Géométrie spectrale

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La géométrie spectrale est une branche des mathématiques au carrefour de la géométrie différentielle des variétés riemanniennes et de la théorie spectrale de l'opérateur de Laplace-Beltrami. Plus précisément, il s'agit d'établir des relations entre le spectre des valeurs propres de l'opérateur de Laplace-Beltrami d'une variété riemannienne V compacte[1] avec (ou sans) bords à certaines caractéristiques géométriques (et/ou topologiques) de cette variété.

Cette théorie trouve des applications en physique théorique, notamment pour l'étude de la limite semi-classique de la mécanique quantique, ainsi que pour le chaos quantique.

Peut-on entendre la forme d'un tambour ?[modifier | modifier le code]

En 1966, Mark Kac a synthétisé un problème typique de géométrie spectrale sous la forme d'une question, devenue célèbre : « Peut-on entendre la forme d'un tambour ? »[2].

Préhistoire : Debye & Weyl (1911)[modifier | modifier le code]

Debye[modifier | modifier le code]

Le physicien Peter Debye s'était intéressé au nombre asymptotique de modes propres de l'équation de Helmholtz pour un « tambourin » \Omega rectangulaire de côtés de longueurs respectives a et b, avec des conditions aux limites de Dirichlet :


\forall \, \vec{r} \in \Omega , \ \quad (\Delta \ + \ k^2) \ \phi( \vec{r}) = 0

Le problème bidimensionnel admet la solution exacte :


k_{n,m}^2 \ = \ \frac{n^2 \ \pi^2}{a^2} \ + \ \frac{m^2 \ \pi^2}{b^2} \  \quad (n,m = 1,2,3, \dots)

Les valeurs propres inférieures ou égales à \lambda vérifient :


\frac{n^2 \ \pi^2}{a^2} \ + \ \frac{m^2 \ \pi^2}{b^2} \  \le \ \lambda

Leur nombre asymptotique (lorsque \lambda \to + \infty) est :


\mathcal{N} (\lambda) \ \sim \ \frac{ab}{2 \pi} \ \lambda \ = \ \frac{\mathrm{Aire} (\Omega)}{2 \pi} \ \lambda

En bon physicien, Debye conjectura que cette formule restait vraie quelle que soit la forme du domaine plan compact, ce que l'expérience semblait confirmer.

Théorème de Weyl (1911)[modifier | modifier le code]

La conjecture de Debye fût démontrée rigoureusement par Weyl en 1911 pour le Laplacien muni de conditions aux limites de Dirichlet. (Le résultat reste vrai avec des conditions aux limites de Neumann.)

Conjecture de Weyl (1911) & théorème d'Ivrii (1980)[modifier | modifier le code]

Weyl conjectura également que le terme suivant du développement asymptotique de la fonction de comptage des valeurs propres faisait apparaitres le périmètre du bord \partial \Omega du domaine :


\mathcal{N} (\lambda) \ = \ \frac{\mathrm{Aire} (\Omega)}{4 \pi} \ \lambda \ + \ \mathrm{cte} \ \times \ \mathrm{Longueur} ( \partial \Omega) \ \sqrt{\lambda} \ + \ o(\sqrt{\lambda})

Cette conjecture s'étend en fait naturellement en dimension d quelconque :


\mathcal{N} (\lambda) \ = \ C_1(d) \ \times \ \mathrm{Mesure} (\Omega) \ \lambda^{d/2} \ + \ C_2(d) \ \times \ \mathrm{Mesure} ( \partial \Omega) \ \lambda^{(d-1)/2} \ + \ o( \lambda^{(d-1)/2})

C1 et C2 sont des constantes qui dépendent de la dimension d de l'espace (C2 dépend aussi des conditions aux limites). Pour une frontière suffisamment régulière, la conjecture de Weyl a été démontrée rigoureusement en 1980 par V. Ja. Ivrii[3].

Réponse : ça dépend ...[modifier | modifier le code]

L'exemple de Gordon, Webb et Wolpert (1992) de deux domaines plans non-congruents, pour lesquels les spectres du Laplacien sont identiques. (Les deux domaines possèdent la même aire).

Presque immédiatement après que Kac eut posé sa question, Milnor a exhibé une paire de tores à 16 dimensions ayant le même spectre, mais des formes différentes[4] ! Le problème bidimensionnel n'a été résolu qu'en 1992 par Gordon, Webb et Wolpert[5]. Ils ont construit une paire de domaines plans non-congruents ayant même spectre (cf figure). La démonstration du fait que toutes les valeurs propres sont identiques repose sur l'utilisation des symétries de ces domaines. Cette idée a été généralisée par Buser et al., qui ont construit de nombreux exemples similaires[6].

La réponse à la question de Kac est donc en général négative : pour la plupart des tambours, on ne peut pas entendre leurs formes complètement, bien que l'on puisse entendre certaines caractéristiques (aire, périmètre, nombre de trous, ...)

En revanche, Zelditch a démontré[7] que la réponse à la question de Kac est positive si l'on se restreint à certaines régions planes convexes dont les frontières sont analytiques. (On ne sait pas si deux domaines non-convexes à frontières analytiques peuvent avoir le même spectre.)

La conjecture de Berry (1979)[modifier | modifier le code]

Pour un domaine à bord fractal, Berry a conjecturé en 1979 que la correction de bord était proportionnelle à : \lambda^{D/2}D est la dimension de Hausdorff de la frontière. Cette conjecture a été infirmée par J. Brossard et R. A. Carmona[8], qui ont à leur tour suggéré que la dimension de Hausdorff soit remplacée par la upper box dimension. Sous cette forme, la conjecture a été démontrée en 1993 par Lapidus et Pomerance[9] pour un domaine plan dont la frontière possède une dimension 1, mais infirmée par les mêmes auteurs pour les dimension supérieure[10] en 1996. Des 1993, des contrexemples à cette conjecture ont été démontrés par Jacqueline Fleckinger et Dmitri Vassiliev dans Transactions A.M.S. V337, N.1, may 1993, p.99-116 "An example of a two-term asymptotics for the counting function of a fractal drum". Plusieurs calculs précis ont ensuite été établis par M.Levitin.

Formules des traces[modifier | modifier le code]

Sur une variété, il existe également un lien entre le spectre de l'opérateur de Laplace-Beltrami et le spectre des longueurs des géodésiques périodiques de cette variété. Ce lien est établi sous la forme d'une « formule des traces », dont les prototypes sont :

Une telle formule a été généralisée par Gutzwiller en mécanique quantique dans le régime semi-classique, et joue un rôle essentiel dans la quantification des systèmes hamiltoniens classiquement chaotiques, pour lesquels la condition de quantification EBK ne s'applique pas.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Introduction[modifier | modifier le code]

  • Pierre Bérard ; On ne peut pas entrendre la forme d'un tambour, Auxerre (Octobre 2001). Deux exposés de vulgarisation :

Ouvrages classiques[modifier | modifier le code]

  • Marcel Berger, Paul Gauduchon & Edmond Mazet ; Le spectre d'une variété Riemanienne, Lecture Notes in Mathematics 194, Springer-Verlag (1971).
  • Peter B. Gilkey ; The spectral geometry of a Riemannian manifold, Journal of Differential Geometry 10(4) (1975), 601-618.
  • Isaac Chavel ; Eigenvalues in Riemannian Geometry, Pure and Applied Mathematics 115, Academic Press (2e édition-1984), ISBN 0121706400.

Quelques articles classiques[modifier | modifier le code]

  • Mark Kac ; Can one hear the shape of a drum?, American Mathematical Monthly 73(4) (1966), 1-23. pdf.
  • Jacques Chazarain ; Formule de Poisson pour les variétés riemanniennes, Inventiones Math. 24 (1974), 65-82.
  • Yves Colin de Verdière ; Spectre du laplacien et longueurs des géodésiques périodiques (I), Compositio Mathematica 271 (1) (1973). (Résumé dans : Comptes-Rendus de l'Académie des Sciences 275 A (1973), 805-808).
  • Yves Colin de Verdière ; Spectre du laplacien et longueurs des géodésiques périodiques (II), Compositio Mathematica 271 (2) (1973), 159-184. Numdam.

Aspects contemporains[modifier | modifier le code]

  • Yves Colin de Verdière ; Le spectre du Laplacien : survol partiel depuis le Berger-Gauduchon-Mazet & problèmes, Société Mathématique de France (1996). Texte au format pdf.
  • Pierre Bérard ; The isospectral problem for Riemannian manifolds, (1993). Texte (sans les figures) au format PostScript.
  • Steven Rosenberg ; The Laplacian on a Riemannian Manifold, Cambridge University Press (1997), ISBN 0-521-46831-0.
  • Isaac Chavel ; The Laplacian on Riemannian manifolds, dans : Spectral Theory and Geometry, E.B. Davies & Y. Safarov (eds.), London Mathematical Society Lecture Note Series 273, Cambridge University Press (1999), 30--75. ISBN 0521777496.
  • Carolyn Gordon ; Survey of Isospectral Manifolds, dans : Handbook of Differential Geometry - Vol. I, F.J.E. Dillen & L.C.A. Verstraelen (eds.), North-Holland/Elsevier Science (2000), ISBN 0-444-82240-2.

Conjecture de Berry[modifier | modifier le code]

  • Michel L. Lapidus, Can one hear the shape of a fractal drum? Partial resolution of the Weyl-Berry conjecture, Geometric analysis and computer graphics (Berkeley, CA, 1988), 119-126, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 17, Springer, New York, 1991.
  • Michel L. Lapidus, Vibrations of fractal drums, the Riemann hypothesis, waves in fractal media, and the Weyl-Berry conjecture, in: Ordinary and Partial Differential Equations (B. D. Sleeman and R. J. Jarvis, eds.), vol. IV, Proc. Twelfth Internat. Conf. (Dundee, Scotland,UK, June 1992), Pitman Research Notes in Math. Series, vol. 289, Longman and Technical, London, 1993, pp. 126-209.
  • Jacqueline Fleckinger et Dmitri Vassiliev dans Transactions A.M.S. V337, N.1, may 1993, p.99-116 "An example of a two-term asymptotics for the counting function of a fractal drum".
  • M. L. Lapidus & M. van Frankenhuysen, Fractal Geometry and Number Theory: Complex dimensions of fractal strings and zeros of zeta functions, Birkhauser, Boston, 2000. (Revised and enlarged second edition to appear in 2005.)
  • W. Arrighetti, G. Gerosa, Can you hear the fractal dimension of a drum?, arXiv:math.SP/0503748, in “Applied and Industrial Mathematics in Italy”, Series on Advances in Mathematics for Applied Sciences 69, 65–75, World Scientific, 2005. ISBN 978-981-256-368-2

Notes[modifier | modifier le code]

  1. L'hypothèse de compacité assure que le spectre du laplacien est discret, avec une multiplicité finie pour chaque valeur propre.
  2. Mark Kac ; Can one hear the shape of a drum?, American Mathematical Monthly 73(4) (1966), 1-23. Texte au format pdf.
  3. V. Ja. Ivrii, The second term of the spectral asymptotics for a Laplace-Beltrami operator on manifolds with boundary. Funktsional. Anal. i Prilozhen. 14:2 (1980), 25-34 (en russe).
  4. John Milnor, Eigenvalues of the Laplace operator on certain manifolds, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 51 (1964), 542.
  5. Caroline Gordon, David Webb, and S. Wolpert ; Isospectral plane domains and surfaces via Riemannian orbifolds, Inventiones mathematicae 110 (1992), 1-22. Voir aussi : Caroline Gordon, David Webb, and S. Wolpert ; One cannot hear the shape of a drum, Bulletin of the American Mathematical Society 27 (1992), 134-138.
  6. Peter Buser, John Conway, Peter Doyle and Klaus-Dieter Semmler, Some planar isospectral domains, International Mathematics Research Notices, no. 9 (1994), 391.
  7. S. Zelditch, Spectral determination of analytic bi-axisymmetric plane domains, Geometric and Functional Analysis 10:3 (2000), 628-677.
  8. Jean Brossard & René Carmona ; Can one hear the dimension of a fractal? Communication in Mathematical Physics 104 (1) (1986), 103-122.
  9. Michel L. Lapidus & Carl Pomerance ; The Riemann zeta-function and the one-dimensional Weyl-Berry conjecture for fractal drums. Proceedings of the London Mathematical Society (3) 66 (1) (1993), 41-69.
  10. Michel L. Lapidus and Carl Pomerance, Counterexamples to the modified Weyl-Berry conjecture on fractal drums, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 119 (1) (1996), 167-178.