Module fidèle

Un module M sur un anneau A est dit fidèle si son annulateur est réduit à {0}, en d'autres termes, si l'action de chaque $\alpha \in A\setminus \{0\}$ est non triviale ($\alpha \cdot x\neq 0$ pour un certain $x\in M$). Autrement dit, un module est fidèle si la représentation associée $\psi :A\to \operatorname {End} (M)$ est injective.

À chaque module, on peut associer un module fidèle en procédant de cette manière. Le morphisme d'anneaux $\psi :A\to \operatorname {End} (M)$ se factorise en un morphisme injectif ${\tilde {\psi }}:A/\ker \psi \to \operatorname {End} (M)$. Comme $\ker \psi$ n'est autre que Ann(M), ${\tilde {\psi }}$ donne à M une structure de $A/\operatorname {Ann} (M)$-module, et cette fois M est fidèle puisque ${\tilde {\psi }}$ est injective.