Condition aux limites de Dirichlet

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En mathématiques, une condition aux limites de Dirichlet (nommée d’après Johan Dirichlet) est imposée à une équation différentielle ou à une équation aux dérivées partielles lorsque l'on spécifie les valeurs que la solution doit vérifier sur les frontières/limites du domaine.

  • Pour une équation différentielle, par exemple :
y'' + y = 0~

la condition aux limites de Dirichlet sur l'intervalle [a, \, b] s'exprime par :

y(a) = \alpha \ \text{et} \ y(b) = \beta

\alpha et \beta sont deux nombres donnés.

  • Pour une équation aux dérivées partielles, par exemple :
\Delta y + y = 0~

\Delta~ est le Laplacien (opérateur différentiel), la condition aux limites de Dirichlet sur un domaine \Omega \subset R^n s'exprime par :

y(x) = f(x) \quad \forall x \in \partial \Omega

f est une fonction connue définie sur la frontière \partial \Omega.

Il existe d'autres conditions possibles. Par exemple la condition aux limites de Neumann, ou la condition aux limites de Robin, qui est une combinaison des conditions de Dirichlet et Neumann.

Voir aussi[modifier | modifier le code]