Grassmannienne

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En mathématiques, les grassmanniennes sont des variétés dont les points correspondent aux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel fixé. On note G(k, n) ou Gk,n(K) la grassmannienne des sous-espaces de dimension k dans un espace de dimension n sur le corps K. Ces espaces portent le nom de Hermann Grassmann qui en donna une paramétrisation et sont encore appelés grassmanniennes des « k-plans ».

Généralités[modifier | modifier le code]

Exemples[modifier | modifier le code]

  • Pour k = 1, la grassmannienne est l'espace projectif associé à l'espace vectoriel.
  • Pour k = n – 1, la grassmannienne correspond à l'espace projectif associé à l'espace dual de l'espace vectoriel de départ, vu que chaque point correspond à un hyperplan.
  • Pour k = 2 et n = 4, on obtient la plus simple des grassmanniennes qui ne soit pas un espace projectif. Celle-ci a été étudiée par Julius Plücker, comme ensemble de droites de l'espace projectif de dimension 3. Elle est décrite par les coordonnées plückeriennes.

Grassmannienne comme quotient[modifier | modifier le code]

Pour le voir on note GL_{p,n} l'ensemble des matrices de taille p, n et de rang p et SL_{p,n} la variété de Stiefel (en) des matrices de taille p, n dont les colonnes sont orthogonales et unitaires.

On remarque que G_{p,n} est en bijection avec l'espace des orbites de l'action (par multiplication à droite) de GL_p sur GL_{p,n}, ainsi qu'à celui de l'action de U_p (le groupe des matrices unitaires de taille p) sur SL_{p,n}.

On montre que les topologies induites par ces représentations sont identiques en utilisant la factorisation de Cholesky[1].

Plongement de Plücker[modifier | modifier le code]

Un autre façon de réaliser la grasmannienne est de définir ses coordonnées plückeriennes ou grassmanniennes. Ce plongement de G_{p,n}(\R) dans l'espace projectif \mathbb P (\Lambda^p(\R^n)) des produits extérieurs de degré k dans l'espace ℝn prolonge les travaux de Plücker pour le cas des plans de ℝ4.

Recouvrement par des cartes affines[modifier | modifier le code]

On introduit la base canonique (e_i)_{i\in [[1,n]]} de E = ℝn et on note S une (n – k)-partie de {1, … , n}, E_1=E_S le sous espace engendré par les vecteurs (e_i)_{i\in S}.

On note V_S=G_{p,n,S} l'ensemble des sous espaces vectoriels de dimension k ne rencontrant pas E_1=E_S (à l'exception du vecteur nul).

Première étape

Soit V un sous espace de VS.

En projetant V sur E_2=E_{S^c} et E_1=E_{S}, on voit que tout vecteur x\in V s'écrit x=u+v=p(x)+q(x) avec u\in E_1 et v\in E_2, comme V et E_1 ont même dimension, il existe d'autre part \phi\in L(E_1,V) telle que x=\phi(u). On a alors x=u+q\circ\phi(u) avec \psi=q\circ\phi\in L(E_1,E_2).

Seconde étape

L'argument précédent montre que l'on peut associer de façon bijective un sous-espace de V_{S} à une application linéaire \psi\in L(E_1,E_2). Ou encore, en prenant la matrice de \psi_S(V) de \psi\in L(E_1,E_2), une bijection entre V_{S} et M_{n-k,k}, l'ensemble des matrices réelles de taille n – k, k.

On obtient ainsi, via la bijection, \psi_S:G_{p,n,S}\mapsto M_{n-p,p}, une description affine de G_{p,n,S}, des sous espaces de dimension p ne rencontrant pas E_S. C'est-à-dire d'une partie 'ouverte' (pour la topologie de Zariski qu'on est en train de construire) de la grassmannienne G_{p,n}.

Troisième étape

On montre que pour deux parties différentes S et T, le changement de cartes \psi_T\circ(\psi_S)^{-1} induit par les descriptions de G_{p,n,S} et  G_{p,n,T} est un morphisme (application rationnelle partout définie), bijective ainsi que sa réciproque (ou isomorphisme birégulier) entre \psi_S(G_{p,n,S}\cap G_{p,n,T} ) et \psi_T(G_{p,n,S}\cap G_{p,n,T}).

Interprétation comme variété algébrique[modifier | modifier le code]

On en déduit par recollement que cette grassmannienne est une variété algébrique.

La représentation précédente permet alors de montrer que G_{p,n}(\R) est une variété non singulière, affine, fermée et bornée, birégulièrement isomorphe à G(n-p,n)(\R)[2].

Grassmanniennes euclidiennes[modifier | modifier le code]

Grassmanniennes et projecteurs orthogonaux[modifier | modifier le code]

Soit G_{p,n}(\R) la grassmannienne des sous-espaces de dimension p de ℝn. Dans l'espace M_n(\R) des matrices carrées de taille n à coefficients réels, considérons le sous-ensemble des matrices de projecteurs orthogonaux de rang p, c'est-à-dire des matrices A vérifiant les trois conditions :

On obtient par ce biais une représentation de G_{p,n}(\R) comme un sous-ensemble affine des matrices carrées de taille n à coefficients réels.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Jean-Pierre Dedieu, Points Fixes, Zéros et la Méthode de Newton, p. 68-69.
  2. Jacek Bochnak, Michel Coste et Marie-Françoise Roy (en), Géométrie algébrique réelle, p. 64-67.

Bibliographie[modifier | modifier le code]