Équicontinuité

En analyse, une famille de fonctions est dite équicontinue si toutes les fonctions sont continues et ont des variations sensiblement équivalentes sur un voisinage donné.

Par exemple, si une suite de fonctions continues converge simplement vers une fonction, cette fonction n'est pas forcément continue (un contre-exemple est donné par la famille de fonctions définies sur $[0,1]$ par $x \mapsto x^n$). Cependant, si cette suite est équicontinue, alors on peut conclure que la limite est continue.

Définitions

Soit $(f_i)_{i \in I}$ une famille de fonctions d'un espace topologique E dans un espace métrique F.

La famille $(f_i)_{i \in I}$ est dite équicontinue si et seulement si :

$\forall \varepsilon > 0, \forall x \in E, \exists V\in\mathcal{V}(x), \forall i \in I, \forall y \in V, d(f_i(x),f_i(y)) \leq \varepsilon$

ou dans le cadre des espaces métriques :

$\forall \varepsilon > 0, \forall x \in E, \exists \eta > 0, \forall i \in I, \forall y \in B(x, \eta), d(f_i(x),f_i(y)) \leq \varepsilon$

Lorsque la topologie sur E est associée à une distance, la famille $(f_i)_{i \in I}$ est dite uniformément équicontinue si et seulement si :

$\forall \varepsilon > 0, \exists \eta > 0, \forall x \in E, \forall i \in I, \forall y \in B(x,\eta), d(f_i(x),f_i(y)) \leq \varepsilon$

À titre de comparaison, la quantification de la phrase suivante : « les fonctions $f_i$ sont toutes continues » s'écrit :

$\forall i \in I, \forall \varepsilon > 0, \forall x \in E, \exists V\in\mathcal{V}(x), \forall y \in V, d(f_i(x),f_i(y)) \leq \varepsilon$

Tout dépend de l'ordre des quantificateurs, pour la continuité, V dépend de $\varepsilon$, x et de i. Pour l'équicontinuité, V dépend seulement de $\varepsilon$ et de x, alors que l'hypothèse d'uniforme équicontinuité, la plus forte, ne fait dépendre le module d'équicontinuité $\eta$ que de $\varepsilon$.

Interprétation

Etant donnée la famille $(f_i)_{i \in I}$, on peut considérer l'application de l'espace $E$ dans l'ensemble $F^I$ qui à tout $x\in E$ associe la famille $(f_i(x))_{i\in I}$.

L'équicontinuité (resp. l'équicontinuité uniforme) de la famille $(f_i)_{i \in I}$ équivaut à la continuité (resp. à la continuité uniforme) de cette application de $E$ dans $F^I$ lorsqu'on munit $F^I$ de la topologie (resp. de la distance) de la convergence uniforme sur $I$

(cette distance $\delta$ sur $F^I$ est définie par $\delta(u,v)=\min(1,\sup_{i\in I}d(u_i,v_i))$),

tandis que la continuité de chacune des $f_i$ équivaut à la continuité de cette application de $E$ dans $F^I$ lorsqu'on munit $F^I$ de la topologie de la convergence simple sur $I$, qui n'est autre que la topologie produit.

Propriétés

1. Si une suite de fonctions est équicontinue et converge simplement alors la limite simple est continue. Plus généralement, si $A$ est un ensemble équicontinu de fonctions de $E$ dans $F$ alors son adhérence dans l'espace produit $F^E$ (qui n'est autre que l'espace des applications de $E$ dans $F$ muni de la topologie de la convergence simple) est encore équicontinue.
2. Si une suite de fonctions est équicontinue et converge simplement sur un sous-ensemble dense de l'espace de départ, et si l'espace d'arrivée est complet, alors la suite converge simplement sur l'espace de départ tout entier (donc la propriété précédente s'applique).
3. Si une famille de fonctions définies sur un espace métrique compact est équicontinue, alors elle est uniformément équicontinue (application directe du théorème de Heine, via l'interprétation ci-dessus).
4. Si une suite de fonctions est équicontinue et converge simplement alors cette convergence est uniforme sur tout compact. Plus généralement, si $K$ est un espace compact et si $A$ est un ensemble équicontinu de fonctions de $K$ dans $F$ alors sur $A$, la topologie de la convergence simple et celle de la convergence uniforme coïncident.
5. Théorème d'Ascoli : si $K$ est un espace compact, $F$ un espace métrique, et $A$ une partie de l'espace des fonctions continues de $K$ dans $F$ (muni de la distance uniforme), alors $A$ est relativement compacte si et seulement si $A$ est équicontinue et pour tout $\scriptstyle x\in K$, l'ensemble $\scriptstyle A(x)=\{f(x)|f\in A\}$ est relativement compact dans $F$.

Démonstration de la propriété 4

Soient A équicontinu sur un compact K et f un élément de A. Pour toute partie I de K, notons

$B_I(f,\epsilon)=\{g\in A\ |\ \forall x\in I, d(f(x),g(x))\le\epsilon\}$.

Une base de voisinages de f dans A pour la topologie de la convergence uniforme (resp. simple) est donnée par les $B_K(f,\epsilon)$ pour tout réel $\epsilon>0$ (resp. les $B_I(f,\epsilon)$ pour tout réel $\epsilon>0$ et toute partie finie I de K). On a évidemment $B_I(f,\epsilon)\supset B_K(f,\epsilon)$. Montrons que réciproquement, pour tout réel $\epsilon>0$, il existe une partie finie I de K telle que $B_K(f,3\epsilon)\supset B_I(f,\epsilon)$.

Par équicontinuité de A, tout point x de K appartient à un ouvert $O_x$ tel que pour tout g de A (en particulier pour g=f)

$\forall y\in O_x, d(g(x),g(y))\le\epsilon$.

Par compacité, K est recouvert par un nombre fini de ces ouverts $O_x$ : $K=\cup_{x\in I}O_x$ pour une certaine partie finie I de K.

Pour tout $y\in K$, soit $x\in I$ tel que $y\in O_x$. Pour tout $g\in B_I(f,\epsilon)$ on a $d(f(x),g(x))\leq\epsilon$, d'où

$d(f(y),g(y))\leq d(f(y),f(x))+d(f(x),g(x))+d(g(x),g(y))\le 3\epsilon,$

d'où l'inclusion voulue.