniforme) de cette application de E dans FI lorsqu'on munit FI de la topologie (resp. de la structure uniforme) de la convergence uniforme sur I.

Lorsque E est un espace métrique, cette structure uniforme sur FI est définie par une distance δ donnée par

\delta(u,v)=\min(1,\sup_{i\in I}d(u_i,v_i)).

La continuité de chacune des fi équivaut à la continuité de cette application de E dans FI lorsqu'on munit FI de la topologie de la convergence simple sur I, qui n'est autre que la topologie produit.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Énoncés[modifier | modifier le code]

  1. Si une suite de fonctions est équicontinue et converge simplement alors la limite simple est continue. Plus généralement, si A est un ensemble équicontinu de fonctions de E dans F alors son adhérence dans l'espace produit FE (qui n'est autre que l'espace des applications de E dans F muni de la topologie de la convergence simple) est encore équicontinue.
  2. Si une suite de fonctions est équicontinue et converge simplement sur un sous-ensemble dense de l'espace de départ, et si l'espace d'arrivée est complet, alors la suite converge simplement sur l'espace de départ tout entier (donc la propriété précédente s'applique).
  3. Si une famille de fonctions définies sur un espace compact (muni de sa structure uniforme) est équicontinue, alors elle est uniformément équicontinue (application directe du théorème de Heine, via l'interprétation ci-dessus).
  4. Si une suite de fonctions est équicontinue et converge simplement alors cette convergence est uniforme sur tout compact. Plus généralement, si K est un espace compact et si A est un ensemble équicontinu de fonctions de K dans F alors, sur A, la topologie de la convergence simple et celle de la convergence uniforme coïncident.
  5. Théorème d'Ascoli : si K est un espace compact, F un espace uniforme et A une partie de l'espace des fonctions continues de K dans F (muni de la structure uniforme), alors A est relativement compacte si et seulement si A est équicontinue et pour tout xK, l'ensemble A(x) = {f(x) | fA} est relativement compact dans F.
  6. Soit E un espace topologique (resp. uniforme), F un espace uniforme, H un sous-ensemble équicontinu (resp. uniformément équicontinu) de l'espace \mathcal{C}(E,F) des fonctions continues de E dans F. Sur H, les structures uniformes de la convergence simple et de la convergence compacte (resp. précompacte) sont identiques.

Démonstration de la propriété 4[modifier | modifier le code]

Pour plus de simplicité, cette démonstration est faite dans le cas où F est un espace métrique.

Soient A équicontinu sur un compact K et f un élément de A. Pour toute partie I de K, notons

B_I(f,\epsilon)=\{g\in A\ |\ \forall x\in I, d(f(x),g(x))\le\epsilon\}.

Une base de voisinages de f dans A pour la topologie de la convergence uniforme (resp. simple) est donnée par les B_K(f,\epsilon) pour tout réel \epsilon>0 (resp. les B_I(f,\epsilon) pour tout réel \epsilon>0 et toute partie finie I de K). On a évidemment B_I(f,\epsilon)\supset B_K(f,\epsilon). Montrons que réciproquement, pour tout réel \epsilon>0, il existe une partie finie I de K telle que B_K(f,3\epsilon)\supset B_I(f,\epsilon).

Par équicontinuité de A, tout point x de K appartient à un ouvert O_x tel que pour tout g de A (en particulier pour g=f)

\forall y\in O_x, d(g(x),g(y))\le\epsilon.

Par compacité, K est recouvert par un nombre fini de ces ouverts O_x : K=\cup_{x\in I}O_x pour une certaine partie finie I de K.

Pour tout y\in K, soit x\in I tel que y\in O_x. Pour tout g\in B_I(f,\epsilon) on a d(f(x),g(x))\leq\epsilon, d'où

d(f(y),g(y))\leq d(f(y),f(x))+d(f(x),g(x))+d(g(x),g(y))\le 3\epsilon,

d'où l'inclusion voulue.

Référence[modifier | modifier le code]

N. Bourbaki, Topologie générale. Chapitre 5 à 10, Springer,‎ 2006, 336 p. (ISBN 3540343997)